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Portafolio de evidencias de Cálculo Integral: Segundo Parcia

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by

Rubén García

on 12 January 2014

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Transcript of Portafolio de evidencias de Cálculo Integral: Segundo Parcia

U.A.E.H
Preparatoria no. 3
Materia: Cálculo Integral
Tema: Portafolio de Evidencias (Segundo Parcial)
Alumno: García Ordóñez Rubén
5º semestre Grupo 1
Profesor: Pedro Hernández Cortes

Hay 3 casos: Resolución:
Se resuelve descomponiendo la fracción en fracciones más simples

Se usa la fórmula:
Se presenta cuando el integrando es un producto de 2 funciones:
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Integración por fracciones parciales
Integración por sustitución trigonométrica
Se presenta cuando el integrando es una fracción:
Se presenta cuando el integrando es un radical:
Integración por partes
Competencias
Las competencias que se desarrollaron fueron:
Competencias Genéricas
Competencias Disciplinares
El alumno argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las TICs.
Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
Cuadro sinóptico mostrando los métodos de integración.
Resolver la siguiente integral, aplicando el Método de Integración con fracciones parciales:
3. Descomponemos la fracción original usando como numerador letras mayúsculas (constantes por determinar):
2. Factorizamos el denominador para poder descomponer la fracción:
1. Trabajamos la fracción de forma independiente (si la integral):
5. Realizamos la multiplicación y la simplificación:
Podemos factorizar el denominador
4. Pasamos multiplicando el denominador por la fracción descompuesta:
9.Factorizamos los polinomios (por factor común):
8. Ordenamos los polinomios (de manera creciente o decreciente):
7. Multiplicamos los monomios por los polinomios:
6. Simplificamos desarrollando los productos notables:
Método de igualación
10. Igualamos los coeficientes de las mismas potencias de “x”:
11.Tenemos que encontrar las incógnitas (A,B,C) resolviendo el sistema de ecuaciones simultaneas utilizando los métodos de resolución:
Obtenemos un sistema de ecuaciones simultaneas
Ya tenemos los valores de las incógnitas (A, B, C):
Método de suma y resta
13.Resolvemos la integral aplicando las fórmulas inmediatas:
12.Una vez que ya tenemos los valores de las incógnitas las sustituimos en las fracciones descompuestas e integramos:
Las funciones están completas
Verificamos que las funciones estén completas:
Seguimos aplicando formulario:
Como las funciones están completas podemos aplicar fórmulas inmediatas:
14.Aplicamos las leyes de los logaritmos:
Ordenamos los polinomios
Seguimos aplicando las leyes de los logaritmos:
Resultado final:
Resolver la siguiente integral, aplicando el Método de Integración con fracciones parciales.
3. Descomponemos la fracción original usando como numerador letras mayúsculas (constantes por determinar):
2.Factorizamos el denominador para descomponer la fracción en otras más simples:
1.Trabajamos con la fracción de manera independiente (sin la integral):
5. Realizamos la multiplicación y simplificación:
4. Pasamos multiplicando el denominador por la fracción descompuesta:
En este caso, en el que hay 3 factores repetidos (con exponente) en el denominador, se tomará un sumando con cada exponente posible, en este caso son 3:
7. Ordenamos los polinomios (de manera creciente o decreciente) y factorizamos los polinomios (por factor común)
6. Realizamos la simplificación y desarrollamos los productos notables, después realizamos la multiplicación de las constantes por los polinomios:
Sistema de ecuaciones simultaneas
8. Igualamos los coeficientes de las mismas potencias de “z”:
9. Tenemos que encontrar las incógnitas (A,B,C) resolviendo el sistema de ecuaciones simultaneas utilizando los métodos de resolución:
Ya tenemos los valores de las incógnitas (A,B,C)
11. Ahora podemos aplicar fórmulas inmediatas de integración:
10. Ya que tenemos los valores de las incógnitas (A,B,C) las sustituimos en las fracciones descompuestas e integramos:
Elevamos el primer denominador a su reciproco para aplicar formulario:
Seguimos aplicando fórmulas inmediatas de integración:
Efectuamos la multiplicación de fracciones algebraicas y como no puede haber potencias negativas lo pasamos a su reciproco y ordenamos al final:
Resultado final:
Resolver la siguiente integral, aplicando el Método de Integración por partes:
Resolver la siguiente integral, aplicando el Método de Integración por partes:
Resolver la siguiente integral, aplicando el Método de Integración por partes:
Trabajos elaborados en el portafolio
Tema: Cuadro sinóptico de los métodos de integración
Propósito: Que el alumno identifique a los diferentes métodos de integración (la forma en que se presentan y su resolución)
Tema: Ejercicios de métodos de integración (por partes, sustitución trigonométrica y por fracciones parciales)
Propósito: Que el alumno resuelva integrales por los métodos de integración y que argumente la solución obtenida.
Tema: Guia de solución de los Métodos de Integración
Popósito: Que el alumno formule, resuelve y argumente la solución obtenida de un problema con diferentes métodos, mediante el lenguaje verbal, matenático y el uso de las TICs

