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"Transformada Z"

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by

fernanda gallardo

on 4 January 2013

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Transcript of "Transformada Z"

"TRANSFORMADA Z" Introducción Propiedad 9: HISTORIA "La transformada de Laplace" "Transformada Z" "Transformada Z" La transformada Z puede ser vista como una equivalente discreta de la transformada de Laplace, que es utilizada para resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes . Fue reintroducida en 1974 por W. Herewicz como una nueva forma de resolver ecuaciones lineales de constante de coeficiente diferenciales.

La ecuación de Hurewicz está expresada como una función de la secuencia de datos muestreados f en lugar del número complejo z. Nació porque la transformada de Fourier no converge todas las secuencias, lo que hizo necesario plantearse una gama más amplia de señales. Se reduce a la transformada de Fourier cuando la parte real de transformada es cero, es decir sobre el eje imaginario. Se reduce a la transformada de Fourier cuando la magnitud de la variable de transformación z es unitaria. Es decir, sobre un contorno del plano complejo z que corresponde a un círculo con radio unitario. La transformada en Z es una generalización de la transformada de Fourier, que es importante dentro de la representación y análisis de señales y sistemas discretos.

La relación de estas transformadas para señales discretas se asemejan para señales continuas. En forma polar:




Donde:
r: Magnitud de z.
w: Ángulo La convergencia de la transformada Z depende solamente de
|z| Propiedades de la transformada z La transformada Z es una regla por la cual una secuencia de números son convertidos a una función de la variable compleja z. Debido a su estructura básica, la transformada Z posee propiedades que facilitan la solución de ecuaciones en diferencias lineales usando simplemente manipulaciones algebraicas. Propiedad 1: CONVERGENCIA La transformada Z no converge para todas las secuencias ni para todos los valores de Z. Por lo que se llama ROC En cambio la región de convergencia de la transformada de Fourier necesariamente requiere que la secuencia sea absolutamente sumable. La región en donde se cumple la desigualdad es la región de convergencia.
Los valores sobre la circunferencia |z|=|z1| definida como están dentro de la región de convergencia. La transformada Z es una función analítica en todos los puntos de la región de convergencia; de aquí que la transformada Z y todas sus derivadas con respecto a son funciones continuas en dicha región. La ROC (región de convergencia) de X(z) consiste en un anillo en el plano z centrado alrededor del origen. Propiedad 2: La ROC no contiene ningún polo.
Al igual que en la transformada de Laplace, esta propiedad es simplemente una consecuencia del hecho de que en un polo, X(z) es infinita y por tanto, por definición no converge. Propiedad 3: Si x[n] es de duración finita, entonces la ROC es en plano z completo excepto posiblemente en z=0 y/o z=∞.
Una secuencia de duración finita tiene sólo un número finito de valores diferentes de cero que se extienden, digamos, de n= N1 a n= N2, donde N1Y N2 son finitos por lo tanto la transformada Z es una suma de un número finito de términos; esto es Propiedad 4: Si X[n] es una secuencia derecha y si el círculo |z|=r_0 está en la ROC, entonces todos los valores finitos de z para los cuales |z|>r_0 también estarán en la ROC. Propiedad 5: Si X[n]es una secuencia izquierda y si el círculo |z|=r_0 está en la ROC, entonces todos los valores de z para los cuales 0<|z|<r_0 también estarán en la ROC.
En general, para secuencias izquierdas, partiendo de la sumatoria de la transformación z tendrá la forma: Propiedad 6: Si x[n] es bilateral y si el círculo |z|=r_0 está en la ROC, entonces ésta consistirá de un anillo en plano z que incluya al círculo |z|=r_0. Propiedad 7: Si la transformada z X(z) de X[n] es racional, entonces su ROC está limitada por polos o se extiende al infinito. Propiedad 8: Esta propiedad nace de una combinación de las propiedades 7, 4y 5. Por lo que se puede llegar a que si la transformada z X(z) de [n] es racional, y si X[n] es derecha entonces la ROC en la región del plano z fuera del polo más lejano , es decir , fuera de círculo de radio igual a la magnitud más grande de los polos de X(z). Además, si X[n] es casual ( es decir, si es derecha e igual a 0 para n<0), entonces la ROC también incluye a z=. Po lo que se puede decir que para las secuencias derechas con transformadas racionales, todos los polos están más cercanos al origen que lo está cualquier punto en la ROC. Si la transformada z X(z) de x[n] es racional, y si x[n] es izquierda, entonces la ROC es la región en el plano z dentro del polo diferente de cero más interno, es decir, dentro del círculo de radio igual a la magnitud más pequeña de los polos de X(z) diferentes de cualquiera que se encuentre en z=0, y se extiende hacia el interior incluyendo posiblemente a z=0. En particular, si x[n] es anticausal (es decir, si es izquierda e igual a 0 para n>0), entonces la ROC también incluye a z=0. Ejemplo de transformada: f(n)=1, n=0,1,2,3, 4
=0 n=5,6,... Así f(n) corresponde a f*(z)
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