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Epistemología de la Matemática

Resumen de los temas estudiados en la materia homónima. IES N 1. Profesor: Gustavo Piñeiro
by

Federico Ezequiel Gómez

on 18 December 2012

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Transcript of Epistemología de la Matemática

Euclides El problema del quinto postulado Geometrias no Euclideanas Axiomas Nociones comunes Postulados propios de la teoría Las nociones comunes son verdades universalmente válidas. No tienen relación con los temas propios de la teoría. Son los axiomas de razonamiento.Se utilizan en la geometría, en el análisis matemático, en el álgebra, etc.


Consideremos algunos ejemplos: Todo ente es idéntico a sí mismo. Euclides realiza una axiomatización de la Geometría que tiene sólo cinco axiomas. Todas las verdades de la Geometría las pretende deducir a partir de estos cinco
axiomas, utilizando razonamientos válidos.
Los axiomas son afirmaciones evidentes cuyo valor de verdad es indiscutible y tales que no se pueden deducir a partir de los restantes. Axioma 1: Dados dos puntos se puede trazar una recta que los une. Axioma 2 Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección Axioma 3 Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera. Axioma 4 Todos los ángulos rectos son iguales Axioma 5 Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. "Los elementos" El quinto postulado tiene forma más compleja que los restantes; muchos matemáticos sospecharon que no era en realidad un axioma, sino que podría ser demostrado a partir de los otros cuatro. Durante siglos se intenta demostrar el postulado, a partir de los otros cuatro. Parte de esos intentos consistieron en dar afirmaciones equivalentes al quinto postulado. La intención original era sacarlo de la lista de axiomas. O si no se puede sacar como axioma, hacerlo más sencillo, más evidente. ¿Qué quiere decir “enunciados equivalentes”?

Enunciados equivalentes son aquellos tales que si reemplazamos al quinto postulado por cualquiera de esas otras afirmaciones entonces se pueden demostrar los mismos teoremas.
De otra forma: equivalentes quiere decir que el quinto postulado vale si y sólo si esa otra afirmación vale. Entonces como parecía demasiado complejo se quería: Algunas afirmaciones equivalentes al quinto postulado 1)Dos rectas paralelas son equidistantes. (Posidonio, siglo I aC)
2)Si una recta corta a una de dos paralelas, entonces corta a la otra.
3)Por un punto exterior a una recta, pasa una única paralela a ella. (John Playfair, siglo XVIII)
4)La suma de los ángulos interiores de un triángulo es dos rectos.
5)En todos los triángulos, la suma de los ángulos interiores es la misma.
6)Dado un triángulo existen triángulos semejantes a él, de área tan grande como se quiera.
7) Una circunferencia puede hacerse pasar por tres puntos no colineales cualesquiera Intentos de demostración por el absurdo Negación 1 Negación 2 Las rectas se cortan de los dos lados Las rectas no se cortan Las rectas se cortan de los dos lados Por un punto exterior a una recta no pasan paralelas a ella Por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas a ella Geometría
elíptica Geometría
hiperbólica Para quienes hicieron estos intentos de demostración por el absurdo la idea de que podía no llegarse a un absurdo era un sin-sentido. No pretendían llegar a una "nueva geometría", sino que intentaban depurar el sistema lógico sobre el que estaba sostenida la única concebible: la de Euclides.
En estos intentos llegaron a puntos dentro de sus demostraciones en los cuales creían encontrar un "absurdo" o una inconsistencia lógica. Pero cuando se analizan detalladamente estos puntos se constata que no llegan a nada contradictorio con los axiomas sino a ideas que "repugnan la intuición física" como dijo Saccheri.
Pasaron 2000 años para que algunos matemáticos se convencieran de que no había contradicción lógica al negar el quinto postulado. (Es más complejo que los otros, no es tan evidente, ¡Parece un teorema!) No era fácil ver que no se producía contradicción Si tomamos la primera negación del postulado, entonces se deduce que las rectas son cerradas. Cerradas en el sentido de que si uno las prolonga suficientemente vuelve al punto inicial.
Tomo una recta cualquiera L. Tomemos L' otra recta no paralela a ella., y L'' una recta que corta a las otras dos. Como estamos suponiendo la primera negación del postulado entonces L y L' se cortan a ambos lados de L''.










