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Optimización en sistemas no lineales

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by

Felipe Correa

on 2 May 2016

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Transcript of Optimización en sistemas no lineales

Optimización en sistemas no lineales
Cálculo diferencial para determinar puntos extremos,
o de máximo o mínimo

puntos extremos no restringidos,
Métodos jacobiano y lagrangiano para restricciones de igualdad,
Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker para problemas con restricciones de desigualdad.
Puntos extremos no restringidos,
La primera derivada o pendiente de f es igual a cero en todos los puntos extremos y de silla.
Máximo Global o absoluto
Máximo local o relativo
Punto de inflexión o silla
Si un punto con pendiente (gradiente) cero no es un extremo (máximo o mínimo), debe ser un punto de inflexión o un punto de silla.
Condiciones necesarias y suficientes
Máximos
Mínimos
Puntos de inflexión
Condición necesaria mas no
suficiente
Puntos estacionarios
Matriz Hessiana
Condición necesaria y
suficiente
Cóncava
Convexa
Equivalencia con criterio de la segunda derivada.
EJEMPLO
Los determinantes menores principales de H tienen los valores –2, 4 y –6
es negativa definida
y representa un
punto máximo.
Funciones de una sola variable independiente
Método de Newton-Raphson
En muchas ocasiones el desarrollo matemático de es muy complejo, el método de Newton-Raphson es un procedimiento iterativo para resolver ecuaciones simultaneas no lineales.
Siguiendo el desarrollo de Taylor se llega a :
Ejemplo:
Sistemas con restricción de igualdad
Método de derivadas restringidas (jacobiano)
Sujeta a :
Ejemplo:
Determinación de los puntos estacionarios:
Las ecuaciones para determinar los puntos estacionarios son:
Comprobación de la identidad de
X
0
vector gradiente restringido
de f con respecto a
Z
=
La matriz Hessiana corresponde al vector independiente
Z
y sus elementos son las segundas derivadas restringidas.

Evaluación de la segunda derivada restringida.
De acuerdo con el método Jacobiano...
Multiplicadores de Lagrange
Se calcula teniendo

en cuenta que...
Representa los coeficientes de sensibilidad, que son variables internas del modelo.
De esta función sin derivar se define:
Función de Lagrange
Multiplicadores de Lagrange
Las derivadas representan las condiciones necesarias para encontrar los puntos estacionarios.
Condiciones de suficiencia
matriz hessiana de frontera o acotada.
Estas condiciones son suficientes, pero no necesarias, para identificar un punto extremo.
Esto quiere decir que un punto estacionario puede ser un punto extremo sin satisfacer
esas condiciones.
Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker para problemas con restricciones de desigualdad.
Extensión del método de Lagrange.
Se activan las restricciones una por una, iniciemos con

La ecuación Lagrangiana queda:
Con esto se obtiene
f(y) = y
f(y) = y
4
3
Funciones de una sola variable independiente
es un máximo local,
El método sugiere continuar entonces con la activación de todos los subconjuntos de combinaciones de restricciones para encontrar el punto óptimo global por comparación de Z; para el ejemplo visto se requeriría de 7 subconjuntos para determinar el punto óptimo.
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