Comunicación
Creatividad
Pensamiento crítico
Uso de la Tecnología

Resolver la siguiente integral, aplicando el Método de Integración por Sustitución Trigonométrica:
Resolver la siguiente integral, aplicando el Método de Integración por Sustitución Trigonométrica.
Resolver la siguiente integral, aplicando el Método de Integración con fracciones parciales:
Resolver la siguiente integral, aplicando el Método de Integración con fracciones parciales:
Resolver la siguiente integral, aplicando el Método de Integración con fracciones parciales:
Resolver la siguiente integral, aplicando el Método de Integración con fracciones parciales:
Resolver la siguiente integral, aplicando el Método de Integración con fracciones parciales:
Resolver la siguiente integral, aplicando el Método de Integración con fracciones parciales:
Resolver la siguiente integral, aplicando el Método de Integración con fracciones parciales:
Resolver la siguiente integral, aplicando el Método de Integración con fracciones parciales:
Gracias por su atención
Doc. Word
3. Descomponemos la fracción original usando como numerador letras mayúsculas (constantes por determinar):
2.Factorizamos el denominador para descomponer la fracción en otras más simples:
1.Trabajamos con la fracción de manera independiente (sin la integral):
5. Realizamos la multiplicación y simplificación:
4. Pasamos multiplicando el denominador (factorizado) por la fracción descompuesta:
En este caso, en el que hay 2 factores repetidos (con exponente) en el denominador, se tomará un sumando con cada exponente posible, en este caso son 2:
7. Ordenamos los polinomios (de manera creciente o decreciente) y factorizamos los polinomios (por factor común)
6. Realizamos la simplificación y desarrollamos los productos notables, después realizamos la multiplicación de las constantes por los polinomios:
Ya tenemos los valores de las incógnitas (A,B,C)
9. Tenemos que encontrar las incógnitas (A,B,C) resolviendo el sistema de ecuaciones simultaneas utilizando los métodos de resolución:
Sistema de ecuaciones simultaneas
8. Igualamos los coeficientes de las mismas potencias de “x”
11. Ahora podemos aplicar fórmulas inmediatas de integración:
10. Ya que tenemos los valores de las incógnitas (A,B,C) las sustituimos en las fracciones descompuestas e integramos:
Tenemos que completar la primera integral
Verificamos que las funciones estén completas (a simple vista todas lo están, menos una):
Seguimos aplicando fórmulas inmediatas de integración:
Aplicamos las fórmulas de integración:
Agregamos el 2 y su reciproco en la primera integral para no alterarla:
Aplicamos las leyes de los logaritmos:
Realizamos las operaciones algebraicas que se presentan:
Es muy importante no saltarse ningún paso y escribir cada uno y efectuar la resta al final para evitar errores.
Como es una integral definida tenemos que evaluar:
Sustituimos el valor de “x” por los valores de los límites de integración (en la primera ecuación el límite superior y en la segunda el inferior) y efectuamos una resta:
Aplicamos las leyes de los logaritmos:
Efectuamos las operaciones que se presenten (aritméticas y algebraicas):
El resultado se indica en unidades cuadradas porque con la integral definida encontramos el área bajo una curva.
Resultado final:
Efectuamos las operaciones que se presenten (aritméticas y algebraicas):
De preferencia redondeamos los resultados a 4 decimales para un resultado más simple.
Graficamos la función:
3. Descomponemos la fracción original usando como numerador letras mayúsculas (constantes por determinar):
2.Factorizamos el denominador para descomponer la fracción en otras más simples:
1.Trabajamos con la fracción de manera independiente (sin la integral):
5. Realizamos la multiplicación y simplificación:
4. Pasamos multiplicando el denominador (factorizado) por la fracción descompuesta:
7. Ordenamos los polinomios (de manera creciente o decreciente) y factorizamos los polinomios (por factor común)
6. Realizamos la simplificación y desarrollamos los productos notables, después realizamos la multiplicación de las constantes por los polinomios:
9. Tenemos que encontrar las incógnitas (A,B,C) resolviendo el sistema de ecuaciones simultaneas utilizando los métodos de resolución:
Sistema de ecuaciones simultaneas