Si los puntos de intersección de L y L' son P y P', P≠P' entonces por P y P' pasarían dos rectas diferentes (L y L') y esto es contradictorio porque por dos puntos puede pasar una única recta, según el primer axioma.

Pero se puede reinterpretar diciendo que como se debe cumplir el axioma 1, luego P=P'. Así que las rectas son cerradas. Esto no es intuitivo, pero es consistente lógicamente. Un modelo de la geometría elíptica es la esfera. Hay varios modelos para la geometría hiperbólica:

El modelo de Beltrami-Klein
El disco de Poincaré
El semiplano de Poincaré
El modelo de Lorentz o hiperboloide Durante 2000 años se ofrecieron muchas "demostraciones" del quinto postulado pero siempre un tiempo después, se terminaba descubriendo que en realidad estas "demostraciones" se basaban en alguna suposición implícita equivalente al quinto postulado. Es decir que estas fallaban por suponer de forma no explícita y bajo una forma no fácilmente reconocible algo equivalente a lo que se pretendía demostrar.

En otras muchas demostraciones no se cometía el error de suponer lo que se quiere demostrar bajo una forma equivalente pero pretendieron encontrar un "absurdo" o una inconsistencia lógica donde en realidad sólo había resultados extraños a la intuición y que, haciendo algunas consideraciones, son perfectamente coherentes con los demás axiomas. FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA Los intentos de demostración por el absurdo pretendían partir de la negación del quinto postulado y llegar a una contradicción o inconsistencia lógica. luego se podría suponer que la contradicción provenía de negar algo que es verdadero.
Pero hay más de una forma de negar el "quinto postulado" en sus diferentes formas de expresarse. Fundamentalmente se reducen a dos formas distintas. Actualmente está totalmente establecido que la validez de una teoría matemática es equivalente a su consistencia lógica, pero en aquel momento esto no era tan evidente. Todavía existía una cierta basculación entre dos criterios para evaluar una teoría: debía ser un sistema que describa una realidad física de hecho, y un sistema formal que cumpla con la consistencia.
Euclides pensaba su geometría como una teoría del espacio físico, su teoría no podía contradecir la realidad del espacio físico.
Para fines del siglo XIX, la geometría ya no es eso, es un lenguaje para describir diferentes objetos, bajo la única condición de que cumplan los axiomas.
Este cambio de mentalidad no es rápido, lleva siglos. A principios de siglo XIX no era evidente. Esto es lo que nota Gauss, y lo que lo inclina hacia no publicar sus descubrimientos en Geometrías no euclideanas. En 1830, Gauss, Bolyai y Lobachevsky ante los mismos hechos y en forma independiente (negando el quinto postulado de la segunda forma) se convencen de que una geometría basada en esa negación del postulado no tendrá contradicciones lógicas, y que por lo tanto, sería tan válida como la de Euclides. La diferencia está en que ellos no ven ningún absurdo, ninguna inconsistencia lógica, porque no esperan que los resultados sean físicamente coherentes sino que consideran que sean formalmente consistentes.
Ellos no llegan a demostrar que nunca se va a llegar a una contradicción lógica. Pero en sus intentos ven que no llegan a ninguna contradicción. Lo mismo, pero distinto DEMOSTRAR EL v POSTULADO HALLAR AFIRMACIONES EQUIVALENTES AL v POSTULADO CRISIS DE
LOS FUNDAMENTOS fundamentación del
análisis matemático Beltrami y Klein demuestran hacia 1873 que las geometrías no euclidianas son consistentes si y solo si es consistente la geometría euclidenana.
Lo que demuestran que si hubiera una contradicción en las geometrías no euclidianas, entonces habría una contradicción en la geometría euclidiana. En 1920 aproximadamente Alfred Tarski, un famoso lógico Polaco, uno de los más importantes del siglo XX, demuestra que la geometría euclidiana es consistente. Consistencia de geometrías hiperbólica y elíptica CONSISTENCIA DE LA GEOMETRÍA EULIDEANA ii)REEMPLAZARLO. O bien reemplazarlo por una afirmación más sencilla, más evidente que sea equivalente. no llegaron a absurdos! validez=consistencia lógica o validez=coherencia con la descripción del mundo físico dOS FRENTES: DEMOSTRARLO O SIMPLIFICARLO ENUNCIADOS EQUIVALENTES E1 E2 i) DEMOSTRARLO. O bien demostrarlo a partir de los otros cuatro, y reducir la lista de postulados a cuatro, AUNQUE ALGUNAS AFIRMACIONES EQUIVALENTES LOGRARON LO QUE SE DESEABA Y SON MÁS "SENCILLAS", LOS SUCESIVOS EDITORES DE 'LOS ELEMENTOS' NO QUISIERON CAMBIAR LA FORMA EN QUE EUCLIDES LO EXPRESÓ. Es una afirmación que se considera verdadera de manera evidente. Se acepta sin requerir demostración previa. "Si dos cosas son iguales entre sí, y a su vez la segunda es igual a una tercera, entonces la primera es igual a la tercera" las 'demostraciones' en realidad no lo eran... La geometría euclidiana era el ejemplo de forma lógica de razonamiento. Para la matemática, era una referencia central, pero también lo era para otras disciplinas.
La idea de abandonar la geometría euclidiana era totalmente impensable en ese momento. La idea de que hubiera otra geometría diferente era absurda para la gente de esa época.
Pero en el siglo XIX empieza a surgir la idea de que podría haber otras geometrías diferentes. Luego se demuestra que puede haber otras, y después se demuestra que son tan consistentes como la euclidiana.

