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CUERDA GIRATORIA

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by

ari villalba

on 12 June 2014

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Transcript of CUERDA GIRATORIA

CUERDA GIRATORIA
Ahora consideremos la forma que toma una cuerda flexible estirada firmemente, con la longitud L y que tiene densidad lineal constante si se le hace girar o dar vueltas con velocidad angular alrededor de su posición de equilibrio a lo largo de ese eje x.
Considere una porción de la cuerda en el intervalo [x, x+Δx], donde x es pequeña. Si la magnitud T de la tensión T que actúa tangencial a la cuerda, es constante a lo largo de ésta, entonces la ecuación diferencial deseada se obtiene al igualar dos formulaciones distintas de la fuerza neta que actúa en la cuerda en el intervalo [x, x+Δx].
DETERMINACIÓN DE LA EDO
La ecuación diferencial lineal simple de segundo orden y” + λy =0 ocurre como modelo matemático.
Movimiento libre amortiguado
Si la magnitud T de la tensión Т que actúa tangencial a la cuerda es constante a lo largo de la cuerda.
Supóngase que 2 personas sostienen una cuerda para saltar y la hacen girar de una manera síncrona
La aceleración centrípeta de un cuerpo que gira con velocidad angular ω en un círculo de radio r es
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO GRADO
Una cuerda de longitud L con densidad lineal constante ρ (masa por unidad de longitud) se estira a lo largo del eje x y se fija en x=0 y x=L
La cuerda gira respecto al eje a una velocidad angular ω.
Igualando las ecuaciones tenemos:
INTEGRANTES
ARTEAGA MARIA BELEN

ASIMBAYA ISRAEL

CAIZALUISA CARLOS ANDRES

VILLALBA ARIANA

Fuerza vertical neta es:




Cuando los ángulos θ1 y θ2 son pequeños se tiene sen θ2 ≈ tan θ2 y sen θ1 ≈ tan θ1
Tan θ2 = y’(x+∆x) y tan θ1 = y’(x)
Entonces la ecuación es: F ≈ T[y’(x+ ∆x)-y’(x)]

Para ∆x cercana a cero el cociente es aproximadamente a la segunda derivada
Considere el problema de valores en la frontera presentado en la construcción del modelo matemático para la forma de la cuerda rotatoria:
Para T y ρ constantes, defina las velocidades críticas de rotación angular ω_n como los valores de ω para los cuales el problema de valores en la frontera tiene soluciones no triviales. Determine las velocidades críticas ω_n y las deflexiones correspondientes y_n (x).
Para resolver tenemos que:
Para solucionar esta ecuación debemos considerar todos los posibles valores reales de λ en este caso puede ser positivo, negativo o cero.
1° Caso
Tendríamos que nuestra solución sería del tipo:
Aplicando las condiciones de frontera tenemos que:
Ésta se define como una solución trivial.
2° Caso
Tendríamos que nuestra solución sería del tipo:


Aplicando las condiciones de frontera tenemos que:
Como nuestra función no puede ser cero en la ecuación 2) sabremos que C1=0, por lo tanto al reemplazar en nuestra ecuación 1) tenemos que:
0=C2
Ésta también es considerada una solución trivial.

3° Caso



Tendríamos que nuestra solución sería del tipo:


Aplicando las condiciones de frontera tenemos que:





Para obtener una solución no trivial C_2 debe tomar un valor, entonces:


Esto solo ocurrirá si √λ L es múltiplo entero positivo de π, es decir:





Entonces nuestra solución general sería:



Así vemos que el problema tiene una solución infinita de valores propios positivos.
Como sabemos que:



Igualamos las ecuaciones:


De donde despejando, tenemos que ω es:
CÁLCULOS EN MAXIMA
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