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Images from Shutterstock.com 1. 조건과 진리집합 선수학습 확인 2.명제 2-1. 명제와 조건 -명제 : 참, 거짓을 판별할 수 있는 문장 또는 식
. 간단히 p, q, r, …와 같이 나타낸다. 문장, 식 참, 거짓 판별 가능 참, 거짓 판별 불가능 명제이다 명제가 아니다 참 거짓 참인 명제 거짓인 명제 Q) 다음 중 명제인 것을 고르고,
명제라면 참, 거짓을 판별하여라. 1) 4는 2의 배수이다.
2) χ+2=0
3) -1＞0
4) 수학시간은 재미있다.
5) 대학민국의 수도는 서울이다. ※거짓인 문장이나 식도 명제이다. Q)명제 '삼각형 ABC가 이등변삼각형이면
삼각형 ABC의 두 변의 길이는 같다.'에서
가정과 결론을 말하여라.
또, 이 명제의 역을 말하여라 위의 그림은 공항에서 4명의 승객이 금속성 물건을 가지고 탑승하는지를 탐지하는 기계를 통과하는 모습이다.
이 그림을 보고 다음 물음에 답하여 보자. 1. 문장 '○○(이)는 금속성 물건을 가지고 있다.'는 참인지 거짓인지 말하여라 2. 위 1의 문장을 참이 되게 하는 사람을 그림에서 모두 찾아라. : 변수(x, y, z, …)의 값이 주어지면 참, 거짓을
판별할 수 있게 되는 문장.
- 문자 x에 대한 조건은 보통 p(x), q(x), r(x), …와
같이 나타낸다.
- 문자 x뿐만 아니라 문자 y, 순서쌍(x,y) 등을
이용하여 조건을 만들 수도 있다. 조건
다음 문장을 명제와 조건으로 구별하여라. (1) 2^-4=0 (2) 실수 x에 대하여 x^-4=0
(3) 0.5는 자연수이다. (4) 자연수 x는 홀수이다. 23쪽 문제1) χ는
15의
약수
이다 χ의 값이 주어지지 않으면 χ=3이면 χ=4이면 명제가 아니다 참인 명제이다 거짓인 명제이다 진리집합 : 전체집합에서 조건을 참인 명제로 만들어
주는 변수의 값 모두의 집합. (1) 전체집합 U={1, 2, 3, 4, 5}일 때, 조건
'p(n) : n은 짝수이다.'
라 하면 n=2, 4일 때 참인 명제가 되므로
조건 p(n)의 진리집합 P={2, 4}이다. 2 4 (2) 전체집합이 실수 전체의 집합일 때,
조건 'χ＞2'의 진리집합은 {χ｜χ＞2}이다. 문제2 전체집합 U={18.5, 19, 20, 21.3, 22}일 때, 조건
q(χ) : χ≥20 의 진리집합을 구하여라. 문제3 전체집합이 실수 전체의 집합이고 두 집합 A, B가
A={χ｜χ＞2}, B={χ｜χ＜4}일 때, 조건
p(χ} : 2＜χ＜4 의 진리집합을 두 집합 A, B를 사용하여 나타내어라. 2. '모든'과 '어떤' 전체집합 U가 우리 반 학생들의 집합이고 두 조건
'p(n) : n은 여학생이다'
'q(n) : n의 키가 175cm 이상이다.'
의 진리집합이 각각 P, Q일 때, P, Q를 각각 구하고
다음 물음에 답하여 보자. 1. 진리집합 P가 적어도 하나의 원소를 가지는지 말하여라. 또 집합 P와 U가 같은지 말하여라. 2. 진리집합 Q가 적어도 하나의 원소를 가지는지 말하여라. 또 집합 Q와 집합 U가 같은지 말하여라. 예제1) 전체집합 U가 실수 전체의 집합일 때,
다음 명제의 참, 거짓을 판별하여라. (1) 모든 χ에 대하여 χ^≥χ
(2) 어떤 χ에 대하여 χ^≥χ 문제4) 전체집합 U={2, 3, 5, 7}일 때, 다음
명제의 참, 거짓을 판별하여라. (1) 모든 n은 소수이다.
(2) 어떤 n은 짝수이다.
(3) 모든 n에 대하여 n≤5이다. 문제5) 다음 명제의 참, 거짓을 판별하여라. (1) 모든 정수 χ에 대하여 2χ-1＞0
(2) 모든 자연수 χ에 대하여 2χ-1＞0
(3) 어떤 정수 χ에 대하여 2χ-1＜0
(4) 어떤 자연수 χ에 대하여 2χ-1＜0 문제6) 다음 예와 같이 '모든' 또는 '어떤'을 포함한
명제를 만들어 보고 그것의 참, 거짓을 말하여라. 학습 확인 1. 전체집합이 U={1, 2, 3, 4, 5}일 때,
조건 p(χ) : χ≥2의 진리집합을 구하여라. 2. 다음 명제의 참, 거짓을 판별하여라. (1) 모든 실수 χ에 대하여 χ+1=0이다.