8. Igualamos los coeficientes de las mismas potencias de “x”
Multiplicamos por -1 para poder aplicar el método de suma y resta
Seguimos resolviendo el sistema de ecuaciones simultaneas:
Ya tenemos los valores de las incógnitas (A,B,C)
11. Ahora podemos aplicar fórmulas inmediatas de integración:
10. Ya que tenemos los valores de las incógnitas (A,B,C) las sustituimos en las fracciones descompuestas e integramos:
Aplicamos las leyes de los logaritmos:
Aplicamos la fórmula de integración (ya que a simple vista notamos que todas las funciones están completas):
Factorizamos el denominador:
Aplicamos las leyes de los logaritmos:
Efectuamos las operaciones que se presenten (aritméticas y algebraicas):
Como es una integral definida tenemos que evaluar:
Sustituimos el valor de “x” por los valores de los límites de integración (en la primera ecuación el límite superior y en la segunda el inferior) y efectuamos una resta:
Efectuamos la división de fracciones algebraicas y simplificamos la fracción:
Aplicamos las leyes de los logaritmos:
El resultado se indica en unidades cuadradas porque con la integral definida encontramos el área bajo una curva.
Resultado final:
Efectuamos las operaciones que se presenten (aritméticas y algebraicas):
De preferencia redondeamos los resultados a 4 decimales para un resultado más simple.
Gráfica de la función
3. Descomponemos la fracción original usando como numerador letras mayúsculas (constantes por determinar):
2.Factorizamos el denominador para descomponer la fracción en otras más simples:
1.Trabajamos con la fracción de manera independiente (sin la integral):
5. Realizamos la multiplicación y simplificación:
4. Pasamos multiplicando el denominador (factorizado) por la fracción descompuesta:
6. Realizamos la simplificación y desarrollamos los productos notables, después realizamos la multiplicación de las constantes por los polinomios:
7. Ordenamos los polinomios (de manera creciente o decreciente) y factorizamos los polinomios (por factor común)
9. Tenemos que encontrar las incógnitas (A,B,C) resolviendo el sistema de ecuaciones simultaneas utilizando los métodos de resolución:
Sistema de ecuaciones simultaneas

8. Igualamos los coeficientes de las mismas potencias de “x”
Seguimos resolviendo el sistema de ecuaciones simultaneas:
Ya tenemos los valores de las incógnitas (A,B,C)
Multiplicamos por -1 para poder aplicar el método de suma y resta
11. Ahora podemos aplicar fórmulas inmediatas de integración:
10. Ya que tenemos los valores de las incógnitas (A,B,C) las sustituimos en las fracciones descompuestas e integramos:
Aplicamos la fórmula de integración (ya que a simple vista notamos que todas las funciones están completas):
Seguimos aplicando las leyes de las logaritmos:
Aplicamos las leyes de los logaritmos:
Efectuamos las operaciones que se presenten (aritméticas y algebraicas):
Como es una integral definida tenemos que evaluar:
Sustituimos el valor de “x” por los valores de los límites de integración (en la primera ecuación el límite superior y en la segunda el inferior) y efectuamos una resta:
Efectuamos la división de fracciones algebraicas y simplificamos la fracción:
Aplicamos las leyes de los logaritmos:
El resultado se indica en unidades cuadradas porque con la integral definida encontramos el área bajo una curva.
Resultado final:
Efectuamos las operaciones que se presenten (aritméticas y algebraicas):
De preferencia redondeamos los resultados a 4 decimales para un resultado más simple.
Gráfica de la función
Seguimos aplicando las leyes de las logaritmos:

