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Capítulo 3: Vectores

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by

Armando Potes Gutiérrez

on 17 December 2014

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Transcript of Capítulo 3: Vectores

3. Vectores
3.1. Cantidades escalares y vectoriales
Cantidades Escalares
Son cantidades que se determinan completamente al conocer su magnitud y correspondiente unidad.

Las operaciones con escalares se llevan a cabo con la matemática corriente.
Cantidades Vectoriales
Estas cantidades requieren, además de magnitud, dirección y sentido para ser definidas.

Las operaciones con vectores requieren en buena forma del uso de la geometría, la trigonometría y el cálculo vectorial.
Ejercicio
De acuerdo a lo anterior, clasifique las siguientes cantidades como vectores o como escalares
Tiempo.
Velocidad.
Energía.
Masa.
Fuerza.
Temperatura.
Desplazamiento.
3.2. Representación de vectores
Letra en negrilla (
A, R, w, v
)
Letra y flecha en la parte superior
Flecha
Magnitud
Dirección
Sentido
3.2.1. Igualdad de vectores
Dos vectores son iguales si todas sus características son iguales (magnitud, sentido y dirección)
3.3. Adición de vectores.
Como se ha dicho anteriormente, las características de los vectores no solo los separa conceptualmente de los escalares, sino que a la vez las operaciones se deben realizar en diferente forma.
3.3. Adición de vectores
3 + 4 = 5
En este capítulo se presentan algunos métodos de suma de vectores
1 + 1 = 1
Sumar los vectores
A
y
B
de magnitudes 4 u y 3 u respectivamente
A
B
50°
Se dibujan los vectores uno a continuación del otro sin modificar sus magnitudes, direcciones ni sentidos.
A
B
50°
Ejemplo
Paso 1
Se traza el vector resultante
R
, desde el inicio del primer vector hasta el final de segundo.
Paso 2
A
B
R
Se miden la magnitud y dirección del vector resultante (longitud y ángulo)
Paso 3
R
α = 21°
6.4 u
R = 6.4 u
α = 21°
3.3.1. Método del triángulo
3.3.2. Método del paralelogramo
Ejemplo
Dados los vectores
A
y
B
de magnitudes 4 u y 5 u respectivamente determinar
A+B
A
B
125°
Paso 1
Se unen los vectores por sus inicios y se trazan líneas auxiliares paralelas hasta formar un paralelogramo.
A
B
125°
Paso 2
El vector resultante R va desde el inicio de los vectores hasta el vértice opuesto del paralelogramo
A
B
R
Paso 3
Al igual que en el método del triángulo, se mide la magnitud y dirección del vector resultante.
R
β = 74°
4.2 u
R = 4.2 u
β = 74°
sen β
cos α
3.3.3. Método trigonométrico
Recordar que en un triángulo rectángulo:
θ
Hipotenusa
Adyacente
Opuesto
Recordar que en todo triángulo:
α
β
γ
b
c
a
Al sumar dos vectores
A
y
B
que forman un ángulo θ entre sí:
θ
θ
β
A
B
R
Dados los vectores
A
(6u, 25°) y
B
(7u, 135°) hallar
R
=
A
+
B
Ejemplo:
Respecto a la horizontal
25°
45°
γ
A
B
R
70°
3.3.4. Método de componentes
Componentes rectangulares de un vector.
Dado el vector
A
(A,α), se realiza el siguiente procedimiento:
α
A
A
A
Dados los siguientes vectores, utilizar el método anterior para hallar por parejas, las sumas correspondientes
Ejercicio
A =

A =
x
y
x
y
x
y
A cos α
A sen α
En donde
A
y
A
son las componentes rectangulares de
A
x
y
Ejemplo:
Dado A (3 u, 40°), hallar sus componentes rectangulares.
Desarrollo:
A = 3 u cos 40° = 2.30 u
A = 3 u sen 40° = 1.93 u
x
y
Si se conocen A y A , se pueden encontrar A y su ángulo respecto al eje x, así:
A =
x
y
α =
Vectores unitarios rectangulares:
Son vectores de magnitud 1 (uno) que en el plano van dirigidos, uno en el eje positivo de las
x
(se nota
i
); y el otro en el eje positivo de las
y
(
j
).
Así, un vector como el anterior se escribe
A
=(2.30
i
+ 1.93
j
) u
x
y
j
i
Suma por componentes
Dados los vectores A y B para sumarlos por componentes se procede así:
Paso 1
Se encuentran las componentes de
A
y las de
B
A
= A
i
+ A
j
x
y
B
= B
i
+ B
j
x
y
A =

A =
x
y
A cos α
A sen α
B =

B =
x
y
B cos β
B sen β
Paso 2
Se suman las componentes en
i
y las componentes en
j
Paso 3
Se halla el vector resultante y su ángulo respecto al eje positivo de las x.
R
=
A
+
B =
(A + B )
i
+ (A + B )
j =
x
x
y
y
R
i
+ R
j
x
y
R =
θ =
3.4. Diferencia de vectores.
Hallar la diferencia
A -

B
donde
A y B
son

vectores

de magnitudes 4 u y 3 u respectivamente
A
B
50°
Se dibujan los vectores uno a continuación del otro sin modificar sus magnitudes. El vector a restar
B
se dibuja con su sentido opuesto, es -
B
.
A
-B
50°
Ejemplo
Paso 1
Se traza el vector resultante
R
, desde el inicio del primer vector hasta el final de segundo.
Paso 2
R
Se miden la magnitud y dirección del vector resultante (longitud y ángulo)
Paso 3
3.1 u
R = 3.1 u
α = - 48°
Dados los siguientes vectores, utilizar el método anterior para hallar por parejas, las diferencias correspondientes
A
-B
50°
R
A
-B
50°
Método del triángul
De igual forma, aplicando el mismo principio, se puede efectuar la diferencia de vectores con los demás métodos de suma explicados previamente.
A - B
es equivalente a
A + (-B)
La diferencia
La suma
Donde
-B
es un vector de igual magnitud y de sentido opuesto a
B
-48°
Ejemplo
Dados
A
y
B
de magnitudes 6 y 8 u con sentidos 50° y 300° respecto a la horizontal, hallar el vector diferencia
D
=
A
-
B
Método de componentes
A
= (3.86
i
+ 4.60
j
) u
-
B
= (-4.00
i
+ 6.93
j
)u
D
=
A
-
B

=(3.86
i
+ 4.60
j
) u + (-4.00
i
+6.93
j
) u
=(-0.14
i
+11.53
j
) u
D = 11.53 u
δ

= 90.70°
Se hallan las componentes de
A
y -
B
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