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NUMEROS REALES

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by

Yajaira Abigail

on 24 November 2014

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Transcript of NUMEROS REALES

NUMEROS REALES
CONJUNTOS NUMERICOS
REGLA DE TRES, PORCENTAJES, RAZONES Y PROPORCIONES
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
Números Naturales (N)
Un número natural (designados por ℕ) es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto.
Es todo número perteneciente a la serie :
Números Decimales
Un número decimal es aquel que se puede expresar mediante una fracción decimal.
Consta de dos partes: entera y decimal.
PORCENTAJE
Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100.

Ejemplos:
*Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?
Ejercicios Propuestos
1.)Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda?

2.) Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud.

3.) 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?

4.) De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje?

5.)Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?

Ejercicios Propuestos:
Número Enteros (Z)
Los números enteros (designado por Z) son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al 0
Elementos de un Número Racional
Tipos de Fracciones
Fracciones Equivalentes por Amplificación y Simplificación
Dos o mas fracciones son equivalentes cuando el resultado del cociente o el resultado de la operación es igual.
Ejemplo:



1.) Por Amplificación:Si se multiplica el numerador y denominador de una fracción por un número entero, distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente a la dada.
Ejemplo:


2.)Por Simplificación:Si divide el numerador y denominador de una fracción por un número entero, distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente a la dada.
Ejemplo:

Números Racionales (Q)
Número racional es un grupo numérico que abarca a todo número que se represente como el cociente de dos números enteros con denominador distinto de cero. Se representa por Q.
es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo
FRACCIONES PROPIAS: Las fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador, su resultado sera menor que 1.
Ejemplo:

FRACCIONES IMPROPIAS: Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Su valor es mayor que 1.
Ejemplo:

*Fracciones aparentes: son aquellas en las que el numerador es igual al denominador, por lo tanto, son iguales a la unidad.
*Si el numerador es mayor que el denominar y son múltiplos entonces su resultado es un numero entero
Ejemplo:



*Fracción mixta: está compuesto de una parte entera y otra fraccionaria.
Ejemplo:

Transformación de un Decimal a Fracción
1. De un decimal exacto a una fracción
Para transformar el número decimal a fracción decimal se utilizan potencias de diez (10, 100, 1.000, etc.). Se colocan tantos ceros en el denominador como cifras decimales tenga el número.

Ejemplos:
2. De un decimal periodo puro a una fracción
1) Se anota el número y se le resta él o los números que están antes del período

2) Se coloca como denominador un 9 por cada número que está en el período (si hay un número bajo la rayita se coloca un 9, si hay dos números bajo el período se coloca 99, etc.). Si se puede simplificar, se simplifica.

Ejemplos:
3. De un decimal periódico mixto a una fracción
1) El numerador de la fracción se obtiene, al igual que en el caso anterior, restando al número la parte entera y el anteperíodo, o sea, todo lo que está antes de la “rayita”.

2) El denominador de la fracción se obtiene colocando tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras tenga el anteperíodo. Como siempre, el resultado se expresa como fracción irreductible (no se puede simplificar más) o como número mixto.

Ejemplo:
Ejercicios propuestos:
REGLA DE TRES

La regla de tres es un procedimiento para calcular el valor de una cantidad comparándola con otras tres o más cantidades conocidas.

REGLA DE TRES SIMPLE Y DIRECTA
Ejemplo:
Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas?
Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a menos horas recorrerá menos kilómetros.
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
Ejemplo:
Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto?
Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto tardará más en llenar el depósito.
REGLA DE TRES COMPUESTA DIRECTA
Ejemplo:
Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 €. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.
REGLA DE TRES COMPUESTA INVERSA
REGLA DE TRES COMPUESTA MIXTA
Ejemplo:
Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan?
Ejemplo:
5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?
*Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?
RAZÓN Y PROPORCIÓN
Razón es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí, expresado como fracción.
PROPORCIÓN
Una proporción es una igualdad entre dos razones.
RAZÓN
Los términos de una razón se llaman: antecedente y consecuente. El antecedente es el dividendo y el consecuente es el divisor.
Ejemplo:
La razón en los lados de un rectángulo de 5 cm de altura y 10 cm de base es:
Propiedades de las proporciones:
En una proporción del producto de los medios es igual al producto de los extremos.
En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones.
Si en una proporción cambian entre sí los medios o extremos la proporción no varía.
PRODUCTOS NOTABLES
1. Producto de un monomio por un polinomio
2. Cuadrado de un binomio
MODELOS:


