Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

Matematika - középszint 2011 október 18.

No description
by

Takács Márton

on 19 March 2014

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of Matematika - középszint 2011 október 18.

1.) Írja fel prímszámok szorzataként a 420-at!
Azokat a természetes számokat, melyeknek pontosan két osztójuk van (egy és önmaguk), prímszámoknak nevezzük.
2, 3, 5, 7, 11, 13 ... Sárga függvény tábla 20. oldala.
420
2
210
2
105
3
35
5
7
7
1
420/2
210/2
420 = 2*2*3*5*7
2.) Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen!
5
4
=
9
36000
/
9
=
+
4000
5
*
4000
4
*
4000
=
=
20000
16000
3.) Egy sejttenyészetben 2 naponta kétszereződik meg a sejtek száma. Az első nap kezdetén 5000 sejtből állt a tenyészet. Hány sejt lesz a tenyészetben 8 nap elteltével? Számításait részletezze!
8 nap telt el
/A feladat forrása: oktatas.hu - Matematika középszint 2011 október 18./
8/2 azaz 4-szer duplázódott meg a sejtek száma
1. megduplázódás:
5000*2=10000
2. megduplázódás:
3. megduplázódás:
4. megduplázódás:
10000*2=20000
20000*2=40000
40000*2=80000
5000
*
2
*
2
*
2
*
2
=
=
5000
*
2
4
=
80000
4.) Jelölje N a természetes számok halmazát, Z az egész számok halmazát és az üres halmazt! Adja meg az alábbi halmazműveletek eredményét!
5.) Az ábrán a valós számok halmazán értelmezett "f(x)=|x+a|+b" függvény grafikonjának egy részlete látható. Adja meg a és b értékét!
6.) Adja meg a 2; 11; 7; 3; 17; 5; 13 számok mediánját!
2;
/Forrás: oktatas.hu - Matematika középszint 2011 október 18./
Matematika Középszint - 2011 október 18.
0
I
0
I
a) N Z;
U
b) Z U ;
0
I
c) \ N.
N
a)
Z
0,1,2,3,4,5...
...-4,-3,-2,-1,
0,1,2,3,4,5...
N
Z
A természetes számok részhalmaza az egész számoknak.
N
U
Z
=
N
b)
0
I
Egy eleme sincs.
0
I
Z
-4
-3
0
1
2
Z
U
0
I
=
c)
Z
...
4
3
0
1
2
...
0
I
N
N
0
I
\
=
0
I
|x|
|x+2|
|x
+a
|
|x|
|x-1|
|x
-a
|
X
Y
X
Y
|x|
|x|-3
|x
-b
|
X
Y
|x|
|x|+1
|x
+b
|
X
Y
|x|
+b
|x
-a
|
|x|
|x
+a
|
-b
3
2
2
a
=2
=-3
b
5;
3;
11;
7;
13;
17
7.) Rajzoljon le egy 4 pontú egyszerű gráfot, amelyben a pontok fokszáma rendre 3, 2, 2, 1!
A gráf pontok és azokat összekötő vonalak halmaza.
8.) Egy számtani sorozat ötvenedik tagja 29, az ötvenegyedik tagja 26. Számítsa ki a sorozat első tagját!
9.) Ha a =1, akkor az alábbi egyenletek közül melyik azonosság?
Pl.:
Megoldás:
számtani sorozat:
a
n
=
(n-1)
d
a
1
+
Ez mit is jelent?
a
1
a
2
a
3
=27
d=-2
pl.:
=27+(-2)
=27+(-2)+(-2)
=
27+1*(-2)
=
27+2*(-2)
=25
=23
a
50
a
51
=
=
26
29
=
=
(50-1)
(51-1)
a
1
a
1
+
+
d
d
-
3
=
0
+
(-1)d
3 = -d
-3 = d
29
=
(50-1)
a
1
+
*(-3)
-147
176
=
a
1
I
a
-
a
=
(a-1)(a-1)
*(a-1)
2
a
-
a
=
a(a-1)
*(a-1)
2
=>
a
-
a
=
2
a
-
a
2
a
-
a
=
(a+1)(a-1)
*(a-1)
2
=>
a
-
a
=
2
a
-
1
2
a
-
a
=
0
*(a-1)
2
Tehát a megoldás a B jelű egyenlet.
10.) István az log (x > 0) függvény grafikonját akarta felvázolni, de ez nem sikerült neki, több hibát is elkövetett (a hibás vázlat látható a mellékelt ábrán).
Döntse el, hogy melyik igaz az alábbi állítások közül!
