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El universo de las sucesiones

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by

Eduardo Campos

on 7 April 2014

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Transcript of El universo de las sucesiones

¿Cómo se originaron las sucesiones?
En matemáticas, la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377..
Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci.
¿Qué es una sucesión?
Se le llama sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de ellos es denominado término de la sucesión.
Clasificación de las funciones
Se dice que una sucesión es aritmética cuando la diferencia entre un término cualquiera y el anterior es constante.
Como se encuentra el término general de una sucesión Aritmética
Una sucesión aritmética es aquélla en la cual la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante. La fórmula para el término general de una sucesión aritmética es an+b, en donde a y b son constantes, y n es el número del término deseado. Específicamente, la constante a es la diferencia entre un término y el anterior.
El universo de las sucesiones.
¿Quién fue Fibonacci?
Bien, Fibonacci fue un matemático italiano del siglo XIII, el primero en describir esta sucesión matemática. También se lo conocía como Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo y ya hablaba de la sucesión en el año 1202, cuando publicó su Liber abaci.
¿Qué es una función?
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y(llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).
¿Qué es dominio?
Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x).
¿Qué es recorrido de una función?
El recorrido, también llamado rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función.
Propiedades de los exponentes
Exponentes Cero
Muchos estudiantes que inician piensan que es raro que algo elevado a la potencia de cero sea 1. ("Debe ser 0") Puede usar la propiedad del producto de potencias para mostrar porque esto debe ser verdadero.
7^0 × 7^1 = 7^(0 + 1) = 7^1
Sabemos que 7^1 = 7. Así, esto nos dice que 7^0 × 7 = 7. ¿Qué número por 7 es igual a 7? Si decimos que 0, tenemos 0 × 7 = 7. No es verdadero.


Exponentes Negativos
Puede usar la propiedad del producto de potencias para encontrar esta también. Suponga 5^-2 × 5^2 = 5^(-2 + 2) = 5^0
Sabemos que 5^2 = 25, y sabemos que 5^0 = 1. Así, esto nos dice que 5^-2 × 25 = 1. Qué número por 25 es igual a 1? Ese sería su inverso multiplicativo, 1/25.

En general, para todos los números reales a y b, donde a no sea igual que 0, tenemos:

a^-b= 1/a^b

Propiedad del Cociente
de Potencias
Cuando multiplica dos potencias con la misma base, Usted suma los exponentes. Así cuando divide dos potencias con la misma base, Usted resta los exponentes. En otras palabras, para todos los números reales a, b, y c, donde a no sea igual que 0.

Sucesión de Fibonacci
Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas.
En matemáticas, la sucesión de Fibonacci es la sucesión infinita de números naturales.

Número Áureo
Se trata de un número que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en las partes de un cuerpo, y en la naturaleza como relación entre cuerpos, en la morfología de diversos elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, proporciones humanas, etc.
Sucesión Aritmética
Sucesión Geométrica
Se dice que una sucesión es geométrica si el cociente entre un término cualquiera y el anterior es constante. El cociente recibe el nombre de razón.
Características de las sucesiones
Sucesión Creciente
Cuando un término cualquiera de la sucesión es mayo que el término que le antecede, entonces la sucesión es creciente. Matemáticamente esto lo expresamos de la siguiente manera:
Si m<n entonces f (m)> f(n).
Ejemplo de una sucesión creciente:
F(n)= n^2-n+41
F(1)=41
F(2)=43
F(3)=47

Sucesión Decreciente
Una sucesión es decreciente cuando un término cualquier es mayor que el término posterior a él.
De otra manera es decreciente.
Si m< entonces f(m)>f(n).
F(n)= 4-2n
F(1)=2
F(2)=0
F(3)=-2
F(4)=-4

Una sucesión decreciente es acotada inferiormente si existe un número menor que todos sus términos.
Ejemplo:
F(n)= 1/n
F(1)= 1
F(2)=1/2
F(3)=1/3
F(4)=1/4

Esta sucesión está acotada inferiormente por cero.

Decreciente Acotada
Acotada Superiormente
Una sucesión creciente es acotada superiormente si existe un número mayor que todos sus términos
Ejemplo:
F(n)= n/n+1
F(1)= 1/2
F(2)=2/3
F(3)=3/4
F(4)=4/5

Está acotada superiormente por 1.

F(n)= an+b
Hallemos el término general
de la siguiente sucesión
Notemos la sucesión: 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…
La diferencia entre cualquier término y el anterior es 3, de modo que el término general sería 3n + b.
Para encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n = 1.
De esta forma, 3(1) + b = 8, y por lo tanto b = 5.
Por lo tanto, el término general de la sucesión es: 3n + 5.
Si queremos encontrar el término 25 de la sucesión, sustituimos 25 en la anterior fórmula:
3(25) + 5 = 80. De modo que el término 25 de la sucesión tiene el valor de 80.

