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Análisis y Diseño de Estructuras Método de Energía

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David Villegas

on 7 June 2013

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Transcript of Análisis y Diseño de Estructuras Método de Energía

Enhorabuena!!
Ahora cuentas con una herramienta para calcular deflexiones en estructuras, especialmente en armaduras Teorema de Castigliano Análisis y Diseño de Estructuras
Método de Energía Considérese un elemento estructural (viga) sometido a una carga F. Trabajo Virtual El ingeniero castigliano estableció que el desplazamiento en un punto es igual a la derivada de la energía de deformación respecto a una fuerza que actúa en ese punto. Análogamente, demostró que la pendiente en un punto corresponde a la derivada de la energía de deformación respecto a un momento que actúa en ese punto. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
SEDE MEDELLÍN Por efecto de la carga, el miembro sufre una deflexión respecto a alguno de sus ejes (desplazamiento de un punto respecto al eje neutro) Para el análisis de las deflexiones se pueden usar métodos de energía basados en la energía de deformación. Pero ¿Qué es Energía de deformación? Considérese una fuerza P aplicada sobre una barra de forma gradual. Si el cuerpo sufre una deformación o un desplazamiento x en la dirección de la fuerza, entonces dicha fuerza realiza un trabajo Ue. Ahora considérese un momento M aplicado de forma gradual sobre un miembro. El cuerpo sufre una deformación angular. Por ende, el momento realiza un trabajo Ue. Ahora bien, si se le aplica otra carga P', el trabajo adicional de P será: Análogamente, si se le aplica otro momento el trabajo adicional realizado por M será ¿Y cuál es la relación con las deflexiones? Al realizar un trabajo externo sobre un cuerpo, dicho trabajo, si se desprecian las pérdidas de energía en calor y sonido, se transforma en un trabajo interno denominado energía de deformación. Por la acción de un esfuerzo normal en un cuerpo elaborado en un material elástico lineal, el trabajo interno o energía de deformación Ui será (E es el modulo de elasticidad): Análogamente, por acción de un esfuerzo cortante, la energía de deformación asociada estará dada por(G es el modulo de cortante): Para un cuerpo sometido a esfuerzos multiaxiales, se puede demostrar que la energía de deformación asociada, como función de los esfuerzos principales en el cuerpo, está dada por: Energía de deformación almacenada en un cuerpo. La energía almacenada en un cuerpo de longitud L, sección transversal contante A, elaborado en un material elástico lineal de rigidez E y sometido a una carga axial N está dado por: Para modificar la capacidad de almacenamiento de energía de un elemento, se puede cambiar el material (un aluminio puede almacenar más energía de deformación que un acero, i.e puede deformarse más) o modificar el área de la estructura o aumentar su longitud Análogamente, la energía de deformación almacenada por flexión está dada por: Al igual que en el caso de carga axial, un cambio en el material o en las dimensiones del elemento influyen en la capacidad de almacenar energía de deformación; en este caso es una función del momento de inercia de la sección transversal. (el momento M es una función de x) Así mismo, la energía de deformación almacenada por efecto de un esfuerzo cortante esta dada por: El coeficiente fs es un factor de forma que depende de la geometría de la sección transversal. (Diferentes valores de fs se encuentran tabulados en los textos de mecánica de materiales) Finalmente, la energía de deformación almacenada por efecto de un momento de torsión: Recordemos que:
La energía de deformación depende de la geometría de la pieza y del material.
La energía de deformación está relacionada con las cargas internas y mide la capacidad de un cuerpo de deformarse (mayor energía implica mayores deformaciones). Conservación de la energía Así pues, es posible relacionar las ecuaciones de trabajo externo con las de energía de deformación y hallar una expresión para la deflexión angular o longitudinal que puede tener un cuerpo o armadura sometido a diferentes clases de cargas. Realizando un análisis de la energía mecánica asociada a un sistema (se desprecia la energía cinética al considerar que las cargas se aplican de forma infinitamente lenta) se tiene que el trabajo externo realizado sobre un cuerpo será igual al trabajo interno; i.e. a la energía de deformación. Para una armadura se tiene que (el segundo término equivale a la sumatoria de las energías de deformación almacenadas en cada parte de la armadura): Para una viga a flexión se obtiene la siguiente expresión (para evaluar la integral, se debe expresar el momento flector M como una función de la posición): Análogamente, para un elemento sometido a unmomento se tiene que: Limitaciones:
El análisis sólo permite obtener las deflexiones del cuerpo que se encuentra sometido a una única carga.
La deflexión calculada corresponde a la del punto de aplicación de la carga.
Se desconoce si la deflexión hallada al valor máximo del elemento o armadura. CARGAS DINÁMICAS
Se ha demostrado que el esfuerzo máximo y la deflexión máxima en el elemento, en condiciones de carga dinámica, están relacionados con el esfuerzo y la deflexión bajo carga estática, respectivamente, mediante un factor de impacto n dado por: Usualmente, los elementos deben diseñarse para soportar cargas de impacto (Tren de aterrizaje de un avión, soporte de una prensa mecánica, chasis de una camioneta todo terreno, entre otros). La expresión anterior permite obtener el valor del factor de impacto cuando se deja caer un objeto sobre el elemento a una altura h. Para hallar el factor de impacto bajo condiciones distintas (impacto de una bala en una estructura) deben realizarse análisis experimentales. Notas:
Las cargas dinámicas son cargas estáticas magnificadas.
El cuerpo en movimiento se supone rígido mientras que el que recibe el impacto se considera deformable con un comportamiento elástico lineal.
No se consideran las pérdidas de energía en calor y sonido durante el choque. Es el trabajo realizado por la computadora para calcular una estructura. Es un método basado en la conservación de la energía para calcular las deflexiones (pendiente y desplazamiento) en varios puntos de un cuerpo deformable El principio de conservación de la energía establece que el trabajo interno es igual al trabajo externo realizado sobre el cuerpo. Así pues, las cargas externas, que tienen un desplazamiento , producen cargas internas u con un desplazamiento interno S. A continuación, se supone que actúa sobre el cuerpo una carga virtual (imaginaria) unitaria en la dirección del desplazamiento real externo. Por conservación de la energía, aparece una carga virtual interna en la dirección del desplazamiento interno real. (en el caso de momentos, se aplica un momento virtual externo en la dirección de la deformación angular real y aparece un momento virtual interno en la dirección del desplazamiento angular real interno. Finalmente, con base en las ecuaciones deducidas para la energía de deformación interna, si se desea calcular el desplazamiento de un cuerpo debido a la acción de unas cargas reales externas, el trabajo interna está dado por la tabla, dónde n,m,t,v son cargas virtuales internas unitarias en la dirección de la deflexión. El análisis consiste en colocar una fuerza virtual en el punto dónde se desea conocer el desplazamiento y calcular las fuerzas internas con esa carga unitario. Subsiguientemente, se considera el elemento sometido a la carga externa real y se calculan las fuerzas internas. El valor de n, m, v, t será el hallado al aplicar la carga unitaria, luego, se hace el producto que aparece en la tabla y se determina el desplazamiento real. Notas:
El procedimiento anterior se utiliza para el análisis de armaduras, de esfuerzos térmicos, de defectos de fabricación y de vigas.