REGLA: El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer termino, mas o menos el doble producto del primero por el segundo termino, mas el cuadrado del segundo termino

EJEMPLO:
3. Suma por la diferencia de cantidades iguales
MODELO:


REGLA: El producto de las conjugadas es igual al cuadrado del primer menos el cuadrado del segundo termino

Ejemplo:
4. Cubo de un binomio
MODELO:


REGLA: El cubo de un binomio es igual es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

EJEMPLO:
Ejercicios Propuestos
5. Cuadrado de un trinomio
MODELO:


REGLA: Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.

EJEMPLO:
6. Producto de binomios con un termino en común
MODELO:


REGLA: Producto de binomios con un termino en común es igual al cuadrado del primer término, más el producto de la suma de los dos segundos términos por el primer término, más el producto de los segundos términos.

EJEMPLO:
7.Producto de un binomio por un trinomio
MODELO:



REGLA: El producto de un binomio por un trinomio es igual a la suma de los cubos de los dos términos

EJEMPLOS:

MODELO: x(a+b+c)= xa+xb+xc

REGLA: Se aplica l propiedad distributiva. Se multiplica el monomio por cada termino de polinomio

EJEMPLO:
FACTORIZACION
1. Factor común monomio
CARACTERISTICAS:

*Debe tener dos o más términos.
*Cada términos debe tener al menos un factor que se repita, factor en común.
*Hay dos tipos de factor común: numérico y literal.
*Se extrae el factor común y después se divide cada término para el factor común.

EJEMPLOS:
2. Factor común polinomio
CARACTERISTICAS:

*Debe tener dos o más términos.
*Cada término debe tener un factor que se repita , un factor en común.
*Se extrae el factor común y después se divide cada término para el factor común.

EJEMPLOS:
3. Factor común por agrupación
MODELO: am – bm + an – bn
= ( am + an ) – ( bm + bn )
= a ( m + n ) –b ( m + n )
= ( m + n ) (a – b )

CARACTERISTICA:
*Debe tener dos a mas términos, pero números pares.
*Agrupamos los términos que tienen un factor en común.
*Se debe agrupar los términos convenientemente, de modo que de cada agrupación haya un factor común.

EJEMPLO:

4.Diferencia de cuadrados
MODELO:


CARACTERISTICAS:
*Debe haber solo dos términos cuadráticos que se están restando.
*La respuesta será la suma por la diferencia de la raíces.

EJEMPLO:
5. Trinomio al cuadrado perfecto
MODELO:


CARACTERISTICAS:
*Debe tener tres términos ordenados descendentemente o ascendentemente.
*Los signo solo pueden estar: + + ó - + .
*Los extremos son cuadrados perfectos.
*El segundo término es el doble producto de las raíces.
*La respuesta es un binomio elevado al cuadrado.

EJEMPLO:
11. Suma y resta de potencias impares e iguales
CARACTERISTICAS:
*Deben ser dos términos.
*Se suma y se resta las potencias impares , se descompone en un binomio por un polinomio.
*Binomio: suma o resta de potencias iguales.
*Polinomio: la potencia nos indica el número del término del polinomio.
*Nota: este método se fundamenta en la suma y diferencia de cubos.

EJEMPLO:

6.Combinación de trinomio y diferencia
CARACTERISTICAS:
*Debe tener 4 ó 6 términos.
*4 términos: agrupo tres términos que van a formar el trinomio al cuadrado perfecto. Y con el termino que quedó se va a formar la diferencia de cuadrados.
*6 términos: agrupo 3 términos y después otros 3 para que se formen 2 trinomios y después se hace la diferencia de cuadrados con los resultados del los trinomios.

