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Probabilidad

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Estefania Arredondo

on 14 June 2017

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Probabilidad
BRAINSTORM
ELEMENTS
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La probabilidad es la posibilidad que existe entre varias posibilidades, que un hecho o condición se produzcan. La probabilidad, entonces, mide la frecuencia con la cual se obtiene un resultado en oportunidad de la realización de un experimento sobre el cual se conocen todos los resultados posibles gracias a las condiciones de estabilidad que el contexto supone de antemano.
El estudio científico de la probabilidad, a diferencia de lo que ha ocurrido con otras cuestiones matemáticas (porque obviamente ambas disciplinas están estrechamente vinculadas entre sí), no resulta ser una preocupación que se remonta a la antigüedad, por ejemplo, tiempos en los que la mayoría de los grandes pensadores ocupaban aparentemente sus pensamientos en otras cuestiones más determinantes para esa época. Entonces, el estudio y la profundización acerca de la cuestión de la probabilidad, se puede decir que es más bien un acontecimiento moderno.
Probabilidad clásica, frecuencial y subjetiva
Experimentos, eventos y espacios muestrales
Reglas de conteo: combinaciones y permutaciones
Reglas de la probabilidad
Eventos dependientes, independientes y condicionales
La probabilidad clásica de un evento es la razón entre el número de casos (suceso) favorables, y el número total de casos (sucesos) posibles, siempre que nada obligue a creer que algunos de estos sucesos debe tener preferencia a los demás, lo que hace que sean igualmente posibles.
La probabilidad de un evento A: P (A), es un NÚMERO, que mide el grado de certeza en el que un evento A ocurre, y se obtiene con la formula conocida como REGLA DE LAPLACE:
Ejemplo:
En la gran final del concurso Srita. UPEM, la concursante elige un sobre.
Solución:
EA = La concursante elige un sobre
Ω = {sobre A, sobre B}
A = elegir el sobre A (para ganar el auto) P(A)=1/2
B = elegir el sobre B (para ganar la casa) P(B)=1/2


PROBABILIDAD DE FRECUENCIA RELATIVA
Si un experimento bien definido se repite n veces (n grande); sea nA < n el número de veces que el evento A ocurre en los n ensayos, entonces la frecuencia relativa de veces que ocurre el evento A “nA /n”, es la estimación de la probabilidad que ocurra el evento A, o sea:
 P(A)= nA /n
OBSERVACIONES:
1.-La frecuencia relativa de un evento, esta comprendido entre 0 y 1.
Por lo tanto 0 ≤ P(A) ≤ 1.
En efecto: Desde que 0 ≤ nA ≤ 1, 0/n ≤ nA /n ≤ 1, se tiene que 0 ≤ nA /n ≤ 1.
Luego, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
2.- nA /n = 0, si solo si, en las n repeticiones del experimento el evento A = 0.

¿Qué es la probabilidad frecuencial?
Es el valor fijo al que tienen las frecuencias relativas de ocurrencia del evento.
Proporcionando probabilidades aproximadas además de dar resultados después del experimento.
PROBABILIDAD DE FRECUENCIA SUBJETIVA
El enfoque subjetivo de una probabilidad es adecuado en casos que hay solo una oportunidad de ocurrencia del evento y ocurrirá o no ocurrirá esa sola ves.
La probabilidad subjetiva se define así:
• Dado un experimento determinado la probabilidad de un evento A, es el grado de creencia, asignado a la ocurrencia de este evento por un individuo en particular, basado en toda la evidencia a su disposición, con las siguientes exigencia:
Un experimento aleatorio es aquel que proporciona diferentes resultados aun cuando se repita siempre de la misma manera.
El conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio recibe el nombre de espacio muestral del experimento. Denotaremos el espacio muestral con la letra S.
Un evento es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio
Un paso necesario en la asignación de probabilidades es poder identificar y contar los resultados experimentales. A continuación se analizan tres reglas de conteo que resultan útiles.
EXPERIMENTO DE VARIAS ETAPAS
La primer regla de conteo es para experimentos de varias etapas. Considere el experimento que consite en lanzar dos monedas. Los resultados experimentales se definen en términos de la sucesión de caras o escudos que aparecen en las caras superiores de las dos monedas. ¿Cuantos resultados experimentales son posibles para este experimento? Lanzar las dos monedas se pueden considerar como un experimento de dos pasos en que el primero es el lanzamiento de la primera moneda y el segundo es el lanzamiento de la segunda. Si para denotar escudo usamos la H y para denotar cara empleamos una T.(H,H) indica el resultado experimental con escudo en la primera moneda y un escudo en la segunda. Con esta notación podemos describir el espacio muestral S para el lanzamiento de monedas de la manera siguiente:
S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}