11.) A 2000 eurós tőke évi 6 %-os kamatos kamat mellett hány teljes év elteltével nőne 4024 euróra? Megoldását részletezze!
12.) Az ábrán látható kockának berajzoltuk az egyik lapátlóját. Rajzoljon ebbe az ábrába egy olyan másik lapátlót, amelynek van közös végpontja a berajzolt lapátlóval! Hány fokos szöget zár be ez a két lapátló? Válaszát indokolja!
1/2
A) István rajzában hiba az, hogy a vázolt függvény szigorúan monoton
csökkenő.
B) István rajzában hiba az, hogy a vázolt függvény 2-höz –2-t rendel.
C) István rajzában hiba az, hogy a vázolt függvény zérushelye 1. .
/A feladat forrása: oktatas.hu - Matematika középszint 2011 október 18./
/A feladat forrása: oktatas.hu - Matematika középszint 2011 október 18./
/A feladat forrása: oktatas.hu - Matematika középszint 2011 október 18./
/A feladat forrása: oktatas.hu - Matematika középszint 2011 október 18./
/A feladat forrása: oktatas.hu - Matematika középszint 2011 október 18./
=
(a-1)
2
a
2
=
-2a+1
/A feladat forrása: oktatas.hu - Matematika középszint 2011 október 18./
/A feladat forrása: oktatas.hu - Matematika középszint 2011 október 18./
1. év után:
2000
+
2000
*
0.06
(
)
=
2000
*
1.06
1
+
0.06
(
)
*
2000
2. év után:
2000
*
1.06
(
)
*
1,06
=
2120
=
2000
*
1,06
2
=
2247,2
3. év után:
2000
*
1,06
3
...
12 év után:
2000*1,06
12
=
4024
Tehát 12 év elteltével.
/A feladat forrása: oktatas.hu - Matematika középszint 2011 október 18./
4024
=
2000
*
1,06
x
log4024
=
log(2000
*
1,06
x
)
= log2000
+
log1,06
x
log4024
=
log2000
+
log1,06
x
*
log4024
-
log2000
log1,06
=
x
=
12
/A feladat forrása: oktatas.hu - Matematika középszint 2011 október 18./
A)?
X
Y
X
Y
log x
log x
a
a
1 < a
0 < a < 1
B)?
x heyére 2
log 2
1/2
=
?
log 1
1/2
C)?
=
0
log X
a
a
=
X
1/2
log 2
1/2
=
2
1/2
-1
=
2
-1
log 2
1/2
=
-1 = -2
/A feladat forrása: oktatas.hu - Matematika középszint 2011 október 18./
x
x
x
x
x
x
x
60°
60°
60°
=
27+0*(-2)
13.) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket!
/A feladat forrása: oktatas.hu - Matematika középszint 2011 október 18./
a)
5-x
=
2x
2
-71
5-x
>
-
0
>
-
5
x
5-x
(
)
2
=
2x
2
-71
a
2
(a-b)
2
=
a-2ab+b
2
2
25-10x+x
2
=
2x
2
-71
/+71
,
-2x
2
-10x
=>
a
=
1
=>
a=1
=>
a
2
=
1
>
-
0
2x
2
-71
>
-
71
2x
2
>
-
35,5
x
2
/ +71
/ :2
/ gyök
>
-
|x|
35,5
-1x
2
+96
=0
a
b
c
a
-
b
c
+
-
2
-4
b
2
a
x
x
1
2
*
(-1)
10
*
96
+
-
2
-4
-10
2*
(-1)
x
x
1
2
= -16
= 6
13.) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket!
/A feladat forrása: oktatas.hu - Matematika középszint 2011 október 18./
b)
sin x
2
=
1+2cosx
1
=
sin x
2
+
cos x
2
cos x
2
/ -
cos x
2
1
-
=
sin x
2
cos x
2
1
-
=
1+2cosx
=
cosx
a
a
2
1
-
=
1+2a
/ -1, +a
a
2
=
0
+2a
a
(a+2)
=
0
a = 0
a+2 = 0
=>
=>
cosx = -2
cosx = 0
=>
x = 90
°
+ k * 180
cosx
sinx
1
1
-1
-1
ahol k pozitív egész szám
14.) Egy felmérés során két korcsoportban összesen 200 embert kérdeztek meg arról, hogyé vente hány alkalommal járnak színházba. Közülük 120-an 40 évesnél fiatalabbak, 80 válaszadó pedig 40 éves vagy annál idősebb volt. Az eredményeket (százalékos megoszlásban) az alábbi diagram szemlélteti.