A lo largo del siglo XIX las ideas que prevalecieron por milenios van cambiando. Por un lado se acepta la existencia otras geometrías.

La geometría euclidiana pierde su lugar central en el pensamiento matemático y cambia el concepto de lo que es la geometría. crisis de la geometría como fundamento Hasta principios de siglo XIX y desde el siglo III aC, la geometría de Euclides fue el fundamento de la matemática (y de gran parte del pensamiento occidental). Euclides era el ejemplo de razonamiento lógico riguroso. “los elementos” eran el ejemplo de razonamiento lógico riguroso. Generaciones y generaciones de matemáticos aprendieron matemática con “los elementos”. Newton cuando presenta los principios matemáticos de filosofía natural, los razonamientos los presenta a la manera de Euclides para que fueran mejor aceptados.
Los cambios filosóficos de principios de siglo XIX desplazan a la geometría de ese papel central. Se empieza a cuestionar todo los establecido. Se cuestiona a Euclides como la única geometría posible.

En parte este desplazamiento de la geometría se produce por lo que se conoce como la fundamentación del análisis. (a lo largo del siglo XIX se le da fundamento lógico riguroso a todos los métodos del análisis matemático).
Descubren que la geometría es insuficiente como base del análisis. Y ese lugar lo pasa a ocupar gradualmente la teoría de conjuntos. INFINITO EN POTENCIA Aristóteles en 'La Metafísica' introduce la distinción entre ser en acto y ser en potencia.

Respecto del infinito Aristóteles establece que el infinito siempre es en potencia y nunca en acto.
El análisis tal como lo conocemos hoy empieza con Newton y Leibniz hacia fines del siglo XVII.

Hay que tener en cuenta que ellos no tenían la idea de limite, que la introduce Weiersstrass en 1860, aunque ya desde antes venía dando vueltas la idea. Pero en la época de Newton y Leibniz no.

Newton y Leibniz definen la derivada sin tener la noción de limite, basándose en la noción de infinitésimo. el análisis en sus comienzos con newton y leibniz Infinitésimo: un número positivo menor que cualquier número real positivo

Es un número que es “infinitamente pequeño”.

Se cuestionaba, con razón, que exista un numero así. IDEAS RARAS DEL ANÁLISIS 1: infinitésimo IDEAS RARAS DEL ANÁLISIS 2: derivación (cuando no existía el límite) IDEAS RARAS DEL ANÁLISIS 3: los razonamientos de euler (S.XVIII) Si h es un infinitésimo entonces podemos calcular la derivada de x^2 así, Se supone que h es
distinto de cero, y
que tiene "inverso
multipicativo" Se hace h=0 Se supo después que no se puede operar tan tranquilamente con sumas o productos infinitos como hacía Euler.