Interpolación de
medios aritméticos
Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Interpolando términos
Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.
Sustituyendo

R/ 8, 3, -2, -7 , -12.
Como se encuentra la suma de los n primeros términos de una sucesión Aritmética
Historia de Gauss
La maestra de Johann Carl Friedrich Gauss llego a dar la clase y les puso a todos sus alumnos un ejercicio en la pizarra que creía que les iba a llevar tiempo y podría descansar. El ejercicio era sumar los primeros 100 número enteros (del 1 al 100), pocos tiempo paso cuando Gauss dijo que había terminado, la maestra pensó, "De plano que no quiere trabajar"; su sorpresa fue que él ya había resuelto el ejercicio, pero no solo eso sino que el resultado era correcto. La maestra le pregunto -¿cómo resolviste tan rápido el problema?- y el contesto -me di cuenta que si sumaba el ultimo con el primero (1+100) me daba 101, si sumaba el segundo con el penúltimo (2+99) también daba 101, y así sucesivamente hasta el 50 y 51 que también daban 101, así que lo que hice fue multiplicar 101*50; y así saque el resultado "5,050"-. Gauss solo tenía 10 años de edad.
El método de Gauss se
resume en lo siguiente:
La suma del primero y último término es igual a la suma del segundo con el penúltimo, a la suma del tercero con el antepenúltimo y a la suma de dos términos cualesquiera que equidisten de los valores extremos.
Calculemos la suma de los primeros 20 términos.
La suma del primero y el último término, así como la suma de cada pareja de números unidos por la flecha es siempre igual a 40.
Como hay 10 parejas de números y la suma de cada pareja es 40, se tiene que la suma total es:
10 (40) = 400

Para 1, 3, 5, 7, 9…, 39
Término general: F(n)= 2n – 1
Como se encuentra el término general de una sucesión geométrica
Primero debemos saber, ¿qué es una sucesión geométrica?
Es aquella en la cual el cociente entre dos términos consecutivos es una constante.
¿Cómo se Calcula del término general de una sucesión geométrica?
El término General se calcula de la manera siguiente:
F(n)= a*r^n-1
Pasos para encontrar el Termino General
1) Se obtiene el cociente entre dos términos de la sucesión la cual se representa con la letra R.
2) En la formula se escribe “a” y se multiplica por “r” y el cual está Elevando a la potencia “n” y se le resta 1 y toda esta operación y se iguala termino el cual estamos buscando.
3) Se procede a operar la resta que se encuentra en el exponente, al realizar la resta se procede a elevar exponencialmente dicho número indicado para obtener el valor de “r”.
4) como ya tenemos el valor de “r” y esta se está multiplicando con a. Despejamos y el valor de “r” pasa a dividir y así encontramos el valor de “a”.
5) al tener el valor de todos los términos de la Función solo sustituimos valores y podemos encontrar cualquier término de la sucesión geométrica.

1) 9, 27, 81,243
r= 27÷9
r=3
n=1
a= ¿?




F(n)= a*r^n-1
F(n)= a*3 1-1 =9
F(n)=a*30=9
F(n)=a*1=9
F(n)=a =9/1
F(n)=a=9

*Sustituir los términos en la formula*
F(n)= 9*3n-1
Interpolación de medios geométricos
¿Qué es la interpolación de medios Geométricos?
Es cuando encontramos entre dos números reales dados, un número específico de términos que junto con los dos dados originalmente, pertenezcan a una sucesión geométrica.
Intercalemos entre 1 y 216 dos medios geométricos.
Solución:
Ya se sabe que el término general de una sucesión geométrica es F(n)= a*r^n-1
Debemos encontrar por tanto los valores de las constantes a ^ r.
Como entre 1 y 216 se van a intercalar dos términos, entonces se tendrán cuatro términos. El primero será 1 y el cuarto 216. Se tiene por tanto las dos igualdades siguientes:

Al efectuar los cocientes términos a término, se expresa en raíz exponencial para encontrar la mínima expresión:
Al sustituir este valor de r en la igualdad resulta:
El término general es f(n) =1*6^n-1
Ahora que tenemos el término general podemos encontrar los 2 medios geométricos que faltan.
F(2)= 1*6^2-1
F(2)=1*6^1
F(2)=6

F(3)= 1*6^3-1
F(3)=1*6^2
F(3)=36

Los cuatro términos son:
1, 6, 36, 216

Como se encuentra la suma de los n primeros términos de una sucesión geométrica
r: Cociente entre un término y su anterior.
n: Es el número de termino deseado.
a: Se obtiene del primer término.

