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ALGEBRA LINEAL APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL

En este trabajo, mostraremos cómo un sistema de ecuaciones lineales puede ayudar a resolver un problema de transito.
by

Nayibe Ruiz

on 25 January 2013

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Transcript of ALGEBRA LINEAL APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL

Entonces, se tiene la solución final de nuestro problema. Para lograr que el tránsito sea mínimo en x5 se debe tener:

0 ≤ x1 ≤ 800
x2 = 600
- 400 ≤ x3 ≤ 0 x3 = 0 (x3 no puede ser negativo)
x4 = 0
x5 = 400
600 ≤ x6 ≤ 1000
0 ≤ x7 ≤ 800 De la primera ecuación se tiene:

X6 ≤ 1300
 
De la séptima ecuación, se tiene:

X6 ≥ 500
 
De la tercera y sexta ecuación se tiene:

X7 ≥ 100 X7 ≤ 500 Así que, para minimizar el flujo de transito por “x5”
(C – D) sin crear congestionamientos, se debe considerar un flujo de 400 vph en esa calle y cerrar el transito en x4 (D – E) porque para tener x5 = 400 se necesita que x4 = 0. Por ultimo, con x4 = 0 se tiene:

x1 = 1300 – x6
x2 = 200 + x5 = 200 + 400 = 600
x3 = 100 - x7
x4 = 0
x5 = 400
x6 = 500 + x7
x7 = - 500 + x6 Está claro que x4 no puede ser negativo (se tendría tránsito en el sentido contrario al permitido en la calle), se debe tener que:
X5 ≥ 400
 
x1 = 1300 – x6
x2 = 200 + x5
x3 = 100 – x7
x4 = 0
x5 = 400
x6 = 900 – 400 + x7 = 500 + x7
x7 = 400 – 900 + x6 = - 500 + x6 Escribiendo este sistema en forma de matriz aumentada y resolviéndolo por reducción de renglones se obtiene, sucesivamente: Obtenemos las ecuaciones a resolver en cada una de las intersecciones:

En A 800 + 500= x1 + x6 x1 + x6 = 1300
En B x1 + x7 = x2 + 200 x1 – x2 + x7 = 200
En C x2 + 100 = 300 + x5 x2 – x5 = 200
En D x5 + 100 = x4 + 500 x4 – x5 = - 400
En E x4 + 100 = x3 + x7 x3 – x4 + x7 = 100
En F x3 + x6 = 600 De la segunda ecuación se deduce que x7 ≤ 600. De la ultima ecuación, x7 ≥ 200. Entonces, se tiene la solución final de nuestro problema. Para lograr que el tránsito sea mínimo en x4 se debe tener:

 x1 = 100
0 ≤ x2 ≤ 400 (porque 200 ≤ x7 ≤ 600)
300 ≤ x3 ≤ 700
x4 = 300
0 ≤ x5 ≤ 400
x6 = 0
200 ≤ x7 ≤ 600 Ahora está claro que ya que x6 no puede ser negativo (se tendría tránsito en el sentido contrario al permitido en una calle), se debe tener que
 
x4 ≥ 300 Y hasta aquí se puede llegar. Evidentemente, hay un número infinito de soluciones. Usando la última matriz encontrada, se puede escribir cada variable en términos de x6 y x7:

x1 = x6 + 100
x2 = x6 – x7 + 600
x3 = -x7 + 900
x4 = x6 + 300
x5 = x7 - 200 Para encontrar estas restricciones, veamos, por ejemplo, la intersección B. El transito que fluye a la intersección B es, según el mapa, x2 + x5. El transito que sale de la intersección B es x4 + 100. Suponiendo que el transito no se acumula en la intersección B, el transito de “entrada” debe ser igual al transito de “salida”. Así se obtiene la ecuación:

x2 + x5 = x4 + 100

o bien
 
x2 – x4 + x5 = 100 En el mapa se indica el flujo de transito que entra o sale a cada calle, en unidades de vehículos por hora (vph).

Ya que el flujo de transito varia considerablemente durante el día, supondremos que los números mostrados representan el flujo de transito promedio a la hora de máximo flujo que se da, aproximadamente entre las 4 pm y las 5:30 pm. En este trabajo, mostraremos cómo un sistema de ecuaciones lineales puede ayudar a resolver un problema práctico de tránsito. UN MODELO PARA ESTUDIO DEL TRANSITO GROSSMAN, Stanley I. Aplicaciones del Algebra Lineal. Versión en español de la obra Applications for Elementary linear Algebra – Third Edition. Traducida por Mat. Alfonso Leal Guajardo. Grupo Editorial Iberoamérica. México 1988. Págs. 96 a 99 BIBLIOGRAFÍA Escribiendo este sistema en forma de matriz aumentada y resolviéndolo por reducción de renglones se obtiene, sucesivamente: A partir de este análisis en cada intersección, se obtiene el siguiente sistema de seis ecuaciones en siete incógnitas:

En A x1 – x4 = - 200
En B x2 – x4 + x5 = 100
En C x3 + x5 = 700
En D x1 – x6 = 100
En E x2 – x6 + x7 = 600
En F x3 + x7 = 900 Para resolver nuestro problema de minimización, le agregamos marcas a nuestro mapa.