En el siglo XIX se empieza a estudiar en qué casos se pueden aplicar ciertos métodos, como el de agrupar, el de igualar los coeficientes y en qué casos no. Niels Henrik Abel estudia las series de potencias. Introduce el concepto de radio de convergencia. Y dentro de ese radio de convergencia si se puede operar igualando, integrando, derivando. El decía que “las series divergentes son una creación del demonio y deberían ser desterradas de la matemática para siempre”.
Cauchy, Bolzano y otros definen la noción de continuidad
Weiersstrass define el concepto de límite.
Dirichelet, Laplace, Heine, Cantor, estudiaron las series de Fourier.
Riemann define la integral con precisión. Ejemplos DEL MOVIMIENTO DE FUNDAMENTACIÓN DEL ANÁLISIS (del siglo XIX) Gradualmente los matemáticos que hacen estos trabajos empiezan a darse cuenta de que la geometría es insuficiente como base para el análisis. Por ejemplo, la definición de continuidad es cada vez menos geométrica.En la definición de limite, son todos números, épsilon y delta son números, etc.

La fundamentación pasa a los números.

Se produce una aritmetización del análisis que había nacido siendo geométrico.

Uno podría escribir un libro de análisis, sin ningún dibujo. El dibujo no se necesita por lógica, es una cuestión didáctica.

A fines del siglo XIX distintos matemáticos, especialmente Weierstrass Cantor y Dedekind, se dan cuenta de que se necesita una fundamentación rigurosa de los números. La pregunta es ¿Qué es un número? ¿Qué es un número irracional? ¿Qué es un número real?

Esa fundamentación se encuentra en la teoría de conjuntos. EL NÚMERO, Y NO LA GEOMETRÍA EMPIEZA A SER EL FUNDAMENTO Pero... Por qué ES NECESARIO definir el 'numero'?
y... por que ahora y no antes? Ahora, que la geometría ya no es una teoría del espacio físico, y que la matemática por esto es más abstracta, tiene sentido definir que es un número. Antes no porque la matemática estaba más ligada a la realidad física. 'Tres' era tres cosas, tres objetos. No se había necesitado una teoría que diga que es un número.

Ahora que el fundamento pasa por la coherencia del sistema lógico, y que el análisis matemático se fundamenta en el número, se necesita una teoría que diga precisamente, que defina formalmente, que es un número. georg
cantor en acto Cantor y Dedekind definen a los números naturales como los cardinales de conjuntos. A partir de los naturales definen los racionales y los reales. También definen a las operaciones numéricas como operaciones entre conjuntos. (1880)

Veamos entonces porqué no alcanza tampoco con la teoría de conjuntos de Cantor, que a la vez sostiene al número... introduce el infinito actual desarrolla la
teoría de conjuntos Greog Cantor realiza dos tareas importantes y simultaneas en la historia de los fundamentos de la matemática: Introduce en la matemática el concepto de infinito actual que hasta el momento no era aceptado en matemática.
¿Por qué no se aceptaba el infinito actual hasta el momento? Desarrolla la teoría de conjuntos que posibilita a su vez definir precisamente el número y así fundamentar el análisis. El infinito en potencia es el infinito de lo "ilimitado": siempre puede haber más. En este sentido es infinito. Pero siempre también se tiene una cantidad especificada. Uno tiene siempre cantidades finitas pero que pueden crecer ilimitadamente.

Alguien puede decir una cantidad muy grande, digamos por ejemplo 10^100. Pero sabemos que por muy grande que sea el número dicho existe algún número mayor. Esta es la idea del infinito potencial. El infinito en acto es una cantidad que es "de hecho", y no "de derecho" infinita. Es decir que no es que puede ser 'tan grande como se quiera', ilimitadamente, sino que es infinita realmente.

Aristóteles dice que si bien los entes pueden ser en acto o en potencia no es el caso del infinito. El infinito es sólo en potencia.