EJEMPLOS:
7. Trinomio de la 1era forma
MODELO:


CARACTERISTICAS:
*Debe tener tres términos ordenados descendentemente.
*El primer término es cuadrado perfecto con coeficiente 1.
*Los signos pueden estar de todas las formas: + + , + - , - + , - -
*Se buscan dos números que sumados algebraicamente me den el coeficiente del segundo término, y que también multiplicados me den el coeficiente del tercer término.
*El resultado serán dos binomios.

EJEMPLOS:

8. Trinomio de la 2da forma
MODELO:


CARACTERISTICAS:
*Debe haber tres términos ordenados descendentemente.
*El coeficiente del primer término tiene que ser cuadráticos y su coeficiente no es 1.
*Los signos pueden estar de todas las formas: + + , + - , - + , - -
*Se multiplica el coeficiente del primer término por el coeficiente del término independiente.
*Se sigue el mismo proceso del trinomio de la primera forma.
*Su resultado son dos binomios.

EJEMPLOS:
9. Trinomio incompleto
CARACTERISTICAS:
*Debe tener 2 ó 3 términos ordenados descendentemente.
*Si son 2 términos: hay que sumar los términos cuadráticos, determinamos el doble producto de dichos términos, simultáneamente sumar y restar dicha cantidad al polinomio para formar trinomio al cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados.
*Si son 3 términos: el termino del medio no corresponde al doble producto de las raíces de los términos cuadrados. *Simultáneamente se suma y resta dicha cantidad para formar un trinomio al cuadrado perfecto y una diferencia de cuadrados

EJEMPLOS:
10. Suma y resta de cubos
MODELO:


CARACTERISTICAS:
*Deben ser dos términos cúbicos.
*El primer binomio es el la suma o la diferencia de las raíces y el 2do es un polinomio homogéneo en el que se aplica el binomio de Newton.

EJEMPLO:

12. Ruffini o método de evaluación
CARACTERISTICAS
*Es un polinomio ordenado descendentemente.
*Separamos los coeficientes de sus signos.
*Completamos con 0 si faltan términos.
*Determinamos los divisores del término independiente

EJEMPLO:
4m (a + x – 1 ) + 3n ( x – 1 + a ) = ( a + x – 1 ) ( 4m + 3n )
( a + b ) x + ( a + b ) y = ( a + b ) ( x + y )
FRACCIONES ALGEBRAICAS
DEFINICION
Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por:
P(x) es el numerador.

Q(x) es el denominador.
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
Simplificación de fracciones algebraicas
Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común de ambos.

EJEMPLO:
Amplificación de fracciones algebraicas
Para amplificar una fracción algebraica se multiplica elnumerador y el denominador de la fracción por un polinomio.

EJEMPLO:
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Con el mismo denominador
La suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fracción algebraica con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores.

EJEMPLO:
Suma de fracciones algebraicas con distinto denominador
Si las fracciones tienen distinto denominador en primer lugar se ponen las fracciones algebraicas a común denominador, posteriormente se suman los numeradores.

EJEMPLO:
PRODUCTO Y DIVISION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Producto de fracciones algebraicas
El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica donde el numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores.



EJEMPLO:
División de fracciones algebraicas
El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica con numerador el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y con denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.


EJEMPLO:
Ejercicios Propuestos:
ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA
DEFINICION:
Las ecuaciones lineales o de primer grado son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adopten esa expresión.
Solo tiene una variable o ingnita

EJEMPLOS:
Ejemplos:
Ejercicios Propuestos
En general para resolver una ecuación lineal o de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:
1 Quitar paréntesis.
2 Quitar denominadores.
3 Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.
4 Reducir los términos semejantes.
5 Despejar la incógnita.
Resolución de ecuaciones lineales
Resolver las siguientes ecuaciones lineales con una incógnita
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
Cuaderno de Matemática
Tema: Números Reales
Yajaira Acosta
José Andino
A1-CQ-V06
Ing. Jorge Bracero
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