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Modelo matemático para el drenado de un tanque

Ecuaciones diferenciales.
by

Sebastián Coba Daza

on 19 September 2014

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Transcript of Modelo matemático para el drenado de un tanque

Aplicando el teorema de Bernoulli en los puntos 1 y 2, del diagrama ilustrado en la Fig.1, podemos escribir la siguiente expresión:




Donde ρ es la densidad del fluido, P1 y P2 son las presión de los puntos 1 y 2 respectivamente. De igual modo u1 y u2 designan las velocidades del fluido en los puntos 1 y 2 respectivamente.

La presión en la interfase aire – agua superior (punto 2 ) es la presión atmosférica (Patm = P2) y también es posible identificar P1 con la presión atmosférica. Por lo tanto la ecuación 1 puede escribirse como:

Desde otra perspectiva: Frasco de Mariotte
Torricelli plantea que la velocidad de salida de un líquido por un orificio de un recipiente en su fondo es la misma que la que adquiere un cuerpo cae libremente en el vacío desde una altura h, y h es la altura de la columna.

Consiste en un frasco lleno de fluido hasta una altura h0, que está cerrado por un tapón atravesado por un tubo cuyo extremo inferior está sumergido en el líquido. El fluido sale del frasco por un orificio practicado en el fondo del recipiente. En el extremo inferior B del tubo, la presión es la atmosférica ya que está entrando aire por el tubo, a medida que sale el líquido por el orificio
Fundamento previo.
Teorema de Torricelli.
Consideremos el caso de un recipiente cilíndrico de diámetro d2, cuya área transversal es S2, conteniendo un fluido, por ejemplo agua, hasta cierto nivel h2, como se indica esquemáticamente en la Fig.1. Nuestro recipiente drena por un pequeño orificio en la parte inferior de diámetro d1 y sección S1 (S1 << S2). La velocidad de evacuación del fluido a la salida de este orificio la llamamos u1
A partir de las sustituciones la la ley de la conservación de la masa en la ecuación anterior se llega a que:
El modelo utilizado por Torricelli, cosiste en suponer la siguiente aproximación: d1 << d2, por ello (d1/d2)4 ≈ 0 y γ =1, pudiendo de este modo escribir la velocidad de evacuación como:


Modelo matemático con ecuaciones diferenciales para el drenado de un tanque.
El frasco de Marriot junto con los teoremas de Torricelli y Bernoulli nos dan a entender cómo se comporta un líquido que está siendo eluido de un recipiente con respecto a un tiempo.
De esta manera nos encontramos con una ecuación diferencial dada por la igualación de La energía cinética con la energía potencial, despejando de allí la velocidad, en concordancia con Torricelli
Reemplazando la velocidad como:
Ejemplo
De un tanque cónico rectangular recto, tal como el que se muestra en la figura, sale agua por un agujero circular que está en el fondo. Determinar una ecuación diferencial para la altura h del agua al tiempo t. Sabiendo que el radio del agujero es de 2 cm, g=9.8m/s2 y el factor de fricción/contracción es c=0.6, hallar la altura del nivel del agua en el tiempo t.
Presentado por:
Vivian Daniela Gonzalez
J. Sebastián Coba
Juan Camilo Escobar
Paula A. Montaña.

Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de un orificio de pared delgada, es un poco menor que la ideal, debido a la viscosidad del flujo y otros factores tales como la tensión superficial, de ahí el significado de este coeficiente de descarga o velocidad.
En síntesis del fundamento previo
Si A(h) denota el área de la sección transversal horizontal del tanque a la altura h, aplicando el método del volumen por secciones transversales se obtiene
Reemplazando en la Ecuación inicial se obtiene que :
Derivando
Gracias.
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