Esta idea predominó hasta el siglo XIX cuando Cantor introduce el infinito actual en la matemática. La idea del infinito actual es rechazada por los matemáticos durante milenios. Entre otros personajes influyentes la rechazan: Aristóteles: "El infinito sólo es en potencia" Gauss: "... por lo que protesto contra el uso de una magnitud infinita como si se tratase de una magnitud realizada, lo cual nunca es lícito en Matemáticas. Lo infinito es sólo una forma de hablar, en el fondo se habla de límites a los que ciertas situaciones se aproximan tanto como se quiera, mientras que a otras les es permitido crecer sin restricciones” Galileo: Encuentra una contradicción al comparar el tamaño del conjunto de los números naturales con el del conjunto de los números cuadrados. Entiende que es contradictorio que haya "igual cantidad" de naturales y de cuadrados porque la parte debe ser menor que el todo. La contradicción, según él entiende, proviene de suponer cantidades de hecho infinitas. Por esto deduce que no existe el infinito actual. Cantor con su teoría de conjuntos mostró como es posible y fructífero para la matemática concebir con el pensamiento colecciones de objetos conformadas por infinidad de elementos. Decir por ejemplo que el conjunto N es aquel que contiene a los infinitos números naturales.

Y así "infinito" puede ser no sólo "una manera de hablar" para decir que algo crece ilimitadamente como dice Gauss sino una cantidad determinada, real e infinita. gottlob
fregue El 'número' se fundamenta en la teoría de conjuntos. Pero la teoría de conjuntos ¿es ella misma sólida? Si el análisis se fundamenta sobre el número, y el número a su vez se puede definir a expensas de la teoría de conjuntos... ¿cuál es el problema de la fundamentación?

Pero Cantor no realiza una fundamentación rigurosa de su teoría, su teoría de conjuntos es intuitiva no es una teoría axiomática.
Él está creando una nueva teoría muy poderosa y revolucionaria para la matemática; pero no la axiomatiza, no la formaliza totalmente. Entonces ahora falta una fundamentación última: la fundamentación de la teoría de conjuntos.

Gottlob Fregue critica a Cantor y a Dedekind porque escriben sus textos en lenguaje natural, y que hay palabras que están sometidas a la ambigüedad.

Fregue critica esto y se va a proponer realizar esa formalización... paradoja de
russell
1902 LOGICISMO INTUICIONISMO FORMALISMO la geometría ya no es lo que era infinito en potencia = CANTIDAD FINITA, PERO SIN LÍMITES DE CRECIMIENTO Se podía llegar a resultados correctos como a aquel al que llega Euler en el ejemplo o a resultados absurdos.

Los matemáticos se ven en la necesidad y aún en la obligación de fundamentar mejor el análisis. KURT
GöDEL Frege critica el uso del lenguaje natural en la matemática: psicologismo lo llama.

Para Frege la Matemática y la lógica deben usar un lenguaje con símbolos específicos. El desarrolla este lenguaje que se conoce como conceptografía (Begriffsschrift).

Fregue introduce axiomas para la teoría de conjuntos.

Durante años escribe una obra donde fundamenta la aritmética en la teoría de conjuntos con la formalización que faltaba en Cantor.

En 1897 aparece el primer tomo. En 1902 cuando está por aparecer la segunda parte, recibe una carta de Bertrand Russell. LA ÁRDUA TAREA DE GOTTLOB FREGUE En 1902, cuando Gottlob Fregue estaba por enviar el segundo tomo de su obra a la imprenta recibe una carta de Bertrand Russell en la cual éste le señala una contradicción en un axioma básico de la teoría: el axioma de comprensión. Es aquel axioma que establece que a cada propiedad le corresponde un conjunto: el conjunto de los elementos que satisfacen la propiedad.
Veamos cual es la contradicción que señana Russell sobre un axioma tan evidente. la carta que derrumba el edificio La paradoja de russell La paradoja es la siguiente: Dada esta propiedad debe haber un conjunto que sería el conjunto de los conjuntos que no son elementos de si mismos. Es decir que cumplen con la propiedad. Llamemos R a ese conjunto. "Ser un conjunto que no es elemento de sí mismo" PROPIEDAD CONJUNTO ¿Pertenece R a sí mismo? Si suponemos que sí... Si suponemos que no... Otra forma: El conjunto es miembro de sí mismo si y solo si no es miembro de sí mismo. Esta es la paradoja. porqué es tan importante esa contradicción? Uno podría hacerse esta pregunta: ¿por qué es tan significativa esta contradicción? ¿No sigue siendo válido todo lo demás que se ha llegado a construir? Si un sistema lógico formal tiene una contradicción entonces es posible probar cualquier enunciado como también su negación. Luego la respuesta es que sí es muy significativa una contradicción así porque invalida a todo el sistema.

