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Outils vectoriels

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by

Elise Desgreniers

on 4 April 2013

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Transcript of Outils vectoriels

Le produit vectoriel est anti-commutatif, c'est-à-dire que .
En effet, en appliquant la règle de la main droite, on constate que . Ce test est valide dans uniquement. Le déterminant 2x2 est défini dans seulement. Conséquemment, le déterminant de 2 vecteurs dans n'existe pas car il n'est pas défini. Outils Se lit «déterminant de et ». Aire orientée du parallélogramme
de côtés et . Rappel: on projette sur la direction de et non sur le vecteur lui-même. Cette formule est valable dans et dans . Ou, en version longue:
«projection orthogonale de sur la direction de ». Se lit «projection de sur ». vectoriels Un exemple? 1 Vecteur unitaire 2 Addition affine 5 Produit
scalaire 8 Vecteur
perpendiculaire 9 Projection
orthogonale 3 Déterminant
d'ordre 2 4 Déterminant
d'ordre 3 6 Produit vectoriel Vecteur de sens et de direction quelconque, mais de norme 1 Un vecteur unitaire peut donc être obtenu à partir d'un vecteur quelconque en multipliant simplement le vecteur en question par l'inverse de sa norme. À obtenir un autre vecteur, de même sens et de même direction, mais de norme différente. Notation Selon la situation, il existe deux formules possibles pour calculer le produit scalaire. La formule géométrique nécessite donc de connaître les normes des deux vecteurs ainsi que l'angle entre les deux. Rappel: l'angle entre deux vecteurs est le plus petit angle possible lorsque les origines des vecteurs coïncident. Notation La formule algébrique nécessite donc de connaître les composantes des deux vecteurs. Elle ne fonctionne que si les vecteurs sont dans un repère orthonormé. Se lit «produit scalaire de a et b». On calcule l'angle entre deux vecteurs en l'isolant dans la formule géométrique du produit scalaire. Ils les ont finalement résolus en créant des outils spécialement adaptés à la résolution de ces problèmes. Définition À quoi ça sert? Mais seulement dans un repère orthonormé. Rappel sur la norme Les À obtenir un point issu du déplacement d'un autre point le long d'un vecteur quelconque. À quoi ça sert? Attention! Le symbole + suppose une addition de deux objets de même type, ce qui n'est pas le cas ici. D'où l'importance du symbole pour pouvoir additionner un point et un vecteur sans abus de langage. Un exemple? Rappel
La notation correcte pour l'écriture des coordonnées d'un point ne comprend pas de =. Formule géométrique Formule algébrique À quoi ça sert? À déterminer si deux vecteurs sont orthogonaux entre eux ou à calculer l'angle entre deux vecteurs. Théorème À quoi ça sert? À obtenir, dans seulement, un vecteur de direction perpendiculaire à un autre vecteur quelconque. Vecteur de même longueur, de direction perpendiculaire et de sens obtenu par la rotation anti-horaire de 90° d'un vecteur quelconque. Définition L'outil vecteur perpendiculaire est rarement utilisé seul. On l'utilise pour placer la direction du vecteur souhaité, on s'assure du sens (en ajoutant un signe - au besoin), puis on ajuste la longueur avec l'outil vecteur unitaire. Piège! Cet outil ne fonctionne que dans , et uniquement dans une base orthonormée. Un exemple? À quoi ça sert? À décomposer un vecteur en une somme de deux vecteurs orthogonaux, l'un ayant une direction déterminée à l'avance ou encore à obtenir deux vecteurs orthogonaux à partir de deux vecteurs quelconques. Unique vecteur vérifiant les
conditions suivantes: Définition Notation Formule Différents scénarios Définition Notation Autrement dit, si l'une des trois conditions est présente, aucun parallélogramme ne peut être engendré.
D'où l'aire nulle donnée par le déterminant. La suite ordonnée de vecteurs est dite d'orientation positive si elle est parcourue en sens anti-horaire (si l'angle est positif).
Elle est d'orientation négative dans le cas contraire. Les produits Les déterminants Les outils de base Les autres outils Calculer le volume d'un parallélépipède, évaluer l'aire d'un parallélogramme, vérifier le parallélisme entre deux vecteurs, déterminer si des points sont coplanaires, établir si des vecteurs sont orthogonaux, etc.

