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ANALISIS DE LA FUNCION CUADRATICA

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by

Andres Cardenas

on 23 November 2015

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Transcript of ANALISIS DE LA FUNCION CUADRATICA

ANALISIS DE LA FUNCION CUADRATICA
Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

• Analizar gráficas de funciones cuadráticas.
• Escribir funciones cuadráticas en forma estándar y usar los resultados para graficar la función.
• Encontrar valores máximos y mínimos de funciones cuadráticas y usarlos en aplicaciones de la vida real.

OBJETIVOS
Las funciones cuadráticas pueden ser usadas para modelar datos y ser analizados en una gran variedad de aplicaciones de la vida real. En esta lección vamos a estudiar las gráficas de las funciones cuadráticas y cómo utilizarlas para modelar diversos problemas.
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:
f(x) = ax2 + bx + c
donde a, b y c (llamados términos) son números reales y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.
En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.
Así,
ax2 es el término cuadrático
bx es el término lineal
c es el término independiente

INTRODUCCION
La gráfica de una función cuadrática recibe el nombre de parábola.
Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.
Estas características o elementos son:
• Orientación o concavidad (ramas o brazos)
• Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)
• Punto de corte con el eje de ordenadas
• Eje de simetría
• Vértice

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.
Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax2):
Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = x2 - 2x - 3



Orientación o concavidad
Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = -2x2 + 2x + 4

Orientación o concavidad
Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse.
Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos
f (x) = 0.
Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0.
Entonces hacemos
ax² + bx +c = 0




Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones)
Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.
Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:




Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones)

Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación
cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas).
Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:
Que corte al eje X en dos puntos distintos
Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)
Que no corte al eje X



Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones)

En el siguiente link puedes encontrar un solucionador de ecuaciones cuadráticas:


http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuaciones-cuadraticas-solucionador.html




Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)

En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c).
Veamos:
Representar la función f(x) = x² - 4x + 3

El eje de las ordenadas (Y) está cortado en +3
Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)

Representar la función f(x) = x² - 4x - 3

El eje de las ordenadas (Y) está cortado en -3
Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje de abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.

Explora los siguientes videos para ver el análisis de una función cuadrática:

Vertice

Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas




La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría -b/2a, y la ordenada corresponde al valor máximo o mínimo de la función, según sea la orientación de la parábola (recuerde el discriminante)
Vertice

Resolver la ecuación 2x^2 + 3x - 5 = 0
Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = -5, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el - :
y
Asi que las soluciones son:
Prueba graficando funciones cuadráticas en las siguientes herramientas online:

http://www.educaplus.org/play-190-Ecuaci%C3%B3n-de-2%C2%BA-grado.html
http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=27a5eaafdb88c45dd61732d6a6493421

Realiza el siguiente test Online:
http://www.educaplay.com/es/recursoseducativos/606323/funcion_cuadratica.html


Explora el siguiente link con ejercicios y soluciones para ecuaciones cuadráticas:

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/2_e.html

http://matematicasmodernas.com/ejercicios-de-ecuaciones-cuadraticas-resueltas/

Compara las soluciones con las herramientas de graficacion que se brindaron anteriormente.

Realice aportes o haga preguntas en el blog destinado para la clase.
http://matematicadidactica9.blogspot.com.co/

Investigue el uso del software Geogebra para el análisis de funciones cuadráticas.
https://www.geogebra.org/

Ing. Andres Cardenas H.
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