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REGLA DE TRAPECIO Y REGLA DE CAVALIERI-SIMPSON

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Marisol Iacobaccio

on 10 November 2014

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Transcript of REGLA DE TRAPECIO Y REGLA DE CAVALIERI-SIMPSON

CONTEXTO HISTÓRICO
REGLA DE TRAPECIO
Y
REGLA DE CAVALIERI-SIMPSON

PROPUESTA
Reseña histórica: para entender el motivo de la aparición de los Métodos de Aproximación por Integrales.
Fórmula de Newton-Cotes: la Regla del Trapecio y la Regla de Cavalieri-Simpson son casos particulares de dicha fórmula.
Características y ejemplos de cada método.
Comparación de resultados obtenidos.
Conclusiones.
MÉTODO DEL TRAPECIO
EJEMPLO MÉTODO DEL TRAPECIO
REGLA DE CAVALIERI-SIMPSON Y SU EJEMPLO
COMPARACIÓN DE EJERCICOS
El origen de la integral definida se remonta en la época de Arquímedes (287-212 A. C. aproximadamente), matemático griego de la antigüedad, mucho antes de ser descubierto el cálculo integral.

En el siglo XVII, Newton y Leibniz, llegaron al descubrimiento del cálculo diferencial e integral, donde sintetizaron dos conceptos llamados actualmente derivada e integral.

Generalizaron la idea de que la derivación y la integración eran procesos inversos en “Los Teoremas Fundamentales del Cálculo”, para resolver problemas en los cuales sus predecesores habían ocupado gran parte de su tiempo.
Tales problemas eran:

* cálculo diferencial, al estudiar la determinación de las rectas tangentes la curvatura y los problemas de máximo y de mínimo;

* de cálculo integral, en la determinación de cuadraturas, encontrar las longitudes de curvas, áreas y volúmenes determinadas por curvas o superficies, y centros de gravedad de cuerpos.

* de algoritmos infinitos, al ocuparse de series, de productos infinitos, de fracciones continuas infinitas
Faltó en ellos la vinculación entre esos problemas aparentemente independientes; el carácter riguroso, carentes de toda demostración entendida en el sentido lógico, tal como se presentaba en los métodos de los antiguos.
Los métodos infinitesimales antes de Newton y Leibniz, tenían mucha influencia de la geometría.

Con respecto a la regla Cavalieri-Simpson, corresponde a la regla del tonel que Johannes Kepler, que se preocupó del estudio de volúmenes, motivado por la inexactitud de las cuentas de los vinateros al medir el vino que cabía en sus toneles.
Uno de estos métodos estudiados por Kepler, consistió en aproximar la curvatura del barril por una parábola, dado que los cálculos con ayuda de parábolas ya se podían realizar muy exactamente desde Arquímedes.
Fórmulas de integración de Newton-Cotes
El Método del Trapecio es la primera de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes. Comprende polinomios de grado 1.
La Regla del Trapecio responde a la siguiente fórmula:
Regla Trapecial Compuesta
Consiste en dividir el intervalo de integración en subintervalos y aplicar en cada uno de ellos la regla del Trapecio. Esta regla permite disminuir el error.
Tomando a y b como xo y xn respectivamente, la integral total queda representada de la siguiente manera:
Dada la función calculamos la integral con la Regla de Trapecio Compuesta considerando el intervalos (0;3), y con n=2 del cual obtenemos que el valor de h es igual a: h= 3/2
Utilizar la Regla del Trapecio Compuesta con n=2 para aproximar la siguiente integral:
Interpretación geométrica de esta regla: como puede verse en la figura, es equivalente a aproximar el área de la figura bajo la parábola que pasa por f(a), f((a+b)/2) y f(b).
El método de Cavalieri-Simpson se obtiene al considerar tres nodos: x0, x1, x2. La fórmula asociada a este método corresponde x0=a, x1= (a+b)/2 y x2=b
Si es el polinomio de interpolación en estos puntos es p2, entonces resulta la segunda fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes:
Así como el método de la regla trapezoidal, la regla de Simpson se puede mejorar dividiendo el intervalo de integración en una cantidad determinada de segmentos de igual anchura, obteniendo la siguiente expresión:
EJERCICIO:
Encontrar una aproximación de la siguiente integral mediante la Regla de Cavalieri-Simpson:
Solución:
Dada la función, calculamos la integral por medio de la Regla de Cavalieri-Simpson considerando el intervalo (0;3), del cual obtenemos la siguiente expresión:

Al calcular la integral por los dos métodos estudiados se han obtenido diferentes valores. Ambos difieren del valor exacto de la integral.
I=98,42768
I1= 150,70307 Calculo por Regla de Trapecio
I2=110,55252 Calculo por Regla de Cavalieri-Simpson
Cuando
n
es grande, los intervalos de integración son pequeños, con lo cual al aplicar una regla de cuadratura a cada uno de los intervalos, se espera que el error cometido sea pequeño, siendo el error total la suma de los errores cometidos en cada intervalo de integración.
Cuando
n
tiende a infinito, el error tiende a cero.
Veamos que sucede con un valor de n mayor, como por ejemplo n =100, para lo que resulta:
I1=98,45028
Siendo el valor exacto de la Integral I=98,42768, con lo cual cuanto mayor es n, más próximo es el resultado al valor exacto y menor el error.
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