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Transformaciones lineales inversas

Algebra lineal
by

vicpac gutierrez

on 14 November 2012

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Transcript of Transformaciones lineales inversas

Núcleo y recorrido de una proyección ortogonal Sea T : R4--->R4 la multiplicación por Definición Se dice que una transformación lineal T : V ---> W es uno a uno si T mapea vectores distintos de V en vectores distintos de W. (a) ker (T) es el eje z Núcleo y recorrido de una rotación Ejercicio utilizando transformación inversa Transformación que no es 1 a 1 Transformaciones lineales inversas Figura A Sea T: R3---> R3 el operador lineal definido por la formula

T(x1,x2,x3) = (3x1+x2, -2x1 -4x2 + 3x3, 5x1 + 4x2 -2x3)

Determinar si T es uno a uno; en caso afirmativo, encontrar T (x1,x2,x3)


Solución
La matriz estándar para T es: Mapeo Un mapeo es una regla que transforma elementos de un espacio a él mismo o a otro TRANSFORMACIONES LINEALES INVERSAS sea T: R --> R la proyección ortogonal sobre el plano xy. El núcleo de T es el conjunto de puntos que T mapea en 0=(0,0,0); se trata de los puntos que están sobre el eje z (figura A). Como T mapea todo punto de R en el plano xy, el recorrido de T debe ser algún subconjunto de este plano. Pero todo punto (x0,y0,0) en el plano xy es la imagen bajo T de algún punto; de hecho, es la imagen de todos los puntos que están sobre la recta vertical que pasa por (x0,y0)(figura B). Por tanto, R(T) es todo el plano xy. Sea T: R2-->R2 el operador lineal que hace girar a todo vector en el plano xy a través del ángulo (figura C). Como todo vector en el plano xy se puede obtener haciendo girar algún vector a través del ángulo (por que?), se tiene R(T)=R2. Además, el único vector que gira en 0 es 0, de modo que ker(T)=0. (0,0,z) T (0,0,0) y x z z y x Figura B T (x0, y0,0) (b) R(T) es todo el plano xy (x0,y0,z) v T(v) y x Figura C Recordando que una transformación lineal de Rn a Rm se denomina uno a uno o biunívoca si mapea vectores distintos de Rn en vectores distintos de Rm. 1 3 -2 4 2 6 -4 8 3 9 1 5 1 1 4 8 Determinar si T es uno a uno A A Solución
El problema dado es equivalente a determinar si A es invertible. Pero det(A)=0, ya que los dos primeros renglones de A son proporcionales y, en consecuencia, A no es invertible. Por tanto, T no es uno a uno -1 3 1 0 -2 -4 3 5 4 -2 T = Esta matriz es invertible y, por la matriz estándar para T es: 4 -2 -3 -11 6 9 -12 7 10 T = T -1 = -1 T -1 x x x 1 2 3 = T -1 x x x 1 2 3 = 4 -2 -3 -11 6 9 -12 7 10 x x x 1 2 3 = 4x -2x -3x -11x 6x 9x -12x 7x 10x 1 1 1 2 2 2 3 3 3 Expresando este resultado en notación horizontal, se obtiene: T (x x x)=(4x-2x-3x ,-11x+6x+9x ,-12x+7x+10x ) -1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 SE CONCLUYE QUE A= Descanse en paz
XD !! FIN de la presentación Gracias por tu atención 3 3 3 Biunívoca Una correspondencia biunívoca, o correspondencia uno-a-uno, es simplemente una correspondencia unívoca cuya correspondencia inversa también es unívoca
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