Aquí se han marcado las seis intersecciones “A” hasta “F” y se ha denotado el flujo de transito entre las intersecciones adyacentes por las variables x1 hasta x7. El problema consiste ahora en minimizar x4, sujeta a las restricciones del problema. Supóngase ahora que un grupo esta planeando una manifestación en Merritts Avenue, entre Courtland Street y Peachtree Street a las 5 pm del miércoles. La policía de Atlanta puede hasta cierto punto controlar el flujo de transito reajustando los semáforos, colocando policías en los cruces clave, o cerrando la calle critica al transito de vehículos.

Si se disminuye el transito por Merritts Avenue, aumentara en las calles adyacentes. La cuestión es minimizar el transito por Merritts Avenue (Entre Courtland y Peachtree) sin ocasionar congestionamientos en las otras calles. Para concretar más, empezamos con un mapa que muestra una pequeña zona de Atlanta, (EEUU). Presentado por: 
NAYIBE RUIZ COLLAZOS
ALEJANDRO CASTRO
  
Presentado a: 
Mg. JULIÁN ANDRÉS ZÚÑIGA
Matemático
Mg Ingeniería Física

UNIVERSIDAD DEL CAUCA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
POPAYÁN
ENERO 2013 ALGEBRA LINEAL APLICADA A LA
INGENIERÍA CIVIL **** Ejercicio
En el siguiente mapa, minimícese el transito en la calle indicada con asteriscos (****). El problema consiste en minimizar x5, sujeta a las restricciones del problema. Y hasta aquí se puede llegar. Evidentemente, hay un número infinito de soluciones. Usando la última matriz encontrada, se puede escribir cada variable en términos de x5, x6 y x7:

x1 + x6 = 1300 x1 = 1300 - x6
x2 – x5 = 200 x2 = 200 + x5
x3 – x4 + x7 = 100 x3 – x4 = 100 - x7
x4 – x5 = – 400 x4 = – 400 + x5
x5 + x6 – x7 = 900 x5 = 900 – x6 + x7
x3 = 100 + x4 – x7 = 100 + (-400+ x5) – x7
x3 = - 300 + x5 – x7 Así que, para minimizar el flujo de transito en Merritts Avenue entre Courtland y Peachtree (sin crear congestionamientos), la Policía de Atlanta debe considerar un flujo de 300 vph en esa calle y cerrar el transito en Pine Street entre Peachtree y Courtland (porque para tener x4 = 300 se necesita que x6 = 0). Por ultimo, con x6 = 0 se tiene:
x1 = 100
x2 = -x7 + 600
x3 = -x7 + 900
x4 = 300
x5 = x7 - 200  Mediante el análisis del flujo vehicular se pueden entender las características y el comportamiento del transito, requisito básico para el planeamiento, proyecto y operación de carreteras, calles y sus obras complementarias dentro del sistema de transporte. Con la aplicación del algebra lineal, el análisis de flujo vehicular describe la forma como circulan los vehículos en cualquier tipo de vialidad.

Debido a las diferentes circunstancias en las intersecciones o cruces viales pueden generarse congestionamientos o los comúnmente llamados trancones, a fin de evitar dichos trancones, se pueden realizar diferentes procesos, para ello se deben conocer los flujos de saturación. Por lo general en las horas de máximo flujo de vehículos la vía puede llegar a su capacidad generando trancones, las medidas que se pueden tomar seria aumentar el verde del semáforo por dicho cruce vial o también hacer circular de manera controlada los vehículos por dicho cruce estableciendo un máximo numero de vehículos por hora y desviando algunos de estos hacia las otras alternativas.

El algebra lineal se puede aplicar a problemas de transito, obteniendo a través de esta los valores máximos de vehículos por hora (vph) sobre la intersección vial en la cual evitaríamos congestionamientos. Es decir estableciendo un máximo número de vph para cada calle, partiendo de que se conocen los datos de la hora de conflicto y el número de vehículos que comúnmente transitan en dicha hora. CONCLUSIONES
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