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MODELOS MATEMÁTICOS DE LAS MAREAS

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on 10 June 2014

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Como el objetivo del trabajo es modelar el comportamiento de las mareas usando funciones trigonométricas, recordaremos lo siguiente:
INDICE
INTRODUCCÍON
TOMA DE DATOS
TRATAMIENTO DE LOS DATOS
VALIDACÍON
DISCUSÍON
CONCLUSIONES
BIBLIOGRAFÍA
ANEXOS

INTRODUCCÍON
El objetivo de nuestro proyecto es modelar el fenómeno de las mareas utilizando funciones trigonométricas pues estas son las que más se acercan por su periodicidad para encontrar el mejor mes para ir a correr tabla en la temporada del verano limeño, que consiste en mediados de diciembre, enero, febrero hasta el 21 de marzo en playas del callao.

Para la realización del mismo recopilaré información acerca del comportamiento de las mareas de la playa del Callao utilizando, tanto el internet como a instituciones que se dediquen al estudio de este tipo de fenómenos, básicamente la altura de la marea, en cm, durante el día en un periodo de 90 días aproximadamente.

Tabularemos los datos en Excel y graficaremos en el plano cartesiano los puntos dados para observar el comportamiento de los mismos, y como estos datos sugieren a las funciones trigonométricas como la mejor representación del fenómeno de las mareas analizaremos los mismos y obtendremos los parámetros correspondientes tales como la amplitud, periodo y desplazamiento. Las variables seria la dependiente la altura de las mareas medidas en cm y la independiente seria el tiempo y ambas son continuas. Al final mediré la predicción del modelo midiendo el error utilizando correlación.


OBTENCÍON DE DATOS
TRATAMIENTO DE LOS DATOS

MODELOS MATEMÁTICOS DE LAS MAREAS
Integrantes del grupo:
-Elena Landa
-Nicole Cárdenas
-Shesira Molleda
-Kenichi Masuno
-Rubi Revilla
-Piero Corpancho

Curso: Nivelación de Matemática

Profesor: José Tantajulca

Sección: MA239

Ciclo: 1

Una marea es el ascenso y descenso periodico de las aguas del mar. Se trata de un efecto producido por la atracción gravitatoria de la Luna y del Sol sobre el agua y la Tierra. En un año la luna realiza trece recorridos en torno a la tierra, es decir trece lunaciones. Las fases lunares se producen por interacción entre los movimientos del sol, la luna y la tierra, cada lunación tiene una duración de 28 días aproximadamente. Este ciclo se repite en periodos de 12 horas (mareas semidiurnas) y de 24 horas (diurnas). Lo normal es que sean mixtas; es decir, que en la misma costa se den los dos tipos de mareas
Para realizar el trabajo se busco información en diferentes páginas webs, siendo la más precisa
www.klimaxsurf.com
, página dedicada a la difusión del surf en el Perú siendo su principal objetivo el de dar información acerca de las alturas de las mareas en las playas del litoral peruano.
Como se observa en las tablas 1, 2, y 3, para las mareas para cada día del mes hay 4 datos, correspondientes a las alturas de las mareas en diferentes horas del día.
Para simplificar la información y hacer un mejor un mejor uso de los datos para cada uno de los días obtendremos el promedio de la marea del día, por ejemplo en la tabla 4 se muestran los cálculos correspondientes al mes de enero.

ENERO
FEBRERO
MARZO
En la tabla del mes de Enero se observa que las alturas de las mareas se encuentran el rango
(56, 70.5), un promedio mensual de 65.03cm, y están cambiando en forma periódica, como se observa el gráfica 1.
Gráfica
Gráfica
En la tabla de Febrero se observa que las alturas de las mareas se encuentran el rango (66.6, 85), un promedio mensual de 72.04cm, y están cambiando en forma periódica, como se observa el gráfica.
Gráfica
En la tabla de Marzo se observa que las alturas de las mareas se encuentran el rango (50.48, 74.08), un promedio mensual de 61.53cm, y están cambiando en forma periódica, como se observa el gráfica.
GRÁFICO GENERAL
En la gráfica 4 podemos observar que en el mes de febrero se dan las mejores olas para correr tabla, y que además el mes de marzo no es un buen mes para correr olas ya que el mar se muestra desordenado, pues las altura de las olas se diferencian demasiado entre días.
Una función trigonométrica es una función de la forma:
f(x) = a.sen b(x+c)+d
Donde “x” es el día del mes, f(x) es la altura de la marea correspondiente a un día “x” y las constantes a, b, c y d, son parámetros a determinar.
La constante A es la amplitud de la función trigonométrica, la constante B afecta al periodo fundamental modificándolo de la siguiente manera:
Periodo= 2π/B
Como los datos de los meses de Enero y Febrero se ajustan mejor, analizaremos ambos meses para el desarrollo de nuestro trabajo. Para el estudio que voy a realizar, será necesario determinar los 4 parámetros A, B, C Y D para así construir una función que se acerque lo más posible a los datos originales.
Para los datos de la tabla 2, se obtuvo:
f(x)=4.158.sen(0.127x-1.675)+64.357
Como resultado de los cálculos hechos obtenemos la siguiente función trigonométrica:

