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M.C. Escher

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Transcript of M.C. Escher

conoces a Escher?

Se llama mosaico o embaldosado a todo recubrimiento del plano mediante piezas, que no pueden superponerse, ni pueden dejar huecos sin recubrir y en el que los ángulos que concurren en un vértice deben sumar 360 grados.

Existen muchas formas de obtener un mosaico. Los más sencillos están formados por un único tipo de polígono regular, como el triángulo equilátero, el cuadrado o el hexágono regular, ya que:

- La medida del ángulo interior de un triángulo equilátero es 60º, por lo tanto al unirse 6 triángulos equiláteros en un vértice completan 360º.

- La medida del ángulo interior de un cuadrado es 90º, por lo tanto al unirse 4 cuadrados en un vértice completan 360º.

- La medida del ángulo interior de un hexágono regular es 120º, por lo tanto al unirse 3 hexágonos un vértice completan 360º.

Además de los mosaicos regulares se pueden generar mosaicos utilizando polígonos irregulares, como triángulos, cuadriláteros, pentágonos…
M.C. Escher
ciencia y arte
un poco de historia
A principios del S.XX eran frecuentes las reuniones entre artistas con la presencia de matemáticos y físicos, y estos traducían de una forma popular las nuevas teorías científicas.

Y aunque los contenidos matemáticos caían fuera del alcance del conocimiento de los artistas, sus interpretaciones intuitivas de estos nuevos descubrimientos científicos, eran en ocasiones incluso más esclarecedoras que las explicaciones realizadas desde la propia ciencia.
“(…) Las ideas básicas de mis diseños con frecuencia reflejan mi propia sorpresa y fascinación por las leyes de la naturaleza, que se manifiestan en el mundo a nuestro alrededor. Quien se maravilla descubre que este acto es maravilloso en sí mismo. Al contemplar de cerca los enigmas que nos rodean, al considerar y analizar las observaciones efectuadas, me encontré de lleno en el dominio de las Matemáticas”.

Autorretrato, lápiz litográfico, 1943

matemáticas en el proceso creativo y en la obra del artista
Escher y la Alhambra
El Mosaico
Su método
- Maurits Cornelis Escher fue un pintor holandés del S.XX - (1898 1972).
- El pequeño "Mauk" no fue buen estudiante, excepto en las materias de dibujo.
- Pronto se interesa por las diferentes técnicas del grabado en madera.
- A la edad de 25 años decide buscar "experiencias artísticas" y viaja por el sur de Europa (Italia y España).
En 1936, Escher realizó su segundo viaje a España, regresando nuevamente a la Alhambra de Granada y a la Mezquita de Córdoba, para estudiar con detalle la técnica y los motivos geométricos de los mosaicos del arte nazarí.

Este viaje marcó un punto de inflexión en su trayectoria artística.
Escher en la Alhambra, patios de los leones, 1936
Los conocimientos geométricos y artísticos de los artesanos islámicos hicieron posible la obtención de los llamados “polígonos nazaríes”. Los más conocidos son: estrellas, el hueso, el avión, la aguja, trapecios,… etc.


la partición regular de la superficie
Dibujo de mosaico de la Alhambra. M.C. Escher. 1922
Conferencia de Escher - División regular del plano 5 ejemplos mediante modelos cuadrados

DIVISIÓN REGULAR
DEL PLANO


cinco ejemplos utilizando modelos cuadrados

las tres características principales son:
1. traslación
2. rotación (desde cualquier punto con círculo o con cuadrado)
3. reflexión



Escher utiliza este método como respuesta a sus observaciones y estudios de los mosaicos nazaríes, y así lo define: Las divisiones periódicas del plano consisten en polígonos convexos congruentes unidos, con la condición mediante la cual, los polígonos contiguos entre sí coinciden en todas partes.
Por supuesto descubrió rápidamente que la palabra polígono era demasiado restrictiva para sus propósitos, y que podría ser fácilmente reemplazado por cualquier tipo de forma.
c. ocupación completa del plano
División regular del plano III,
xilografía, 1957
artístico
mural
taller de
matemáticas II
taller de
matemáticas IV
audiovisuales
taller de
matemáticas III
crítica
de una obra de arte
Uniones y
Mundos Imposibles
Belvedere, litografía, 1958
La jaula imposible, fotografiada por Cochran
Si observamos detenidamente Belvedere, llegaremos a la conclusión que la arquitectura del edificio no puede darse en la realidad.

