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BASES Y DIMENSIONES

(Algebra Lineal)
by

Angie Aya

on 6 June 2012

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Transcript of BASES Y DIMENSIONES

Bases Base canónica BASES Y DIMENSIONES (cc) photo by Metro Centric on Flickr Un conjunto finito de vectores {V1,V2,...,Vn}
Es una base para un espacio vectorial V si : 1. {V1,V2,...,Vn} es linealmente independiente 2. {V1,V2,...,Vn} genera V {e1,e2,...,en} es un conjunto
linealmente independiente
y por lo tanto const¡tuye
una base en Rn
la cual se llama
base canonica. BASE CANóNICA PARA Pn

los monomios {1, X ,X^2,...,x^n}
constituyen una base para Pn.
asi, {1, X ,X^2,...,x^3}
es una base para P3 Todo conjunto de N vectores linealmente independientes en Rn es una base en Rn 1
0
0
.
.
0 e1: 0
1
0
.
.
0 ,e2: ,...,en: 0
0
0
.
.
1 C1 C2
C3 C4 1 0
0 0 : C1 ˭ +C2 0 1
0 0 +C3 0 0
1 0 +C4 0 0
0 1 : 0 0
0 0 Entonces, es obvio que C1:C2:C3:C4:0.
Asi esas 4 matrices son linelamente independientes
y forman una base para M22 llamada
BASE CANóNICA para M22. BASE CANóNICA PARA M22 BASE PARA UN SUBESPACIO EN R3 Se sabe que es un espacio vectorial.
para encontrarle una base, primero se observa que si X y Z se escogen arbitrariamente y si x
y
z Pertenece a , entonces Y: 2X + 3Z. Asi, los vectores en tienen la forma X
2X+3Z
Z : x
2x
o + 0
3Z
Z

Como S2 sustituye una base, todo
U1 se puede expresar como una
combinación lineal de las
V2. Se tiene 3. 5. 4. 2. 1. U1 : a11V11 + a12V12 + ··· +a1nVn
U2 : a21V21 + a22V22 + ··· + a2nV2n
· · · ·
· · · ·
· · · ·
Um : am1V1 + am2V2 + ··· + amnvm Para demostrar que S1 es dpeendiente, deben encontrarse escalares C1,C2...,Cm no todos cero, tales que C1U1 + C2U2 + ··· +CmUm : 0 Sustituyendo (1) en (2 se obtiene) La ecuación (3) se puede rescribir como a11C1 + a21C2 + ··· + am1Cm : 0

a12C1 + a22C2 + ··· + am2Cm : 0
· · ·
· · ·
· · ·
a1nC1 + a2nC2 + ··· + amnCn : 0 DIMENSIONES Si el espacio vectorial V tiene una base finita, entonces la DIMENSION de V es el número de vectores en todas las bases y V se llama ESPACIO VECTORIAL DE DIMENSION FINITA. De otra manera, V se llama ESPACIO VECTORIAL DE DIMENSION FINITA. Si V : , entonces se dice que V tiene DIMNESION CERO. {0} La dimension de Pn. Los polinomios {1,X,X^2,…,Xn} constituyen una base en Pn. Entonces dimPn n + 1 Dimensiones La dimension de R^n como
n vectores linealmente
independientes en R^n
constituyen una base,
se ve que dim R^n : n n = = La dimension de Mmn
En Mmn sea Aij para
i: 1,2,...,m y j: 1,2,...,n
forman una base para
Mmn Asi,
dim Mmn:mn P tiene dimensión
infinita.Ningun conjunto finito de polinomios
genera a P. Entonces P no tiene una base finita y,por lo tanto,es un espacio vectorial de dimensión finita. ≤ ≤ = Espacios
Espacio de solución y espacio nulo.
Sea A una matriz de m x n y sea
S: {x pertenece a R^n Ax0}. Sean X1
pertenece a S y X2 pertenece a S;
entonces A (X1+X2);AX1+AX2:0+0:0 y
A (aX1):a(AX1):a0:0, de manera que S es un subespacio de R^n y dim S<n.
S se llama espacio de solución
del sistema homogéneo AX:0. También
se llama espacio nulo de la matriz A. Una base para el espacio de solución de un
sistema homogéneo. Encuentre una base (y la dimensión) para el espacio de solución S del
sistema homogéneo. x + 2y - z = 0
2x - y + 3z = 0 Solucion Aqui A: 1 2 -1
2 -1 3 como A es una matriz de 2 x 3, S es un subespacio de R^3. Reduciendo por renglones, se encuentra, sucesivamente, 1 2 -1
2 -1 3 0
0 1 2 -1
0 -5 5 0
0 1 2 -1
0 1 -1 0
0 0
0 1 0 1
0 1 -1 Entonces y= z y x=-z de manera que todas las soluciones son de la forma -z
z
z Asi, es un espacio para S

y dim S es el conjunto de vectores que
estan en la recta X=-t, Y=t, Z=t. -1
1
1 Cualquier espacio vectorial
que contiene un subespacio de
dimensión infinita es de
dimensión infinita. Reduciendo renglones se obtiene 2 -1 3
4 -2 6
-6 3 -9 0
0
0 2 -1 3
0 0 0
0 0 0 0
0
0 Lo que da una sola ecuación :
2x - y +3z = 0.

S es un plano con una base que esta dada por 0
3
1 1
2
0 y , y dim S = 2 Una base para el espacio de solución de un
sistema homogéneo. Encuentre una base (y la dimensión) para el espacio de solución S del
sistema. 2x - y + 3z = 0
4x - 2y + 6z = 0
-6x + 3y - 9z = 0 RANGO, NULIDAD, ESPACIO DE LOS REGLONES Y ESPACIO DE LAS COLUMNAS DE UNA MATRIZ ESPACIO NULO Y NULIDAD
DE UNA MATRIZ
Na se llama el espacio nulo de
A y v(A) = dim Na se llama nulidad de A.
si Na contiene solo al vector cero,
entonces v(A) =0 El espacio nulo de una matriz también se conoce como Kernel nota espacio nulo y nulidad de
una matriz de 2x3
sea A= 1 2 -1 entonces,
2 -1 3

Na esta generado por
-1
1
1 , y v(A) espacio nulo y nulidad de
una matriz de 3x3
sea A= 2 -1 3 entonces,
4 -2 6
-6 3 -9

1 0
2 3 es una base para
0 , 1

Na, y v(A)=2 Espacio de
los renglones
y espacio de las
columnas de una matriz Imagen de una matriz Sea A una matriz de m x n. entonces la imagen de A, denotada por imagen A, esta dada por: Imagen A = {y e R^n. Ax = y para alguna x e R} RANGO
DE UNA MATRIZ Sea A una matriz de mxn. Entonces el rango de A , denotado por p (A), está dado por: p (A) = dim imagen A ˭ Si A es una matriz de mxn, sean {r1,r2,…,rm} los renglones de A y C {C1,C2,…,Cn} con las columnas de A. Entonces se define: RA espacio de los renglones de A gen {r1,r2,…,rm} CA espacio de las columnas de A gen {C1,C2,…,Cn} y GRACIAS POR SU ATENCIÓN Angie Aya
Gina Bolaños
Kelly Benitez
Katherine Martinez Angie Pulido
Angie Sanchez Nataly Mendoza
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