Efectuamos las operaciones que se presenten (aritméticas y algebraicas):
Como es una integral definida tenemos que evaluar:
Sustituimos el valor de “x” por los valores de los límites de integración (en la primera ecuación el límite superior y en la segunda el inferior) y efectuamos una resta:
Aplicamos la fórmula de integración (ya que a simple vista notamos que todas las funciones están completas):
7. Ordenamos los polinomios (de manera creciente o decreciente) y factorizamos los polinomios (por factor común)
6. Realizamos la simplificación y desarrollamos los productos notables, después realizamos la multiplicación de las constantes por los polinomios:
El resultado se indica en unidades cuadradas porque con la integral definida encontramos el área bajo una curva.
Resultado final:
Efectuamos las operaciones que se presenten (aritméticas y algebraicas):
De preferencia redondeamos los resultados a 4 decimales para un resultado más simple.
Ordenamos las ecuaciones para poder seguir aplicando las leyes de los logaritmos:
Aplicamos las leyes de los logaritmos:
11. Ahora podemos aplicar fórmulas inmediatas de integración:
10. Ya que tenemos los valores de las incógnitas (A,B,C) las sustituimos en las fracciones descompuestas e integramos:
Multiplicamos por -2 para poder aplicar el método de suma y resta
Seguimos resolviendo el sistema de ecuaciones simultaneas:
5. Realizamos la multiplicación y simplificación:
4. Pasamos multiplicando el denominador (factorizado) por la fracción descompuesta:
Efectuamos las operaciones que se presenten (aritméticas y algebraicas):
Efectuamos la división de fracciones algebraicas:
Aplicamos las leyes de los logaritmos:
Ya tenemos los valores de las incognitas:
Seguimos resolviendo el sistema de ecuaciones simultaneas:
3. Descomponemos la fracción original usando como numerador letras mayúsculas (constantes por determinar):
2.Factorizamos el denominador para descomponer la fracción en otras más simples:
1.Trabajamos con la fracción de manera independiente (sin la integral):
Multiplicamos por -3 para poder aplicar el método de suma y resta
9. Tenemos que encontrar las incógnitas (A,B,C) resolviendo el sistema de ecuaciones simultaneas utilizando los métodos de resolución:
Sistema de ecuaciones simultaneas
8. Igualamos los coeficientes de las mismas potencias de “x”
Gráfica de la función
Efectuamos las operaciones que se presenten (aritméticas y algebraicas):
Como es una integral definida tenemos que evaluar:
Sustituimos el valor de “x” por los valores de los límites de integración (en la primera ecuación el límite superior y en la segunda el inferior) y efectuamos una resta:
Seguimos aplicando las leyes de las logaritmos:
Aplicamos las leyes de los logaritmos:
Aplicamos la fórmula de integración (ya que a simple vista notamos que todas las funciones están completas):
11. Ahora podemos aplicar fórmulas inmediatas de integración:
10. Ya que tenemos los valores de las incógnitas (A,B,C) las sustituimos en las fracciones descompuestas e integramos:
7. Ordenamos los polinomios (de manera creciente o decreciente) y factorizamos los polinomios (por factor común)
6. Realizamos la simplificación y desarrollamos los productos notables, después realizamos la multiplicación de las constantes por los polinomios:
El resultado se indica en unidades cuadradas porque con la integral definida encontramos el área bajo una curva.
Resultado final:
Efectuamos las operaciones que se presenten (aritméticas y algebraicas):
De preferencia redondeamos los resultados a 4 decimales para un resultado más simple.
Efectuamos la división de fracciones algebraicas y simplificamos la fracción:
Aplicamos las leyes de los logaritmos:
5. Realizamos la multiplicación y simplificación:
4. Pasamos multiplicando el denominador (factorizado) por la fracción descompuesta:
3. Descomponemos la fracción original usando como numerador letras mayúsculas (constantes por determinar). En este caso, en el que hay dos factores repetidos (con exponente) en el denominador, se tomará un sumando con cada exponente posible, en este caso son 2:
2.Factorizamos el denominador para descomponer la fracción en otras más simples:
1.Trabajamos con la fracción de manera independiente (sin la integral):
9. Tenemos que encontrar las incógnitas (A,B,C) resolviendo el sistema de ecuaciones simultaneas utilizando los métodos de resolución:
Sistema de ecuaciones simultaneas
8. Igualamos los coeficientes de las mismas potencias de “x”
Multiplicamos por -1 para poder aplicar el método de suma y resta
Seguimos resolviendo el sistema de ecuaciones simultaneas:
Ya tenemos los valores de las incógnitas (A,B,C)
Gráfica de la función
Resultado final:
Ahora sustituimos el valor de las identidades trigonométricas:
Aplicamos la fórmula de integración:

