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Fractales 1.0

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by

Martín Melendro

on 16 May 2014

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Transcript of Fractales 1.0

Lt. Fractus:
(Interrumpido, Irregular, roto)

Objetos con autosimilidad en diferentes escalas
Fractales
Un Poco de Historia...
Al medir la longitud de la costa de un país, qué tan grande debe ser la regla para medirla?
Benoit Mandelbrot, matemático francés, utilizó por primera vez la palabra FRACTAL
Las Montañas son Fractales
¡La longitud de un objeto depende de la longitud de la medida!
Objetivo: Crear una "teoría de rugosidad"
Creó la Geometría Fractal
Ej. de Mangelbrot
La Curva de Koch
¿Cuántas dimensiones tiene un fractal?
1 dimensión
2 dimensiones
3 dimensiones
¡L tiende a Infinito!

Dimensión Fractal: Entre 1 y 2 dimensiones
"Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y las cortezas de los árboles no son lisas, ni los relámpagos viajan en una línea recta."
Mandelbrot, Introduction to The Fractal Geometry of Nature
Dimensiones: Extensión de un objeto en direcciones perpendiculares entre sí
Cada nivel está compuesto de 2 copias que miden 1/2 de lo que medía el nivel anterior
1ra Dimensión:
Cada nivel está compuesto de 4 copias que miden 1/4 lo que medía el nivel anterior
2da Dimensión:
Cada nivel está compuesto de 8 copias que miden 1/8 lo que medía el nivel anterior
3ra Dimensión:
4ta Dimensión?
Cada nivel está compuesto de 3 copias que miden 1/3 de lo que medía el nivel anterior
1ra Dimensión:
Cada nivel está compuesto de 9 copias que miden 1/9 lo que medía el nivel anterior
2da Dimensión:
Cada nivel está compuesto de 27 copias que miden 1/27 lo que medía el nivel anterior
3ra Dimensión:
4ta Dimensión?
Definición de Dimensión
Para un objeto de D dimensiones, se crea una estructura geométrica dividiendo repetidamente sus lados por un número M.

Cada nivel entonces tendrá M copias del anterior.

Llamaremos N al número de copias.
N = M
D
Sacamos el logaritmo a ambos lados...
log N = D log M
Resolvemos para D...
log N
log M
D =
N = 3
M = 4
D =
log 4
log 3
≈ 1.26
¿Qué es la dimensión fractal?
Medida de rugosidad de un objeto
Medida de la complejidad de un objeto
Grado de fragmentación de un objeto
Densidad de la estructura de un objeto
"La medida de la cascada de detalles de un objeto en todas sus escalas
Sierpinski Triangle
Regla de Iteración: Remover el triángulo que se forma por los tres puntos medios de cada triángulo.
número de copias = 3
reducción de tamaño = 2
Dimensión Fractal =
log 3
log2
≈ 1.58
¿Para qué sirven?
http://thecreatorsproject.vice.com/blog/mesmerizing-gifs-of-mri-scanned-food-and-flowers
D
¿Qué es una Dimensión?
Número de ejes de coordenadas independientes en las que se extiende un objeto.
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