Así vemos que son posibles cuatro resultados experimentales.En este caso, no es difícil listarlos todos.
La regla de conteo para experimentos de varias etapas permite determinar el numero de resultados experimentales sin listarlos.
REGLA DE CONTEO PARA EXPERIMENTOS DE ETAPAS MÚLTIPLES
Si un experimento se puede describir como una sucesión de K etapas, en las que hay n1 resultados posibles de la primera etapa, n2 en la segunda, etc.., la cantidad total de resultados experimentales es igual a (n1),(n2)......(nK).
Si el experimento de lanzar dos monedas se considera como una sucesión de primero lanzar una moneda (n1=2) y luego lanzar la otra (n2=2), podemos inferir de la regla de conteo que hay (2)(2)=4 resultados experimentales distintos. Como se observa, hay S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}. El numero de resultados experimentales en un experimento que consiste en el lanzamiento d seis monedas es (2)(2)(2)(2)(2)(2)=64
COMBINACIONES
Una segunda regla de conteo que con frecuencia es de utilidad, permite contar la cantidad de resultados experimentales cuando en un experimento se deben seleccionar r objetos entre un conjunto de n objetos(por lo común mas grande). Se llama regla de conteo para combinaciones. El orden de los objetos seleccionados no es importante en el orden.


Regla de conteo para combinaciones
La cantidad de combinaciones de n objetos tomados r a la vez es
La notación ! significa factorial; por ejemplo, 5 factorial es 5!=(5)(4)(3)(2)(1)=120. Por definición, 0! es igual a 1.
Un ejemplo de la regla de conteo para combinaciones es un procedimiento de control de calidad en que un inspector selecciona al azar dos de cinco partes, para examinar y ver si tiene defectos. En un grupo de cinco partes, ¿cuantas combinaciones de dos partes se puede seleccionar?. La regla de conteo de la ecuación que para n=5 y r=2 el resultado es
Así, hay 10 resultados en el experimento de seleccionar al azar dos partes de un grupo de cinco. Si identificamos a cinco partes como A,B,C,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE y DE
Una tercera regla de conteo que a veces resulta útil es la regla de conteo para permutaciones. Esta permite que uno pueda calcular el número de resultados experimentales al seleccionar r objetos de un conjunto n objetos, donde es importante el orden de selección. Si los mismos r objetos se seleccionan en otro orden se considera que se trata de un resultado experimental distinto. En las permutaciones sí importa el orden

Regla de conteo para permutaciones
El número de permutaciones de n objetos tomando r a la vez esta dado por
La regla de conteo para permutaciones tiene estrecha relación con la de las combinaciones. No obstante, un experimento tendrá más permutaciones que combinaciones para el mismo número de objetos porque cada selección de r objetos tiene n! formas distintas para ordenarlos.
Como ejemplo, considere de nuevo el proceso de control de calidad en que un inspector selecciona dos de cinco partes para hallar los defectos. ¿Cuantas permutaciones es posible seleccionar? La regla de conteo de ecuación muestra que con n=5 y r=2 se tiene
Por tanto, 20 resultados son posibles para el experimento de elegir al azar dos pares de un grupo de cinco cuando hay que tomar en cuenta el orden de selección. Si marcamos las partes A,B,C, y E, las 20 permutaciones son AB,BA,AC,CA,AD,DA,AE,EA,BC,CB,BD,,DB,BE,EB,CD,DC,CE,EC,DE,ED.
Probabilidad total
Sean A y B dos sucesos definidos en el experimento E, cada uno de los cuales puede presentarse o no cada vez que se realiza el experimento. Plantee estos dos sucesos en cada uno de los experimentos dados.
Nos interesa considerar el suceso aparición de “al menos uno de ellos”
Es decir, el suceso se cumplirá si aparece A, si lo hace B o si lo hacen ambos.
Para calcular esta probabilidad se pueden presentar dos casos:

Se puede obtener para tres sucesos y luego generalizar más.
Probabilidad condicional
Hay situaciones en las que interesa calcular la probabilidad de sucesos que tienen cierta información con respecto a un experimento. Dicha información reduce el espacio muestra original a uno de sus subconjuntos. De esta forma la probabilidad de un suceso será diferente si se tiene o no información adicional. Así por ejemplo, un animal elegido de aquellos que están vacunados tendrá una probabilidad mayor de no contraer la enfermedad que aquel seleccionado entre el conjunto total de animales. Este tipo de probabilidad se denomina probabilidad condicional y se expresa:
P(A / B) que se lee: probabilidad de que habiendo ocurrido B ocurra A, o probabilidad de A habiendo ocurrido B.
Probabilidad compuesta o conjunta
La probabilidad condicional estudiada nos conduce a observar reglas de probabilidad para sucesos conjuntos, es decir, la probabilidad de que dos o más sucesos aparezcan al mismo tiempo.
Dado que:
Se debe introducir en este momento un concepto nuevo: el de sucesos independientes.
Dos sucesos se dicen independientes si la probabilidad de ocurrencia de uno no es afectada por la ocurrencia del otro. Luego
Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.
Ejemplo: lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.
Eventos dependientes. La Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.
Se debe tener claro que A|B no es una fracción.
P (A|B) = P(A y B)/P(B) o P(B|A) = P(A y B)/P(A)
Evento cuyo resultado se ve afectado por el resultado de otro(s) evento(s).Sacar una segunda carta es un evento dependiente cuando se sacó una primera carta sin regresarla al paquete.
Probabilidad Condicional = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)
Dos eventos son independientes si el resultado del segundo evento no es afectado por el resultado del primer evento. Si A y B son eventos independientes, la probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales.
P(A y B) = P(A) · P(B)

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