Lo que vemos no puede ser lo que aparenta ser. La clave del grabado la encontramos en la parte inferior: el cubo imposible que un hombre sostiene entre sus manos de una manera pensativa.

Fijaros también en:
- la escalera de madera
- las columnas de la planta inferior
- hacia donde mira la mujer de arriba
- y hacia donde el hombre de abajo

el infinito
Escher es capaz de representarlo
Limite circular III, grabado en madera 1959
Limite cuadrado, grabado en madera 1964
Reptiles, litografía, 1943
Teselación
a. esquema inicial
b. tesela mediante cuadrilátero
Escher consideró la partición regular de la superficie como un instrumento con el que poder tratar dos temas muy afines entre sí:
la metamorfosis
y el ciclo.
Metamorfosis
Ciclos
Cintas de Moebio
vida y obras
imágenes y documentales
La idea que plantea Escher para representar el infinito a partir de una imagen estática es sencilla. Se trata de ir dibujando figuras que encajen entre sí rellenando el plano y que poco a poco van aumentando o disminuyendo de tamaño, hasta dar la impresión de que hay un número infinito de ellas
Metamorfosis II, xilografía 1939-1940
- Es su dibujo de mayor formato.
- El grabado mide 4 m de longitud por 20 cm de altura.
- Figuras geométricas básicas como cuadrados, hexágonos y triángulos evolucionan hasta transformarse en formas naturales.
- Termina igual que empieza, cerrando un círculo que busca en infinito
- Nacen de su segundo viaje a la Alambra.
- Interés por la transformación continua de las formas.
- Son un escalón más elaborado en su Teoría de la
Partición Regular de la superficie.

Las cintas deben su nombre al matemático A.F. Moebio (1790-1868), quien la empleó para demostrar ciertas propiedades topológicas de gran interés. La cinta tiene
sólo una cara y un borde.
Cinta de Moebio II, xilografía, 1963
Basta con tomar objetos cuyas áreas sigan la regla: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,… y así sucesivamente. Si sumáramos todas sus áreas tendríamos la expresión: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +.....=1, que es una serie convergente que suma la unidad.
Cristales y
Poliedros Regulares

Los matemáticos griegos sabían ya que sólo son posibles 5 cuerpos regulares, o cuerpos Platónicos. Tres de ellos están delimitados por triángulos equilátero (tetraedro, octaedro, icosaedro), uno por cuadrados (cubo) y el otro por pentágonos regulares (dodecaedro).
Kepler y Poisot descubrieron más tarde otros cuatro cuerpos regulares también convexos. Si se usan distintos poliedros regulares como límite de un cuerpo regular, resultan 26 cuerpos más o también llamados cuerpos arquimédicos.
Estrellas, xilografía, 1948
En la parte central aparece una estructura formada por tres octaedros habitada por camaleones.

Escher:
proceso completo
Fase I
Crear el patrón regular a partir de un hexágono regular. La medida del ángulo interior de un hexágono regular es 120º.

Fase II – Combinarlos.
Al unirse 3 hexágonos un vértice
se completan los 360º.

Fase III – Concluir la teselación al rellenar por completo la superficie.
Fase IV – Reptiles que se salen del plano.
Una ilusión que pretende remplazar la realidad, hacer surgir un mundo tridimensional de uno bidimensional.

póster
figuras geométricas
Día y noche, xilografía, 1938
día - noche
blanco - negro
cielo - tierra
aves - campo
Teselación II
cintas y
teselas
taller de matemáticas I
teselación plana
mediante modelos
informáticos
Geogebra
talleres en
el aula

historia
ilusiones
ópticas

José Luis Nieto Quevedo
MÁSTER OFICIAL EN PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA Y BACHILLERATO, FORMACIÓN PROFESIONAL Y ENSEÑANZA DE IDIOMAS
7 de Enero de 2014
ALUMNO:
ASIGNATURA:
COMPLEMENTOS DE FORMACIÓN EN LA ESPECIALIDAD DE LAS MATEMÁTICAS
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