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Proporcionalidade

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by

Patrick Flor

on 14 September 2015

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Transcript of Proporcionalidade

I Aulão Século - Matemática
Professores: Carlos Portela, Gutiere Ferreira e Patrick Flor


Proporcionalidade
Proporcionalidade é um dos conteúdos que mais têm sidos cobrados pelo ENEM nos últimos anos, pensando nisso, preparei este material com tópicos de proporcionalidade e questões cojmentadas das últimas provas.
Retomando razões
Questões do ENEM - Escalas
ENEM 2012
Semelhança de triângulos
Algumas questões são exclusivamente sobre semelhanças de triângulos, outras, portanto, podem ser resolvidas por este artifício sem prejudicar o resultado.
Proporcionalidade na Geometria
Organização
Prof. Patrick Cavalcanti Flor

Razão e Proporção
Porcentagem
Proporcionalidade na Geometria
ENEM 2010
Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações poronde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses
canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano.
Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas
foram indicadas por letras.
ENEM 2010
As sacolas plásticas sujam florestas, rios e oceanos e quase sempre acabam
matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquáticos. No Brasil, em
2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados
brasileiros se preparam para acabar com as sacolas plásticas até 2016.
Observe o gráfico a seguir, em que se considera a origem como o ano de
2007.
De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidos em 2011?
ENEM 2010
ENEM 2011
Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam obtidas em metros:
a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro;
b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.
ENEM 2011
Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm.
Os dados nos indicam que o mapa observado pelo
estudante está na escala de
A) 1 : 250.
B) 1 : 2 500.
C) 1 : 25 000.
D) 1 : 250 000.
E) 1 : 25 000 000.
ENEM 2011
Cerca de 20 milhões de brasileiros vivem na região coberta pela caatinga em quase 800 mil km2 de área. Quando não chove, o homem do sertão e sua família precisam caminhar quilômetros em busca da água dos açudes. A irregularidade climática é um dos fatores que mais interferem na vida do sertanejo.
Sengundo este levantamento, a densidade demográfica da região coberta pela caatinga, em habitantes por km2, é de:
A) 250.
B) 25.
C) 2,5.
D) 0,25.
E) 0,025.
ENEM 2012
Um biólogo mediu a altura de cinco árvores distintas e representou-as em uma mesma malha quadriculada, utilizando escalas diferentes, conforme indicações na figura a seguir.
Segmentos proporcionais
Dizemos que quatro segmentos, AB, CD, EF, e GH, nessa ordem,
são proporcionais, quando a razão entre os dois primeiros
for igual a razão entre os dois últimos, ou seja:
AB, CD, EF e GH são, nessa ordem, proporcionais se, e somente se:

AB/CD = EF/GH
Semelhança de triângulos
A semelhança entre dois triângulos está nos três ângulos ordenadamente congruentes e nos lados correspondentes proporcionais. Podemos identificar a semelhança existente entre os triângulos ABC e PQR através de:
Agradecimentos
Motivacional
Based on Jim Harvey's speech structures
Neste tópico, veremos os conceitos de razão e proporção.
Razão

DEFINIÇÃO

Chama-se RAZÃO do número a para o número b (com b diferente de zero) ao quociente de a por b. Em símbolos: a/b ou a:b (Leitura da razão): a está para b
A palavra RAZÃO é usada em matemática para comparar duas grandezas (ou dois números).

Ao comparar dois números DIVIDIMOS o primeiro número pelo segundo número.

A divisão é uma das melhores formas que usamos para comparar dois números.

OBSERVAÇÃO: Quando comparamos grandezas da mesma espécie, expressamos a razão na forma de fração (simplifique até obter a fração irredutível).

40/100 = 2/5 Lê-se 2 para 5.

Quando comparamos grandezas diferentes, em geral, dividimos e representamos o quociente na forma de número decimal.

