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serie de taylor

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by

Oscar Garcia

on 27 November 2012

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Transcript of serie de taylor


Garcia Gonzalez Oscar
Garza Sollano Armando
Rosas Ruiz Ricardo
Lopez Lara Miguel ¿Que es Serie de Taylor? En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:


Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

Si a = 0, a la serie se le llama serie de McLaurin. Serie de Taylor Garcia Gonzalez Oscar
Garza Sollano Armando
Rosas Ruiz Ricardo
Lopez Lara Miguel Aplicaciones Por ejemplo en matemáticas hay algo que se llama el teorema fundamental del cálculo,
el cual dice que la integral definida en el intervalo a<x<b de una función no
negativa es el área bajo la curva de dicha función.
Ahora fíjate que para resolver la integral se busca la anti-derivada y luego se evalúa en a y b.
Ahora existen funciones que no tienen una anti-derivada, como es el caso de:
Sen(x^2). Para buscar la integral definida de esta función se recurre a las series de Taylor.
Otras aplicaciones en matemáticas es entender el crecimiento de funciones y
resolver ecuaciones diferenciales.
Ahora en mi opinión, Como la serie de Taylor es útil resolviendo ecuaciones diferenciales,
entonces ahí tienes una aplicación en ingeniería, ya que las ecuaciones diferenciales
tienen numerosas aplicaciones en ingeniería. Problemas El límite es lim cuando x tiende a cero de e a la x-(1+x) dividido entre x al cuadrado
Para calcular el límite de x cuando tiende a 0 de f=e^(x-(1+x)/x^2), lo podemos hacer de dos formas:
Primer método: resolviéndolo directamente:
f=e^(x-(1+x)/x^2)=e^(x-1-x)/x^2)=e^ (-1…
A continuación aplicamos que x tiende a 0 en el resultado anterior:
f=e^(-1/0)=e^(-infinito)=1/e^(infinito…
Como infinito es muy grande, sabemos que e^ (infinito) es aún más grande por lo tanto:
f=1/e^(infinito)=1/infinito=0
Por lo tanto, el límite cuando x tiende a 0 de f=e^(x-(1+x)/x^2) es 0.
Ahora vamos a realizar este límite utilizando el desarrollo de Taylor:
Lo primero que debemos saber es que el desarrollo de Taylor de e^f(x) es:
Taylor e^f(x)=1+f(x)+f(x)/2!+f(x)/3!....
Como podemos comprobar si introducimos la f(x)=x-(1+x)/x^2 en el Taylor y hacemos el límite,
este nos quedará bastante complejo, por lo que la forma óptima para hacerlo sería tal y como
lo hemos hecho con anterioridad. Esta representación tiene tres ventajas importantes:
•La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
•Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
•Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible. Alcances y Limitaciones •Alcances:
-Permite convertir cualquier función a un polinomio para un manejo más fácil de estas
-Te permite un que una función pueda ser utilizada en el la aplicación mas fácilmente.
•Limitaciones:
-Al ser una serie infinita nunca se lograra un resultado con el 100% de exactitud
-Mientras más complicada la función mayor grado de error tendrá la serie debido a dicha dificultad Conclusiones A lo largo de este trabajo no pudimos dar cuenta que las funciones son unas de las expresiones más complicadas de las matemáticas, la serie de Taylor nos permitió trabajar más fácilmente con ellas. También en la investigación del tema pudimos notar como recomendación que los primeros tres términos obtenidos son suficientes para dar una aproximación buena, si el trabajo es mas cerio se recomienda de 5 en delante de acuerdo a la aproximación que se le quiera dar.
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