Además no se encontró rápidamente una forma de evitar la paradoja y el axioma que se veía afectado era muy básico El sistema de Frege cae y él abandona. En esa fecha ya era un hombre grande y había luchado muchos años por ese proyecto. Las reacciones a la nueva crisis Las reacciones a la crisis de los fundamentos generada por la paradoja de Russell pueden dividirse en dos grandes grupos: Russell: "El problema está en el lenguaje (autoreferencia)" Brouwer: "El problema está en el infinito actual" 1905 - 1920 1905-1930 1920-1930 Estas posiciones diferentes sobre el origen del problema del fundamento se desplegaron durante años, y los movimientos adquirieron nombres que han pasado a la historia. diagnóstico: el problema es la autoreferencia Russell dice que las paradojas como la suya y muchas otras que él recopila, se producen por la autoreferencia.
De esta forma el problema quedaría solucionado si se impidiera la autoreferencia.
Dirige sus esfuerzos hacia armar un sistema en el cual esté prohibido que un enunciado refiera a sí mismo. desarrollo de la medicina La teoría de los tipos lógicos establece una serie de jerarquías: tan mala como la enfermedad... El logicismo no logra imponerse. ¿Por qué? Supongamos que Russell quería poner como axioma:

“Todo enunciado es verdadero o falso”

Pero según su teoría de los tipos, esto es un sin sentido. Porque se refiere a todos los enunciados. Y además se refiere a sí mismo.

Soluciona este problema introduciendo el axioma de reductiblidad:
“Todo enunciado de tipo n es equivalente a algún enunciado a un enunciado de tipo 1”
Esto permite decir: “Todo enunciado de tipo 1 es verdadero o falso”
Pero esto de alguna manera destruye las jerarquías.
La controversia sobre este axioma tan dudoso, marcó el fracaso del logicismo. Tipo 0 Tipo 1 Tipo 2 individuo enunciados que se refieren a individuos enunciados que se refieren a enunciados de tipo 1 Tipo 3 ... Ejemplos 1 es un individuo 1 es impar es verdad que '1 es impar' Brouwer dice que la lógica proviene de la lógica aristotélica, y que Aristóteles rechazaba el infinito actual. La lógica de Aristóteles estaba pensada para el infinito potencial y es incorrecto extrapolarla al infinito actual.El infinito actual no existe. Los intuicionistas pensaban que los “números naturales” vienen de una intuición a priori, anterior a todos los conceptos. Es inútil intentar definirlos, nos vienen dados por la estructura de nuestro pensamiento.

¿Qué quiere decir 'números naturales'?
No puede ser el conjunto infinito como concebimos actualmente. Tenemos la idea de “primer elemento” y de “sucesor”. Los numero naturales se construyen en pasos sucesivos a partir del número 1 y la idea de sucesor.
1->2->3->4->…
Esa construcción nunca está terminada. Es un concepto primitivo, el uno.
Nunca puedo decir que ya tengo todos los números. Un objeto matemático existe si se lo puede construir en una cantidad finita de pasos. Esto se vincula con el problema aún no resuelto sobre si la matemática se crea o se descubre.
La matemática según ellos es una construcción humana, como la literatura, como cualquier otra tarea humana, y lo que todavía no se calculó no existe características fundamentales de la filosofía intuicionista EL INIFNITO ACTUAL NO EXISTE. Si el infinito actual no válido y sólo se puede pensar el infinito como potencial, entonces la teoría de Cantor es. para los intuicionistas, un gran sin sentido.
Eso a Hilbert no le gustaba, el defendía a Cantor. LA TEORÍA DE CANTOR, ENTONCES, ES UN SIN-SENTIDO LOS NÚMEROS NATURALES VIENEN DADOS, Y NO SON EL CONJUNTO CON LOS INFINITOS NATURALES CONDICIÓN: EXISTE AQUELLO CONSTRUIRBLE EN UNA CANTIDAD FINITA DE PASOS "Dios creo lo números naturales, todo lo demás lo creo el hombre”. Número normal: sus cifras decimales se comportan de forma aleatoria
Cifra de la posición decimal n de pi
¿Cómo construir algorítmicamente los infinitos no numerables números irracionales si la cantidad de algoritmos que se pueden crear es infinito numerable?
No se pueden usar demostraciones por el absurdo porque rechazan el principio del tercero excluido
Hacer matemática intuicionista es dificil y confuso
El número irracional los problemas del intuicionismo: Hilbert lleva la exigencia constructivista de los objetos matemáticos a los razonamientos. Él dice que los que tienen que ser constructivos son los razonamientos. Toda teoría matemática se debe basar en axiomas. En particular la teoría de números (la teoría de los números naturales, la suma y el producto.) Toda afirmación matemática verdadera es, o bien un axioma, o bien un teorema que se demuestra a partir de esos axiomas. Debe existir un algoritmo (programa de computadora) que permita determinar en una cantidad finita de pasos mecánicos si el razonamiento de la demostración es correcto o no.
Ya Leibniz había tenido la idea de transformar los razonamientos en un calculo Se proponía que, elegidos los axiomas, se demostrara en modo finitista que esos axiomas son: "Del paraiso que Cantor creó para nosotros nadie podrá expulsarnos" Hacia 1920 el logicismo ya no tiene la misma influencia debido a los problemas con el axioma de reductibilidad y la teoría de los tipos.

