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Lineare Gleichungssysteme, Linearkombinationen & lineare Abh

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by

Trang Lena Vu

on 12 March 2015

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Transcript of Lineare Gleichungssysteme, Linearkombinationen & lineare Abh

Lineare Gleichungssysteme, Linearkombinationen & lineare Abhängigkeit
Kollinearität
5. Lineare Abhängigkeit & Unabhängigkeit
Beispielaufgabe Linearkombination
M bzw. N sind Mittelpunkte der entsprechenden Kanten des Quaders. Drücken Sie und als Linearkombination
In einem Stall sind Hennen und Hasen. Es sind 94 Beine und 35 Köpfe. Wie viele Tiere sind im Käfig?
3. Linearkombination
Definition:
1. lineare Gleichungssysteme
Definition:
Gliederung
Eine Linearkombination von Vektoren ist eine Summe von Vektoren (Vektoraddition), wobei jeder Vektor noch mit einer reellen Zahl (Linearfaktor) multipliziert wird. Das Ergebnis davon ist wieder ein Vektor.
4. Kollinearität & Komplanarität
LGS bestehen aus mehreren Gleichungen (meist mit mehreren Variablen nur in 1. Potenz ). Das Lösen eines LGS heißt, Zahlen für die Unbe-kannten zu finden, die ALLE Gleichungen erfüllen.
Bei n Unbekannten heißen die Lösungen n-Tupel.
- eindeutig,mehrdeutig oder nicht lösbar
2. Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
2.1 Gaußverfahren
Mit Hilfe von Äquivalenzumformungen wird das lineare Gleichungssystem in ein Dreieckssystem umgewandelt. Dieses wird anschließend durch "Aufrollen" gelöst.
2.2 Determinantenverfahren (Cramer'sche Regel)
Def. :
Zwei Vektoren a, b heißen kollinear, wenn einer der beiden Vektoren als Vielfaches des anderen dargestellt werden kann kann:

oder
.
x=Anzahl Hasen y=Anzahl Hennen

Hasen: x Köpfe und 4x Beine
Henne : y Köpfe und 2y Beine

I 35=x+y
II 94=4x+2y

y => 35-x= y
einsetzen: 94 =4x+2(35-x) = 4x+70-2x = 2x+70
=> 24=2x =>12=x (Anzahl d. Hasen)

y=35-12=23 (Anzahl d. Hennen)
Test: Köpfe: 12+23= 35
Beine: (4x12)+(2x23)= 94

Komplanarität
Def:
Drei Vektoren a, b, c heißen komplanar, wenn sich einer von ihnen, durch die beiden anderen darstellen lässt z.B:
n Vektoren heißen linear abhängig, wenn (mindestens) einer der Vektoren als Linearkombination der restlichen Vektoren darstellbar ist.
3 Vektoren komplanar
2 Vektoren kollinear

Ist dies nicht der Fall, so bezeichnet man die Vektoren als linear unabhängig.
Kriterium für lineare Unabhängigkeit
Die Vektoren sind linear unab-hängig, wenn die Gleichung
hat.
I 3x - 2y + 4z = 11
II 4y + 2z = 14
III 5z = 15
1. lineare Gleichungssysteme
2. Verfahren zur Lösung LGS
2.1 Gaußverfahren
2.2 Determinantenverfahren

3. Linearkombination
4. Kollinearität & Komplanarität
5. lineare Abhängigkeit & Unabhängigkeit
6. Übungsaufgaben
Übungsaufgaben
Aufgabe
der Vektoren und aus.
1. Determinante der Koeffizientenmatrix D berechnen
2. alle Determinanten berechnen
3. Die Lösungen für ergeben sich mit
D = 0 ; mindestens eine Determinante
LSG nicht lösbar
D und alle = 0
mehrdeutige Lösung
eindeutige Lösung
a und b nicht kollinear
und wenn es 3 reelle Zahlen r, s, t
gibt, die nicht alle gleich Null sind, so dass gilt:
- kollinear
- nicht kollinear
- komplanar
- nicht komplanar
- D = 0
- D eindeutige Lösung
Lösung
Aufgabe
:
In einem Stall sind Hennen und Hasen. Es sind 94 Beine und 35 Köpfe. Wie viele Tiere sind im Käfig?
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