/A feladat forrása: oktatas.hu - Matematika középszint 2011 október 18./
a) Hány legalább 40 éves ember adta azt a választ, hogy 5-nél kevesebbszer volt színházban?
80 db
legalább 40 éves van.
18,75%
-a volt 5-nél kevesebbszer.
Tehát a
80
-nak a
18,75
%-a válaszolta azt:
80
*
0,1875
=
15
Tehát 15 db 40 éves ember válaszolta.
14.) Egy felmérés során két korcsoportban összesen 200 embert kérdeztek meg arról, hogyé vente hány alkalommal járnak színházba. Közülük 120-an 40 évesnél fiatalabbak, 80 válaszadó pedig 40 éves vagy annál idősebb volt. Az eredményeket (százalékos megoszlásban) az alábbi diagram szemlélteti.
/A feladat forrása: oktatas.hu - Matematika középszint 2011 október 18./
b) A megkérdezettek hány százaléka jár évente legalább 5, de legfeljebb 10 alkalommal színházba?
200 db
megkérdezett.
35%
-a a 40 év alattiaknak.
Tehát összesen:
37,5%
-a a legalább 40 éveseknek.
80
120
120
0,35
*
+
80
*
0,375
=
72
A 72 hány %-a 200-nak?
72
/
200
(
)
*
100
=
36
Tehát a megkérdezettek 36%-a válaszolta azt.
/A feladat forrása: oktatas.hu - Matematika középszint 2011 október 18./
c) A 200 ember közül véletlen-szerűen kiválasztunk kettőt. Mekkora a valószínű-sége annak,hogy közülük
legfeljebb
az egyik fiatalabb 40 évesnél?Válaszát három tizedesjegyre kerekítve adja meg!
200
Hány féleképpen húzhatunk ki 2db 40 évnél fiatalabbat?
2
=
19900
féleképpen választ- hatunk ki 2 db embert a 200-ból.
120
2
=
7140
1. eset:
2
db
40<
2. eset:
1
-
1
3. eset:
2
db
<40
=>
19900
-
7140
=
12760
féleképpen választhatunk ki legfeljebb 1 db 40 évesnél fiatalabbat.
19900
12760
/
=
jó esetek
/
összes esetek
0.641206
Tehát 0,641 a valószínűsége.
2
15.) Adott két egyenes: e: 5x-2y = -14,5 , f : 2x+5y =14,5 .
/A feladat forrása: oktatas.hu - Matematika középszint 2011 október 18./
a.) Határozza meg a két egyenes P metszéspontjának koordinátáit!
P pont mindkét egyenesen rajta van
=>
e: x,y
=
f: x,y
P
(x;y)
(1) 5x-2y = -14,5
(2) 2x+5y = 14,5
/ -5x
-2y
=
-14,5
-5x
/ :(-2)
y
=
7,25
+2,5x
2x
+
5
(
)
7,25
+
2,5x
=
14,5
2x
36,25
12,5x
+
+
=
14,5
14,5x
=
/ -36,25
-21,75
/ :14,5
x
=
-1,5
y
=
7,25
+
2,5(-1,5)
y
=
3,5
P( -1,5 ; 3,5 )
15.) Adott két egyenes: e: 5x-2y = -14,5 , f : 2x+5y =14,5 .
/A feladat forrása: oktatas.hu - Matematika középszint 2011 október 18./
b) Igazolja, hogy az e és az f egyenesek egymásra merőlegesek!
.
n
k
P
x
y
A
B
x
y
0
0
P
(
)
y
0
x
0
n
(
A
;
;
B
)
A
x
0
B
+
y
0
=
A
x
+
B
y
-14,5
=
5
x
+
(-2)
y
14,5
=
2
5
x
+
y
=>
=>
n
n
(
(
e
f
5
(-2)
;
)
2
;
5
)
.
.
Egy vektort úgy forgatunk el 90°-kal, hogy a koordinátáit felcseréljük, és valamelyiket szorozzuk mínusz eggyel.
(a;b)
(-b;a)
(b;-a)
15.) Adott két egyenes: e: 5x-2y = -14,5 , f : 2x+5y =14,5 .
/A feladat forrása: oktatas.hu - Matematika középszint 2011 október 18./
c) Számítsa ki az e egyenes x tengellyel bezárt szögét!
e'
-2
5
x
y
n(5;-2)
a
5
2
tg
a

=
5
/
2
=>
a
=
n(2;5)
68,2°
P
Full transcript