Cada vez adquiere más importancia el intuicionismo. Esto para Hilbert es peligroso porque significa que corre riesgo la credibilidad de la teoría de Cantor y el concepto de infinito actual.

Además uno de sus mejores discipulos "se pasa" al intuicionismo.
Todo esto hace que Hilbert reaccione. Hilbert además de ser un excelente matemático, seguramente el mejor de su época, era muy influyente en el mundo de la matemática. Así que se decide a revertir el movimiento contrario a la teoría de Cantor. Hilbert debe lograr un solución que satisfaga las siguientes dos condiciones: hallar una propuesta que satisfaga ambas condiciones: a y b la reacción de hilbert LAS TEORÍAS MATEMÁTICAS DEBEN BASARSE EN AXIOMAS VERIFICACIÓN ALGORÍTMICA (en una cantidad finita de pasos ) DE LAS DEMOSTRACIONES DEMOSTRAR EN FORMA FINITISTA LA CONSISTENCIA Y COMPLETITUD DE LA TEORÍA El planteo de Hilbert es existoso y genera el consenso buscado: los intuicionistas lo aceptan. RAZONAMIENTOS CONSTRUCTIVOS, LOS OBJETOS EN SÍ NO IMPORTAN A B Necesita el apoyo de los intuicionistas porque ellos son muy influyentes en aquel momento Quiere formular una propuesta que incluya a la teoría de Cantor y al infinito actual. Ese es un paraiso al cuál no está dispuesto a renunciar. Seguramente en la época habrá parecido una tarea imposible lograr que los intuicionistas, que en el núcleo de su visión de la matemática rechazaban el infinito actual se reconcilien con la idea. Hilbert encontró la manera. Su idea es: llevar la exigencia constructiva, de los objetos matemáticos, a los razonamientos matemáticos. Hilbert dio un perfecto ejemplo de esto con su obra que fundamenta la geometría Euclidiana corrigiendo y completando lo que a esta faltaba. CONSISTENTES COMPLETOS es decir que no llevan a paradojas, y es decir que permiten demostrar todas las verdades de la teoría El 7 de septiembre de 1930 hay un congreso en Königsberg (donde nació Hilbert) sobre fundamentos de la matemática, donde los intuicionistas aceptan el Formalismo). Heytings dice que si se completa el programa de Hilbert hasta los intuicionistas abrazaran el infinito. éxito formalista... congreso del 7/9/1930 En ese día se abandonan posiciones contrapuestas y los matemáticos más importantes del mundo acuerdan en el congreso que el modo de fundamentar la matemática debe ir en el sentido del programa especificado por Hilbert.

Pero en ese momento, cuando ya todos lo han aceptado y confian en que es la salida a milenios de esfuerzos por la fundamentación, Kurt Gödel (que tenía entonces sólo 24 años) anuncia tímidamente que él ha demostrado que programa de Hilbert es irrealizable.