A razão entre 14 gols e 5 partidas é:

14/5 = 2,8 --------> 2,8 gols por partida.
Proporção
A igualdade entre duas razões forma uma proporção, vale lembrar que razão é a divisão entre dois números a e b, tal que b ≠ 0 e pode ser escrito na forma de a/b. Observe o exemplo de proporção a seguir:
As proporções possuem uma propriedade que diz o seguinte: “em uma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.” Essa propriedade pode ser colocada em prática na verificação da proporcionalidade, realizando uma operação denominada multiplicação cruzada.

é uma proporção

9 x 4 = 36 e 12 x 3 = 36
Grandezas diretamente proporcionais, explicando de uma forma mais informal, são grandezas que crescem juntas e diminuem juntas. Podemos dizer também que: São grandezas diretamente proporcionais se uma delas variar na mesma razão da outra. Isto é, duas grandezas são diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra também dobra; triplicando uma delas, a outra também triplica... E assim por diante.
Grandezas diretamente Proporcionais
Grandezas Inversamente Proporcionais
Grandezas inversamente proporcionais, explicando de maneira informal, são grandezas que quando uma aumenta a outra diminui e vice-versa. Podemos dizer também que: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, variando uma delas, a outra varia na razão inversa da outra. Isto é, duas grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra se reduz pela metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte... E assim por diante.
Porcentagem ou percentagem, é a fração de um número inteiro expressa em centésimos. Representa-se com o símbolo % (que se lê "por cento"). Os cálculos de porcentagens são muito usados na indústria, finanças e no mundo científico para avaliar resultados.
Fator de aumento

Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação
10% 1,10
15% 1,15
20% 1,20
47% 1,47
67% 1,67

Fator de desconto
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:

Desconto Fator de Multiplicação
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
60% 0,40
90% 0,10
Porcentagem nada mais é do que uma razão entre uma parte pelo todo, ou seja, cujo denominador é sempre igual a 100
SEGMENTOS PROPORCIONAIS
Proporção é a igualdade entre duas razões equivalentes. De forma semelhante aos que já estudamos com números racionais, é possível eatabelecer a proporcionalidade entre segmentos de reta, através das medidas desse segmentos.
m(AB)=2 cm A ______ B P __________ Q m(PQ)=4 cm
m(CD)=3 cm C __________ D R ___________________ S m(RS)=6 cm

A razão entre os segmentos AB e CD e a razão entre os segmentos PQ e RS, são dadas por frações equivalentes, isto é:

AB/CD = 2/3
PQ/RS = 4/6

e como 2/3 = 4/6, segue a existência de uma proporção entre esses quatro segmentos de reta. Isto nos conduz à definição de segmentos proporcionais.
Diremos que quatro segmentos de reta, AB, BC, CD e DE, nesta ordem, são proporcionais se:

AB/BC = CD/DE
Os segmentos AB e DE são os segmentos extremos e os segmentos BC e CD são os segmentos meios.
A proporcionalidade acima é garantida pelo fato que existe uma proporção entre os números reais que representam as medidas dos segmentos.
Semelhança de triângulos
Sabemos que triângulos são polígonos. Sendo assim, o estudo que é feito para identificar a semelhança de figuras poligonais será válido para o estudo da semelhança de triângulos. Com isso, dois triângulos serão semelhantes se satisfizerem duas condições simultaneamente: se seus lados correspondentes possuírem medidas proporcionais e se os ângulos correspondentes forem iguais (congruentes).

Se invertermos a afirmação feita acima, teremos um fato verdadeiro: as condições são satisfeitas somente quando os triângulos são semelhantes.

Antes, temos que determinar a correspondência dos vértices de cada triângulo, pois assim determinaremos a correspondência dos lados e dos ângulos entre estes dois triângulos.

Os vértices A, B, C correspondem, respectivamente, aos vértices A’, B’, C’. Sendo assim, montaremos as razões de proporcionalidade entre os lados correspondentes.