Empezaremos modelando una función
1. Lo que procederemos a hacer es hallar el valor máximo y el valor mínimo en las tablas. Para el caso del periodo, como el fenómeno de las mareas se ve afectado por las fases lunares utilizaremos como periodo el valor de 28 días, que es la duración de un ciclo o fase lunar.
Las funciones trigonométricas, se caracterizan en función de 4 parámetros
A: AMPLITUD
B: FACTOR QUE AFECTA AL PERIODO
C: FACTOR QUE AFECTA AL ANGULO DE FASE
D: TRASLACION VERTICAL

f(x) = a.sen b(x+c)+d
2.
Para hallar A, lo que hay que hacer es calcular el valor máximo y el valor mínimo de los datos.
Para hallar B, el periodo = 2π/B entonces B se puede hallar a partir del periodo
Para hallar C, el ángulo de fase , se halla a partir de los valores de A, B y D
D: igual a la altura máxima mas altura mínima entre dos.
MAXIMO 70.5
MINIMO 56
D 63.25
C 0
PERIODO 28
B 0.224399475
AMPLITUD 7.25

Como resultado de los cálculos hechos obtenemos la siguiente función trigonométrica:
F(x)=7.25.SEN0.225(X-0)+63.25
h: altura promedio real
hest: altura promedio estimada

ENERO
Ahora hacemos lo mismo con el mes de Febrero.
Para los datos de la tabla del mes de Febrero, en la opción Estadística del menú principal, se ingresaron los días en la lista 1 y las alturas de las mareras en la lista 2, con la opción de regresión trigonométrica para los datos de la tabla 3, se obtuvo:
Como resultado de los cálculos hechos obtenemos la siguiente función trigonométrica:
f(x)=2.621.sen(0.409x+2.648)+72.225
FEBRERO
Observado la gráfica vemos que los datos reales se ajustan bastante bien a nuestra función, hay datos extraños, los correspondientes a los días 11 y 25, pues no se ajustan a la tendencia observada.
INTERPRETACION DE RESULTADOS
El objetivo del trabajo es modelar las alturas de las mareas en los meses de Enero y Febrero, pues estos corresponden a la mejor época del año para practicar tabla. Si analizamos que tan buenas son las funciones halladas observando el error cuadrático medio y el relativo para cada uno de los datos , parece ser que la curva de ajuste del mes de enero es mejor que la del mes de febrero, error cuadrático menor, pero los datos estimados del mes de febrero, su error relativo de menos del 1% aparece mas veces que en enero.
Pero si observamos los gráficos correspondientes, en el gráfico del mes de enero se observa que la curva de datos estimados no pasa necesariamente por los datos observados, observamos datos extraños los días 6, 7, 11 y 25, mientras que en el gráfico 6, los correspondientes al mes de febrero, sucede lo contrario, los datos reales están muy cercanos a la curva de estimación, excepto los correspondientes a los días 11 y 25, datos extraños que podrían eliminarse para así obtener una mejor curva de ajuste.

VALIDEZ
Para un mejor ajuste de los datos lo mejor fue hacer un análisis de regresión usando funciones trigonométricas, ya que el fenómeno que estoy estudiando es un fenómeno periódico ya que cada cierto tiempo esto se repite y tiende a ser igual. Como la función que ajuste fue trigonométrica para hallar los valores de sus 4 parámetros no se pueden utilizar las técnicas de regresión lineal, estos parámetros se podrían estimar pero si queremos una buena función de ajuste, tenemos que recurrir al uso de tecnología en este caso la opción de regresión trigo métrica en la calculadora CASIO.
La modelación que hice para el mes de enero no pudo ser lo mismo para el mes de febrero ya sea por los distintos factores del clima, entonces la función hallada para enero no se podría utilizar para los datos del mes de febrero porque los parámetros obtenidos para el mes de enero fueron con los datos del mismo y mes y por condiciones de clima estos no podrían ser los mismos, pero lo que si se podría intentar es utilizar los datos de enero y febrero todos a la vez y crear una función única para ambos meses pero asumiendo que las alturas de las mareas altas y bajas durante estos dos meses son similares.
CONCLUSIÓN
Hoy en día basta con mirar las tablas existentes en páginas web para saber si van a haber olas, son modelos creados a partir de complejos cálculos que tienen en cuenta una serie de parámetros como son el movimiento de las altas y bajas presiones, los vientos que estos originan y la distancia que las olas recorren hasta encontrarse con tierra firme, creando así una simulación a varios días del estado del mar.
Y después del método visto en la discusión pudimos llegar a la conclusión que la mejor época dentro de mi proyecto para calcular en la época del verano era en el mes de Febrero.
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