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Copy of Ayudantia Sistemas y Señales

Tema: Muestreo - Teorema de muestreo - Ejemplos - Traslape
by

Hugo Vinueza

on 2 October 2013

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Transcript of Copy of Ayudantia Sistemas y Señales

Muestreo ideal
Ejemplos de Muestreo y Traslape
Traslape o Aliasing
Teorema de muestreo
Muestreo
Teorema del muestreo - Ejemplos - Traslape
Introducción:
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Río Cuarto
Sistemas
y Señales

Bajo ciertas condiciones, una señal continua, se puede recuperar por completo a partir de una secuencia de sus muestras igualmente espaciadas en el tiempo.
Aplicaciones del Teorema del muestreo:
Esto proporciona un mecanismo para representar una señal continua mediante una discreta.
Foto antigua
Scanner
Procesamiento
Impresión de la nueva foto
Digitalizar una foto antigua.
Señal continua
Señal discreta
Sistema discreto
Nueva señal continua
Muestreo con tren de impulsos
Con este método se puede representar el muestreo de una señal continua a intervalos regulares.
p(t) es el tren de pulsos periódicos, conocido como la función de muestreo. Con frecuencia fundamental ωs=2π/T conocida como frecuencia de muestreo, y T como el periodo de muestreo.
En el dominio del tiempo, xp(t) es un tren de impulsos en el cual las amplitudes de los mismos son iguales a las muestras de x(t) en intervalos espaciados por
T, es decir:
En el dominio de la frecuencia:
Si analizamos a xp(t) en frecuencia, sabemos que:
Además:
Como la convolución con un impulso desplaza la señal, entonces Xp(jω) es una función periódica de ω que consiste en las sumas de replicas de X(jω) desplazadas y escaladas 1/T.
En la figura (c) ωM<(ωs-ωM) es decir, ωs>2ωM, por lo tanto no hay traslape de las replicas desplazadas de X(jω), por ende, la señal original se puede recuperar exactamente con un filtro pasabajos de ganancia T y frecuencia de corte mayor que ωM y menor que ωs-ωM.

Recuperación exacta de una señal a partir de sus muestras utilizando un filtro paso bajas
Este resultado básico, conocido como teorema de muestreo, se puede expresar como sigue:
Si cumplimos con el teorema enunciado, podemos ver el proceso de recuperación de la señal x(t).


La correcta selección de frecuencia de muestreo, hace que las replicas de X(jω) en el tren de impulsos no se traslapen.


De esta manera podemos utilizar nuestro filtro ideal para eliminar las replicas, y tomar el espectro original de la señal x(t)
En la figura (d) hay traslape de replicas porque
(ωs-ωM) < ωM
Este efecto producido por el submuestreo, se da para ωs<2ωM, por ende en el espectro de xp(t), las replicas de X(jω) se traslapan y la señal original ya no se puede reconstruir por medio de un filtro paso bajas.
Sin embargo, para cualquier ωs, la señal original y la reconstruida, serán iguales en los instantes de muestreo. Es decir:
Para ver mejor este efecto, consideramos dejar constante a ωs, y observaremos que pasa con una señal senoidal cuando su frecuencia fundamental ω0 varia.

La señal a analizar es x(t)=cos(ω0.t), la señal recuperada a partir de un filtro paso bajas ideal es xr(t), a continuación veremos que sucede con la señal original y la señal recuperada para distintos ω0.
El traslape se produce en (d) y (e), cuando la frecuencia ω0 de la señal reconstruida, adopta la identidad de una frecuencia inferior, ωs-ω0, a medida que la frecuencia original ω0 aumenta, la frecuencia inferior ωs-ω0 disminuye.

Cuando la ωs=ω0 la señal reconstruida es una constante, ya que al muestrear una vez por ciclo, todas las muestras son iguales.

A continuación podemos ver el efecto de aliasing en el dominio del tiempo:
En estos 2 casos, las señales reconstruidas y originales son iguales, no se produce aliasing.
Aquí podemos ver que las señales reconstruidas presentan frecuencias menores a la señal original, en (c) vemos la fase invertida de la señal reconstruida, en fin, el efecto de aliasing es evidente para estos casos.
Teorema de muestreo:
Traslape en senoides muestreadas:
Sean x1(t) y x2(t) señales de banda limitada a 2kHz y 3kHz, respectivamente. Utilizar las propiedades de la transformada de Fourier para encontrar la frecuencia de muestreo, para las siguientes señales:

El espectro de x1(2t):
Al producirse una compresión en el tiempo, en el dominio de frecuencias se produce una expansión, lo cual hace que la banda se limite ahora a 4kHz. Por lo tanto Fs deberá ser mayor a 8kHz.

El espectro de x2(t-3):
Como el desplazamiento en el tiempo solo cambia la fase, la banda del espectro esta limitada a 3kHz. Por ende Fs deberá ser mayor a 6kHz.

El espectro de x1(t)+x2(t):
La suma de los 2 espectros, nos da un espectro total limitado en banda a 3kHz, de manera que Fs tendrá que ser mayor a 6kHz.

El espectro de x1(t).x2(t):
El nuevo espectro sera la convolución en frecuencia de x1(t) y x2(t) debido a la multiplicación en el tiempo. El espectro resultante es la suma de las frecuencias de los dos espectros y estará limitado en banda a 5kHz. Entonces la Fs deberá ser mayor a 10kHz.

El espectro de x1(t)*x2(t):
La convolución en el tiempo es la multiplicación en frecuencia,el espectro resultante se extiende únicamente hasta 2kHz. Por tanto Fs deberá ser mayor a 4kHz
Si consideramos la senoide x(t)=A.cos(2π.f0.t + θ) con f0=100Hz. Observar si existe el fenómeno de aliasing para distintos valores de Fs.

Con Fs=300Hz:
El fenómeno de alias no existe ya que Fs>2.f0 y se cumple con el teorema de muestreo, es decir Fs>200Hz.

Con Fs=80Hz:
En este caso se produce aliasing. La frecuencia fundamental de la señal recuperada es fa=f0-Fs= 20Hz. Entonces la señal xr(t)=A.cos(2π.20.t + θ)

Con Fs=60Hz:
Otra vez vemos un caso de aliasing, donde fa=f0-Fs= -20Hz. La señal recuperada es:
xr(t)=A.cos(2π.(-20).t + θ) = A.cos(2π.20.t - θ)
donde se ve claramente un cambio de fase.
Ejercicio practico:
Considere la señal x1(t)=cos(2π.10.t). La señal se muestrea con una frecuencia Fs=40Hz.

a)Determinar si se puede recuperar la señal original con un filtro ideal. Grafique todos los espectros.





b)Idem inciso a) pero con x2(t)=cos(2π.50.t).
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