(2) 어떤 정수 χ에 대하여 χ^-2χ-3=0이다. ①모든 χ에 대하여 p(χ) P=U이면 참 P≠U이면 거짓 ②어떤 χ에 대하여 p(χ) P≠∮이면 참 P=∮이면 거짓 모든 χ에 대하여 p(χ) 어떤 χ에 대하여 p(χ) 참 진리집합의 원소가 있으면 반례가 없으면 2-2. 명제의 역, 이, 대우 2-3. 필요조건과 충분조건 1. 명제의 부정 (1) 명제 p에 대하여 'p가 아니다'를
명제 p의 부정이라 하며, 이것을 기호로 ~p라 나타낸다.
이때 ~p는 'p의 부정' 또는 'not p'라 읽는다. (2) ① p가 참인 명제이면 ~p는 거짓인 명제이다.
② p가 거짓인 명제이면 ~p는 참인 명제이다. (3) 명제 ~p의 부정은 p이다. 즉, ~(~p)=p이다. 문제1) 다음 명제의 부정을 말하고, 그것의
참, 거짓을 판별하여라. (1) 4는 소수이다.
(2) 1은 소수가 아니다. '모든'이나 '어떤'이 있는 명제의 부정 '모든 χ에 대하여 p(χ)'의 부정 '어떤 χ에 대하여 ~p(χ)' '어떤 χ에 대하여 p(χ)'의 부정 '모든 χ에 대하여 ~p(χ)' 문제2) 다음 명제의 부정을 말하고,
그것의 참, 거짓을 판별하여라. (1) 모든 실수 χ에 대하여 χ^＞0
(2) 어떤 실수 χ에 대하여 χ+1≠0 (4) 조건 p(χ)의 진리집합이 P ~p(χ)의 진리집합은 2. 명제 p→q의 참, 거짓 다음 명제의 참, 거짓을 판별하여 보자. 1. '올림픽 종목이면 스포츠 종목이다.' 2. '구기 종목이면 올림픽 종목이다.' 명제 'χ가 6의 약수이면 χ는 12의 약수이다.' p : χ는 6의 약수이다 + q : χ는 12의 약수이다 p이면 q이다(p→q로 나타낸다.) P={1, 2, 3, 6} Q={1, 2, 3, 4, 6, 12}이므로 P⊂Q 명제가 참이다 명제 'χ가 8의 약수이면 χ는 10의 약수이다.' p : χ는 8의 약수이다 + q : χ는 10의 약수이다. P={1, 2, 4, 8}, Q={1, 2, 5, 10}이므로 P⊂Q 명제가 거짓이다 명제 p→q의 참, 거짓과 진리집합 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 할 때, 1. P⊂Q이면 p→q는 참.
2. P⊂Q이면 p→q는 거짓.
진리집합을 이용하여 다음 명제의 참, 거짓을 판별하여라. (1) χ가 6의 약수이면 χ는 18의 약수이다.
(2) χ가 홀수이면 χ는 3으로 나누어 떨어진다. 문제3) 3. 명제의 역, 이, 대우 두 조건 p : χ＞0, q : χ＞1에 대하여 다음과 같이 기호로 나타낸 명제를 말로 바꾸어 보고, 그 명제의 참, 거짓을 판별하여 보자. p→q q→p ~p→~q ~q→~p χ＞0이면 χ＞1이다 거짓 p→q q→p ~p→~q ~q→~p 역 역 이 이 대우 예제1) 명제 'ab≠0이면 a≠0이다.'의 역, 이, 대우를 말하고, 그것의 참, 거짓을 판별하여라. (역) a≠0이면 ab≠=0이다. : 거짓
(이) ab=0이면 a=0이다. : 거짓
(대우) a=0이면 ab=0이다. : 참 <풀이> 문제4) 다음 명제의 역, 이, 대우를 말하고, 그것의 참, 거짓을 판별하여라. (1) χ=1이면 χ^=1이다.
(2) 사각형이 평행사변형이면 두 쌍의 대변의 길이는
각각 같다. 명제와 대우 사이의 관계 명제 p→q에서 조건 p,q의 진리집합 : P, Q
조건 ~p, ~q의 진리집합 : , p→q가 참이면 P⊂Q ⊂ ~q→~p가 참이다. 마찬가지 방법으로 ~q→~p가 참이면 ~(~p)→~(~q) 즉 p→q가 참임을 보일 수 있다. 명제 p→q와 그 대우 ~q→~p의 참, 거짓은 일치한다. 예제2) 명제 '자연수 χ에 대하여 χ^이 짝수이면 χ도 짝수이다.'가 참임을 증명하여라. 문제5) 명제 '자연수 χ에 대하여 χ^이 홀수이면 χ도 홀수이다.'가 참임을 증명하여라.