Proporcionalidade dos lados
Entretanto, apenas a condição de proporcionalidade dos lados não é suficiente para afirmarmos a semelhança entre os dois triângulos. Necessitamos que seus ângulos correspondentes sejam iguais.

Igualdade dos ângulos correspondentes




Razões Especiais
Velocidade Média
Escala
Densidade demográfica
Renda Per Capita

Renda per capita é o nome de um indicador que auxilia o conhecimento sobre o grau de desenvolvimento de um país e consiste na divisão do coeficiente da renda nacional (produto nacional bruto subtraído dos gastos de depreciação do capital e os impostos indiretos) pela sua população. Por vezes o coeficiente denominado produto interno bruto é usado.
A velocidade de um corpo é dada pela relação entre o deslocamento de um corpo em determinado tempo. Pode ser considerada a grandeza que mede o quão rápido um corpo se desloca.

A escala numérica é estabelecida através de uma relação matemática, normalmente representada por uma razão, por exemplo: 1: 300 000 (1 por 300 000). A primeira informação que ela fornece é a quantidade de vezes em que o espaço representado foi reduzido. Neste exemplo, o mapa é 300 000 vezes menor que o tamanho real da superfície que ele representa.

Densidade demográfica, densidade populacional ou população relativa é a medida expressa pela relação entre a população e a superfície do território, geralmente aplicada a seres humanos, mas também em outros seres vivos (comumente, animais). É geralmente expressa em habitantes por quilómetro quadrado.

R = PIB/População
Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se,
respectivamente,

A) 0,23 e 0,16.
B) 2,3 e 1,6.
C) 23 e 16.
D) 230 e 160.
E) 2 300 e 1 600.
ENEM 2011
Para uma atividade realizada no laboratório de
Matemática, um aluno precisa construir uma maquete
da quadra de esportes da escola que tem 28 m de
comprimento por 12 m de largura. A maquete deverá ser
construída na escala de 1 : 250.
Que medidas de comprimento e largura, em cm, o aluno utilizará na construção da maquete?
A) 4,8 e 11,2
B) 7,0 e 3,0
C) 11,2 e 4,8
D) 28,0 e 12,0
E) 30,0 e 70,0
Questões ENEM - Outras razões
Qual é a árvore que apresenta a maior altura real?
A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V

O losango representado na Figura 1 foi formado pela união dos centros das quatro circunferências tangentes, de raios de mesma medida.
Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas em vértices opostos do losango e ainda mantendo-se a configuração das tangências, obtém-se uma situação conforme ilustrada pela Figura 2.
O perímetro do losango da Figura 2, quando comparado
ao perímetro do losango da Figura 1, teve um aumento de
A 300%.
B 200%.
C 150%.
D 100%.
E 50%.
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria
ser calçada com concreto.
Nessas condições, a área a ser calcada corresponde
A)a mesma área do triângulo AMC.
B)a mesma área do triângulo BNC.
C)a metade da área formada pelo triângulo ABC.
D)ao dobro da área do triângulo MNC.
E)ao triplo da área do triângulo MNC.
De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidos em 2011?
A) 4,0
B) 6,5
C) 7,0
D) 8,0
E) 10,0
Certo município brasileiro cobra a conta de água de seus habitantes de acordo com o gráfico. O valor a ser pago depende do consumo mensal em m3.
Se um morador pagar uma conta de R$ 19,00, isso significa que ele consumiu:

a) 16 m3 de água
b) 17 m3 de água
c) 18 m3 de água
d) 19 m3 de água
e) 20 m3 de água

A Deus que me dá, dia após dia, inspiração e de dicação aos meus estudos pra fazer sempre o melhor trabalho,
Aos alunos que, mesmo sob toda pressão deste ano, não desistiram e continuaram na luta em busca de seus sonhos.
À coordenação pedagógica por organizar esses aulões.
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