Realizamos las operaciones aritméticas y algebraicas que se presentan:
Observamos la integral y notamos que le corresponde el caso 3 de sustitución trigonométrica. Realizamos la sustitución:
Aplicamos las fórmulas de integración:
Aplicamos la fórmula de integración:
Aplicamos nuestra segunda identidad trigonométrica:
Aplicamos nuestra primera identidad trigonométrica:
Ubicamos las funciones en el triangulo rectángulo:
Observamos la integral y notamos que le corresponde el caso 1 de sustitución trigonométrica. Realizamos la sustitución:
Resultado final:

Ahora sustituimos el valor de las identidades trigonométricas:
Aplicamos nuestra primera identidad trigonométrica:
Aplicamos la fórmula de integración:
Aplicamos las fórmulas de integración: Sin olvidar que esta incimplieta la integral de coseno y debemos agrarle el reciproco de 2.
Aplicamos la fórmula de integración:
Factorizamos el integrando:
Aplicamos la fórmula de integración:
Realizamos las operaciones aritméticas y algebraicas que se presentan:
Ubicamos las funciones en el triangulo rectángulo:
Aplicamos la fórmula de integración:
Y realizamos la división
Aplicamos nuestra segunda identidad trigonométrica:
Realizamos las operaciones algebraicas:
Resultado final:
5. Aplicamos la fórmula de integración:
4. Efectuamos las operaciones que se encuentren y aplicamos la fórmula:
3. Una vez que tenemos a “du” y “v” aplicamos la fórmula para la integración por partes:
2. De acuerdo con ILATE “u=x” y “dv=senxdx”, así que sacamos su diferencial y función primitiva respectivamente:
1. Hay que identificar a “u” y a “dv” para poder aplicar la fórmula de integración por partes, para esto usamos ILATE (Inversas. Logarítmicas. Algebraicas. Trigonométricas. Exponenciales), es un acróstico que tiene los tipos de funciones y nos sirve para saber cual de las 2 funciones es “u”.
4. Efectuamos las operaciones que se encuentren:
3. Una vez que tenemos a “du” y “v” aplicamos la fórmula para la integración por partes:
2. De acuerdo con ILATE “u=arctanx” y “dv=dx”, así que sacamos su diferencial y función primitiva respectivamente:
1. Hay que identificar a “u” y a “dv” para poder aplicar la fórmula de integración por partes, para esto usamos ILATE (Inversas. Logarítmicas. Algebraicas. Trigonométricas. Exponenciales), es un acróstico que tiene los tipos de funciones y nos sirve para saber cual de las 2 funciones es “u”.
Resultado final:
6. Ahora podemos aplicar la fórmula:
Debemos agregar 2 y su reciproco para completar y no alterar la integral,:
5. Verificamos que la función este completa para aplicar una fórmula inmediata:
2. De acuerdo con ILATE “u=x^2” y “dv=cosxdx”, así que sacamos su diferencial y función primitiva respectivamente:
1. Hay que identificar a “u” y a “dv” para poder aplicar la fórmula de integración por partes, para esto usamos ILATE (Inversas. Logarítmicas. Algebraicas. Trigonométricas. Exponenciales), es un acróstico que tiene los tipos de funciones y nos sirve para saber cual de las 2 funciones es “u”.
4. Efectuamos las operaciones que se encuentren y aplicamos la fórmula:
3. Una vez que tenemos a “du” y “v” aplicamos la fórmula para la integración por partes:
6. Ahora podemos aplicar la fórmula para la integración por partes:
5. Si observamos el integrando notamos que es un producto de 2 potencias, así que debemos hacer los mismos pasos anteriores para resolver la integral:
7. Realizamos las operaciones correspondientes y aplicamos las fórmulas:
Resultado final:
Aplicamos las leyes de los logaritmos:
Realizamos la multiplicación de fracciones algebraicas:
Efectuamos las operaciones que se presenten (aritméticas y algebraicas):
Como es una integral definida tenemos que evaluar:
Sustituimos el valor de “x” por los valores de los límites de integración (en la primera ecuación el límite superior y en la segunda inferior) y efectuamos una resta:
11. Ahora podemos aplicar fórmulas inmediatas de integración:
10. Ya que tenemos los valores de las incógnitas (A,B,C) las sustituimos en las fracciones descompuestas e integramos:
7. Ordenamos los polinomios (de manera creciente o decreciente) y factorizamos los polinomios (por factor común)
6. Realizamos la simplificación y desarrollamos los productos notables, después realizamos la multiplicación de las constantes por los polinomios:
5. Realizamos la multiplicación y simplificación:
4. Pasamos multiplicando el denominador (factorizado) por la fracción descompuesta:
El resultado se indica en unidades cuadradas porque con la integral definida encontramos el área bajo una curva.
Resultado final:
Efectuamos las operaciones que se presenten (aritméticas y algebraicas):
De preferencia redondeamos los resultados a 4 decimales para un resultado más simple.
En el primer integrando elevamos la “x” a su reciproco para poder aplicar las fórmulas:
Aplicamos la fórmula de integración:
9. Tenemos que encontrar las incógnitas (A,B,C) resolviendo el sistema de ecuaciones simultaneas utilizando los métodos de resolución:
Sistema de ecuaciones simultaneas