Ejemplo: 3, 6, 12, 24, 48, 96…
R: 6/3=2 n: 10 a: 3
Encuentra la suma de los primeros 9 términos de la progresión geométrica 5, 10, 20 …
Sucesiones en la naturaleza
Que situaciones de la vida real se pueden solucionar aplicando las sucesiones aritméticas
El día en que Juancito, cumplió 15 años, recibió una alcancía y un centavo. Su padre le dijo que ahorrara ese centavo y también los dos que te daré mañana; pasado mañana te daré tres y así sucesivamente cada día te aumentare un centavo, para que ahorres y abras la alcancía el día que cumplas 16 años, ¿Cuánto dinero tendrá ahorrado Juancito el día que rompa la alcancía?
0.01, 0.02, 0.03, 0.04, …

R/ Juancito tendrá ahorrado $677.95 cuando tenga 16 años.
Preguntas del anteproyecto
1. ¿Para qué nos sirven las sucesiones?
2. ¿Qué nos enseñan las sucesiones?
3. ¿Qué son las sucesiones?
4. ¿Cómo podemos aplicar las sucesiones a nuestro entorno?
5. ¿Cuál es la diferencia entre sucesión geométrica y aritmética?
6. ¿Qué proceso necesitamos para conocerlas?
7. ¿De dónde provienen las sucesiones?
8. ¿Cuándo surgieron las sucesiones?
9. ¿Cómo sabemos cuándo una sucesión es aritmética o geométrica?
10. ¿Cuál es el fin de las sucesiones?
11. ¿Qué relevancia tienen las sucesiones?
12. ¿Qué características tienen las sucesiones?
13. ¿En qué momento se aplican las sucesiones?
14. ¿Quién invento las sucesiones?
15. ¿Por qué es importante conocer las sucesiones?
16. ¿Cómo se clasifican las sucesiones?
17. ¿Cómo se resuelven las sucesiones?
18. ¿
19. ¿Qué procedimiento seguimos para encontrar el termino general de una sucesión?
20. ¿Qué es interpolación?
Preguntas Generadoras
1. ¿Qué son las sucesiones?
2. ¿Cómo se resuelven las sucesiones?
3. ¿Cuál es el origen de las sucesiones?
4. ¿Se aplican sucesiones a nuestro entorno?
5. ¿Qué características tienen las sucesiones?
6. ¿Cómo se clasifican las sucesiones?
Eje Temático
¿Qué son las sucesiones?
1. Descubriendo las sucesiones.
2. Entrando al maravilloso mundo de las sucesiones.
3. El Universo de las sucesiones.
4. Las sucesiones te aman.
5. Divirtiendonos con las sucesiones.
Nombres propuestos para el proyecto
“El universo de las sucesiones”
Nombre del proyecto
Propiedad de Potencia de un Producto
En general, para todos los números reales a, b, y c (mientras que tanto a y c o tanto b y c no sean cero):
a^c × b^c = (ab)^c
Para encontrar la potencia de un producto, ya sea que encuentre la potencia de cada factor y luego multiplique o multiplique los factores y eleve a la potencia el producto.
Propiedad de Potencia de un Cociente
Esta es bastante similar a la anterior. Por la eliminación de factores comunes, puede ver que:
Para todos los números reales a, b, y c (siempre que b no sea igual que 0, y a y c ambas no sean 0):
Propiedad de potencia de una potencia
La propiedad del producto de potencias puede ser desarrollada. Suponga que tiene un número elevado a una potencia, y multiplica la expresión completa por si misma una y otra vez. Esto es lo mismo que elevar la expresión a una potencia: (5^3)^4 = (5^)(5^3)(5^3)(5^3)
Pero la propiedad del producto de potencias nos dice que
(5^3)(5^3)(5^3)(5^3) = 5^3 + 3 + 3 + 3 = 5^4(3) = 5^12
Así es suficiente con solo multiplicar las potencias.
En general, para todos los números reales a, b, y c,
(a^b)^c = a^bc.
Exponentes Racionales
Hemos cubierto los exponentes positivos, exponentes negativos, y los exponentes cero. Pero ¿qué pasa si tiene un exponente que no es un entero?
En general:
Qué situaciones de la vida real se pueden solucionar aplicando las sucesiones Geométricas.
Pedro inicia guardando $20,000 pesos y por cada día que pasa después del primero guarda la mitad de lo que guardó el anterior. ¿Cuánto tendrá guardado a los 10 días?
Juan inicia un plan de ahorro par 20 días.
El primer día ahorra 1 peso con 5O centavos y por cada día que pasaba ahorraba el doble de lo que había ahorrado el día anterior.
Cuánto tendrá que ahorrar el día número 20?
A los 20 días ¿Cuánto tendrá ahorrado en total?
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