Si la sumatoria del producto n*N*L (para el caso de armaduras o elementos sometidos sólo a cargas axiales) es positivo el desplazamiento se da en la dirección de la carga virtual y si es negativo en el sentido contrario.

El método del trabajo virtual no permite conocer el punto dónde se da la mayor deflexión.

El método del trabajo virtual exige que se conozca, de antemano, la dirección del desplazamiento.

Se cumple el principio de superposición; el desplazamiento total será la suma de los trabajos internos virtuales.

En el análisis de vigas, se debe tener presente si la energía de deformación es despreciable al lado de la flexión (comparar sus magnitudes). Lo anterior es válido para vigas largas. Para el análisis de vigas, se considera el desplazamiento vertical por efecto del momento flector interno de la viga. En este caso se aplica una carga virtual unitaria que genera un momento interno virtual. Luego se calcula la productoria considerando el momento de flexión interno real (depende de la posición x en la viga) sobre la viga y se procede a hallar el desplazamiento.


Se debe prestar especial atención a la integración del trabajo interno de la viga, el momento flector es una función de x y por ende debe integrarse por partes si en la viga hubiese discontinuidades (discontinuidades debidas a la presencia de cargas distribuidas o cargas concentradas o momentos ya sea de caracter real o virtual). Si se desea conocer la pendiente en un punto se pone un momento virtual unitario en el punto y se calcula el momento interno virtual m' el cuál se reemplaza por m en la ecuación del trabajo virtual por flexión, en este caso el desplazamiento será la pendiente teta de la viga. El teorema de castigliano puede aplicarse para el análisis de vigas y armaduras y se obtienen las siguientes expresiones, respectivamente: El análisis para armaduras consiste en aplicar una fuerza P variable, en la dirección de la fuerza externa, la cual, se hará crecer hasta el valor de la carga externa. Subsiguientemente, se determinan las fuerzas internas en la armadura como función de P. Luego, la derivada que debe ser evaluado equivale al coeficiente hallado en las fuerzas internas calculadas como función de P. Finalmente se realiza la productoria y se calcula el valor de la deflexión. El procedimiento es el mismo realizado para el método del trabajo virtual, se coloca un carga P en el punto dónde se va a determinar la deflexión. Luego, se determina la ecuación del momento flector interno como función de P y se evalúa su derivada respecto a P. Con este valor, y habiendo calculado el momento flector real, se determina el desplazamiento evaluando la integral. (En el caso de la pendiente, se pone sobre la viga un momento M' en vez de una carga)

Recordemos que aplica el principio de superposición y que si el elemento está sometido a cargas de torsión, flexión y axiales, el desplazamiento total será la suma de cada uno de los desplazamientos provocados por los diferentes tipos de cargas. REFERENCIAS:
[1] "MECÁNICA DE MATERIALES", R.C. HIBBELER, SEXTA EDICIÓN, EDITORIAL PRENTICE HALL, TRADUCCIÓN DE JOSÉ DE LA CERA ALONSO, 2006, ISBN 970-26-0654-3.

[2] NOTAS DE CLASE CURSO ELEMENTOS DE MÁQUINAS I, UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, SEDE MEDELLÍN. [1]
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