Les mathématiciens ont longtemps planché sur ces problèmes sans toutefois pouvoir apporter d'éléments de solution. Pour pouvoir résoudre de gros problèmes, on a besoin des bons outils. 7 Produit
mixte Test de parallélisme Formule Truc du poisson « La diagonale principale moins la diagonale secondaire » L'aire d'un parallélogramme est donnée par car une aire est toujours positive. Piège! Cette formule ne fonctionne que si les vecteurs sont exprimés dans un repère orthonormé. À quoi ça sert? À déterminer l'aire orientée d'un parallélogramme, à vérifier si deux vecteurs sont parallèles ou à établir si 3 points sont colinéaires, le tout dans . Test de colinéarité de trois points Ce test est valide dans uniquement. Des exemples? Exemple 1 Exemple 2 Ce test est valide dans uniquement. Le déterminant 3x3 est défini dans seulement. Conséquemment, le déterminant de 3 vecteurs dans n'existe pas car il n'est pas défini. Se lit «déterminant de , et ». Volume orienté du
parallélépipède de côtés , et . Définition Notation Autrement dit, si l'une des deux conditions est présente, aucun parallélépipède ne peut être engendré.
D'où le volume nul donné par le déterminant. Test de dépendance de 3 vecteurs Formule Le volume d'un parallélépipède est donné par car un volume est toujours positif. Piège! Cette formule ne fonctionne que si les vecteurs sont exprimés dans un repère orthonormé. À quoi ça sert? Des exemples? Exemple 1 Exemple 2 La suite ordonnée de vecteurs est dite d'orientation positive si elle respecte la règle de la main droite.
Elle est d'orientation négative dans le cas contraire. Règle de la main droite On place les doigts de la main droite le long du premier vecteur et on les replie vers le second vecteur.
La suite de vecteurs est d'orientation positive si le 3e vecteur est dans la même direction que le pouce. 1er vecteur 2e vecteur 3e vecteur À déterminer le volume orienté d'un parallélépipède, à vérifier si trois vecteurs sont linéairement dépendants ou à établir si 4 points sont coplanaires, le tout dans . Si un des trois vecteurs est nul ou si les 3 vecteurs sont coplanaires, alors . Test de coplanarité de quatre points Ce test est valide dans uniquement. Définition Ce type de produit n'est défini que pour les vecteurs de l'espace tridimensionnel puisque le vecteur résultat sort du plan contenant les deux vecteurs multipliés. Autrement dit, si l'une des trois conditions est présente, l'angle est de 0° ou de 180°, ce qui engendre une longueur nulle d'après la définition.

D'où le vecteur nul obtenu par produit vectoriel dans cette situation. Piège! Formule Cette formule ne fonctionne que si les vecteurs sont exprimés dans un repère orthonormé. Théorème Théorème À quoi ça sert? À trouver une direction perpendiculaire à deux vecteurs simultanément, à déterminer si deux vecteurs non nuls sont parallèles ou à calculer l'aire d'un parallélogramme, le tout dans . Notation Se lit «produit vectoriel de a et b». Un exemple? Notation Se lit «produit mixte de a, b et c». Attention! Le produit mixte est défini uniquement dans .

Le résultat est un scalaire.

S'il n'y a aucune parenthèse, le produit vectoriel a priorité sur le produit scalaire. À quoi ça sert? À calculer le volume orienté du parallélépipède de côté , et . Le produit mixte a donc une fonction équivalente au déterminant 3x3. C'est d'ailleurs pourquoi il est quelque fois considéré comme un outil facultatif. Un exemple? Elise Desgreniers Collège Lionel-Groulx Professeure de mathématiques Préparé par
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