Se dice que en aquel momento el único que realmente entendió lo que dijo Gödel fue Von Newman (quien estaba como máximo representante de Hilbert). brevísimo éxito del formalismo primer teorema de gödel Todo sistema de axiomas que contenga suficiente aritmética, consistente (que no tenga paradojas) y que cumpla las condiciones del programa de Hilbert, es incompleto (siempre habrá enunciados indecidibles: es decir que serán verdaderos pero indemostrables) O bien un enunciado P es verdadero, o bien es verdadera su negación: Principio del tercero excluido Principio de identidad Principio de transitividad ¿Qué son los axiomas que cumplen función de "nociones comunes"? Modus ponens Dado un condicional y su antecedente como premisas, podemos derivar el consecuente de ese condicional. SURJE LA NECESIDAD DE FUNDAMENTAR MEJOR DONDE ESTÁ EL PROBLEMA SEGÚN HILBERT? Los intuicionistas entendieron que el problema estaba en considerar el infinito actual.

El logicismo entendió que había que había que trabajar el lenguaje formal para prohibir las autoreferencias

Hilbert entendió que el problema estaba en lo semántico y que las autoreferencias sintácticas no serían un problema. Hilbert pretende realizar una verificación constructiva, de los razonamientos. Para esto es necesario que "una computadora" pueda considerar si la demostración realizada es correcta.

Esto conlleva transformar todos los conceptos semánticos en sintácticos. Porque la computadora no puede "pensar" en la verdad del enunciado; sólo puede revisar si se cumplen reglas sintácticas. Así que es necesario reducir todo a conceptos sintácticos.

Concepto sintáctico: aquel que solo depende de los símbolos y no de su significado

Concepto semántico: expresa algo que escapa al símbolo que lo representa


Una computadora podría verificar cuantos caracteres constituyen a la palabra "sol" o puede comprobar si entre dos caracteres aparece un tercero, pero en principio no puede dar cuenta de su significado.

La idea central de programa de Hilbert es transformar todos los conceptos semánticos en sintácticos. Reducir todo a conceptos sintácticos. lo semántico debe expresarse sintácticamente El concepto de enunciado como "afirmación de la cual tiene sentido establecer su valor de verdad", es en principio es semántico.

"6 es un múltiplo de 8" es un enunciado, y en este caso particular es verdadero
"1+1=2" es un enunciado, y en este caso particular es falso
"No deja el telón cuando buscarían algo mesa" no es un enunciado. No entendemos el significado de una oración así, y no tiene sentido asignarle un valor de verdad.


El concepto de enunciado se transforma en el concepto de formula bien formada. No consideraremos el detalle técnico sobre cómo se logra pero es posible en este contexto definir de manera sintáctica, es decir de forma que la computadora pueda comprobarlo, que es un enunciado. Todo lo que no respete la estructura sintáctica de los enunciados, no lo será. el concepto mismo de enunciado es semántico ... pero se lo puede expresar sintácticamente Si un conjunto de axiomas aritméticos es recursivo, consistente y permite demostrar todas los enunciados finitistas verdaderos entonces su consistencia no es demostrable por métodos recursivos (dentro del sistema). segundo teorema de Gödel Ejemplo: Cuando se dice en límites que n tiende a infinito. Se dice que n puede tomar valores tan grandes 'como se quiera'. Ejemplo: cuando se dice que Con el arco que señala la repetición periódica no se quiere simbolizar que se repite el '9' tantas veces como se quiera, sino que se considera que se repite realmente infinitas veces. conjuntos con infinitos elementos KRONECKER la paradoja de russell hace caer el sistema de fregue varios 'fundamentos' cayeron Se abandona la geometría como base de la matemática.

Se toma la teoría de conjuntos, esta teoría con dificultad gana respeto... pero aparece esta contradicción.

Entonces los matemáticos empiezan a dudar de todo. GEOMETRÍA
EUCLIDEANA TEORÍA DE
CONJUNTOS ¿? Qué se considera un modelo de una geometría Dado un sistema de axiomas un modelo es cualquier objeto que cumpla esos axiomas. El concepto de modelo es moderno, Euclides no hubiera pensado en esos términos Hablar de modelo de una geometría implica romper con la idea que tenía Euclides de lo que es la geometría. Desde Euclides, incluso antes de Euclides, y hasta principios del siglo XIX, la geometría es el estudio del espacio físico (no de un modelo que se ajusta aceptablemente a la descripción del espacio físico). Euclides era mucho más que una geometría, y aún más que LA geometría
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