8. Igualamos los coeficientes de las mismas potencias de “x”
Se hace una división de polinomios ya que el numerador es más grande que el denominador:
3. Descomponemos la fracción original usando como numerador letras mayúsculas (constantes por determinar): En este caso, en el que hay dos factores repetidos (con exponente) en el denominador, se tomará un sumando con cada exponente posible, en este caso son 2:
2.Factorizamos el denominador para descomponer la fracción en otras más simples:
1.Trabajamos con la fracción de manera independiente (sin la integral):
Gráfica de la función
Como es una integral definida tenemos que evaluar:
Sustituimos el valor de “x” por los valores de los límites de integración (en la primera ecuación el límite superior y en la segunda el inferior) y efectuamos una resta:
Realizamos la multiplicación de fracciones algebraicas:
7. Ordenamos los polinomios (de manera creciente o decreciente) y factorizamos los polinomios (por factor común)
6. Realizamos la simplificación y desarrollamos los productos notables, después realizamos la multiplicación de las constantes por los polinomios:
El resultado se indica en unidades cuadradas porque con la integral definida encontramos el área bajo una curva.
Resultado final:
Efectuamos las operaciones que se presenten (aritméticas y algebraicas):
De preferencia redondeamos los resultados a 4 decimales para un resultado más simple.
11. Ahora podemos aplicar fórmulas inmediatas de integración:
10. Ya que tenemos los valores de las incógnitas (A,B,C) las sustituimos en las fracciones descompuestas e integramos:
5. Realizamos la multiplicación y simplificación:
4. Pasamos multiplicando el denominador (factorizado) por la fracción descompuesta:
3. Descomponemos la fracción original usando como numerador letras mayúsculas (constantes por determinar): En este caso, en el que hay dos factores repetidos (con exponente) en el denominador, se tomará un sumando con cada exponente posible, en este caso son 2:
2.Factorizamos el denominador para descomponer la fracción en otras más simples:
1.Trabajamos con la fracción de manera independiente (sin la integral):
En el primer integrando elevamos la “x” a su reciproco para poder aplicar las fórmulas:
Aplicamos la fórmula de integración:
9. Tenemos que encontrar las incógnitas (A,B,C) resolviendo el sistema de ecuaciones simultaneas utilizando los métodos de resolución:
Sistema de ecuaciones simultaneas
8. Igualamos los coeficientes de las mismas potencias de “x”
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