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Integración Numerica Simpson

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by

Andres Liger

on 5 December 2013

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Transcript of Integración Numerica Simpson

Integración Numerica Simpson
Importancia y Jutificación
El método de Simpson se aplica en la resolución de aquellas integrales que son difíciles de obtener una solución de forma analítica, es decir de integrales que requieren un gran conocimiento y manejo de matemática avanzada y pueden ser resueltas de manera más sencilla mediante métodos numéricos.
Reglas de Simpson
Además de aplicar la regla del trapecio con una segmentación más fina, otra forma de obtener una estimación más exacta de una integral consiste en usar polinomios de grado superior para unir los puntos. Por ejemplo, si hay otro punto entre f (a) y f (b) se puede unir con una parábola. Si existen 2 puntos igualmente espaciados entre f (a) y f (b), los cuatro puntos se pueden unir mediante un polinomio de tercer grado.
A las fórmulas que resultan de tomar las integrales bajo esos polinomios se conoce como reglas de Simpson.

Simpson 1/3 Simple
Se aproxima a la función mediante un polinomio de grado 2.
Conclusiones
El error asociado a la regla de Simpson nos indica que este método es más exacto que otros métodos de integración como la regla del trapecio.
El error es proporcional a la cuarta derivada, por lo tanto el coeficiente del tercer grado se hace cero en la interpolación polinomio.
Se aplica la regla de 1/3 multiple con n multiplos de 2 y 3/8 con n multiplos 3.
Objetivos
Aprender a utilizar el método de integración numérica de Simpson mostrando ejercicios resueltos y propuestos para un mayor entendimiento
Aplicar el método de integración de Simpson 1/3 y 3/8
en los distintos ejercicios comprobando el error existente
Interpretación Geométrica
Interpretación Analítica
Se obtiene al sustituir la ecuación
Como f2(x) Un polinomio de Lagrange
Se obtiene:
Formulas:
;
;
a=x0
b=x2
x1=( a+b )/2
Error Truncado
Simpson 1/3 Simple Múltiple
Se aproxima a la función mediante un polinomio de grado 2. Dividiendo al intervalo de integración en n segmentos iguales además este número debe ser par
Interpretación Geométrica
Interpretación Analítica
La regla de simpson se mejora al dividir
en n segmentos
Y podemos expresar la nueva integral:
Se obtiene:
Formulas:
;
a=x0
b=xn
Error Truncado
Simpson 3/8 Simple
Se aproxima a la función mediante un polinomio de grado 3.
Donde n = 3 y se necesita 4 puntos.
Interpretación Geométrica
Interpretación Analítica
Se obtiene al sustituir la ecuación
Como f3(x) Un polinomio de Lagrange de 3 grado
Se obtiene:
Formulas:
;
a=x0
b=x3
Error Truncado
Simpson 3/8 Múltiple
Se aproxima a la función mediante un polinomio de 3 grado en un intervalo de n segmentos iguales teniendo en consideración que n debe ser un múltiplo de 3
Interpretación Analítica
Ejercicio Propuesto
Ejercicio
Resolver por la regla de Simpson 1/3 Simple
Solución
Datos
Fórmula
Gráfico
Integrantes
Ávalos Cris
Cárdenas Andrés
Liger Andrés
Quiroz Dennys

Tipos
Definición
Ejercicio
Resolver por la regla de Simpson 1/3 Compuesta
Solución
Datos
Fórmula
Gráfico
Al sustituir la regla de Simpson 1/3 en cada uno:
Ejercicio
Resolver por la regla de Simpson 3/8 Simple
Solución
Datos
Fórmula
Gráfico
Obteniendo
La regla de simpson se mejora al dividir
en n segmentos
Y podemos expresar la nueva integral:
Se obtiene:
Formulas:
;
Error Truncado
Ejercicio
Resolver por la regla de Simpson 1/3 Compuesta
Solución
Datos
Fórmula
Gráfico
Al sustituir la regla de Simpson 3/8 en cada uno:
Tabla resumen
Formulas de Newton - Cotes
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