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數學遊戲

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by

Light Lin

on 27 May 2013

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Transcript of 數學遊戲

一道趣味數學題提到,有位農夫到油行,想買兩袋5公升的麻油。但是油行裡除了三個容積分別是10公升、7公升、3公升的量油杯之外,沒有任何測量工具。油行如何運用這3個量杯,倒出兩個5公升的麻油呢?那如果量杯的容積分別是10公升、6公升、4公升或是10公升、8公升、2公升,是否也可以完成老和農夫的需求呢? 放牛吃草 前言:英國的大科學家牛頓,有一個數學問題: 「 3 頭牛在二星期裡,吃完了 2 畝地上所有的草; 而 2 頭牛在四星期裡能吃完 2 畝地上所有的草。要多少頭牛,能在六星期中吃完 6 畝地上所有的草?」(假設,每枝草的高度都一樣,而且每枝草的成長速率都一樣) 1946 前言:西元1946年4月1日(愚人節),美國報紙刊登一則報導,著名的天文學家兼數論專家the Professor Euclide Paracelso Bombast Umbugio預言:「2141年將是世界末日」並宣稱預言是透過數學與歷史研究所得到的。
他計算,當n=0,1,2,3,…,1945時,
1492^n-1770^n-1863^n+2141^n的數都能被1946所整除,巧合的是1492、1770、1863分別是一些重要的歷史年代
1.西元1492年哥倫布發現新大陸
2.西元1770年英國殖民引發波士頓慘案
3.西元1863年林肯發表「解放黑奴宣言」
4. (純粹預言…)「2141年將是世界末日」 1492^n-1770^n-1863^n+2141^n
= ( 2141^n–1863^n ) - (1770^n–1492^n )
2141-1863 = 1770-1492 = 278 ( = 2 × 139)
所以1492n -1770n-1863n + 2141n 可以被278整除。

此外,1492^n-1770^n-1863^n+2141^n
=( 2141^n-1770^n)-(1863^n-1492^n )
2141-1770= 1863-1492 = 371 (= 7 × 53)
所以1492n - 1770n - 1863n + 2141n 也可以被371整除。 然而問題是當時一般家用電腦無法計算
1492^1495-1770^1495-1863^1495+2141^1495,
那麼,他是如何檢驗「當n=0,1,2,3,…,1945時,
1492^n-1770^n-1863^n+2141^n的數都能被1946所整除」呢? 平方式巧解分配問題 有一堆一元銅板,總數是一個平方數,阿丹和阿華依序從這堆壹元銅板裡,輪流拿取10個銅板,最後一輪阿丹還可拿10個銅板,但是阿華卻拿不滿10個。阿丹最少需拿出多少銅板給阿華,兩人的銅板才會一樣多? 令每星期草可皆長高 x 公分,每枝草的原來高度都是 y 公分
(1) 「3 頭牛在 二星期裡,吃完了 2 畝地上所有的草」→
每頭牛每星期的食量是 [2(y+2x)/(3*2)]k,k是常數。
(2)「2 頭牛在四星期裡能吃完 了 2 畝地上所有的草」→
每頭牛每星期的食量是 [2(y+4x)/(2*4)]k,k是常數。 數學遊戲 張慈玲、楊書瑜、林柏廷 兩式合併後得[2(y+2x)/(3*2)]k=[2(y+4x)/(2*4)]k
→y=4x
→每頭牛每星期的食量 [2(y+4x)/(2*4)]k=2xk。 假設有a頭牛在6星期中吃完6畝地上所有草

每頭牛每星期的食量是 [6(y+6x)/(6*a)]k= 2xk

因此,a=5,所以需要 5 頭牛。 令當n=0,1,2,3,…,1945時
1492^n-1770^n-1863^n+2141^n=1946K(n,K皆為正整數)
a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+…+ab^(n-2)+b^(n-1)]
因此當n是正整數時,a^n-b^n都能被a-b整除 由於278與371互質,所以:1492^n – 1770^n – 1863^n + 2141^n =278×371=53×1946因此:1492^n – 1770^n – 1863^n + 2141^n =1946K(當n是正整數)得証。 條件:1.銅板總數是一個平方數2.總數是偶數。
令有n^2個壹元銅板,第x+1輪時阿丹拿10個銅板,而阿華只有 a 個可拿 ( 其中 a是整數且 0 < a ≦ 9 )。
→ n^2 = 10(2x+1)+a
而a是 0、1、4、5、6、9之一,且0不合(因為a>0)
1、5、9不合(因為 n^2必是偶數)→a必是 4 或 6。 當 a = 4,則 n^2 = 10(2x+1)+a= 20x+14 = 2(10x+7)因為10x+7沒有因數2,所以2(10x+7)不會是平方數,形成矛盾,因此 a≠4。當 a = 6,則 n^2 = 10(2x+1)+a= 20x+16 = 4(5x+4)成立如果x=12,則 n=16..............所以最後一輪,阿丹拿10個一元銅板,而阿華只拿 6 個一元銅板。為了讓兩人的銅板一樣多,阿丹只好拿出2個壹元銅板給阿華。 令老農夫將麻油倒進7公升的量杯x次;麻油由7公升量杯倒進3公升的量杯y次,因為最後7公升量杯裝5公升麻油,
所以7x-3y=5→y=(7x-5)/3=2x-2+(x+1)/3
設t=(x+1)/3,且t 是正整數→x=3t-1;y=2(3t-1)-2+t=7t-4。
所以取t=1時,x=2,y=3。
如果以(a,b,c)表示容積10公升、7公升、3公升量杯麻油的容量過程:
(10,0,0)-->(3,7,0)-->(3,4,3)-->(6,4,0)-->(6,1,3)-->(9,1,0)-->(9,0,1)-->(2,7,1)-->(2,5,3)-->(5,5,0) 如果量杯的容積分別是10公升、6公升、4公升,照上述假設,6x-4y=5,
(6,4)=2不是5的因數,所以這個不定方程式沒有整數解。而8x-2y=5也沒有整數解,因此容積10公升、6公升、4公升的量杯或是10公升、8公升、2公升都無法完成老農夫的需求的。 從不定方程式談分油問題 THE END:)
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