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PLS-Formazione Docenti: Modelli Matematici in Biologia

Dagli studenti ai docenti: l'esperienza del PLS diventa un corso di formazione per i docenti della scuola secondaria
by

Ivano Arcangeloni

on 12 March 2015

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Transcript of PLS-Formazione Docenti: Modelli Matematici in Biologia

O, per dirla "biologicamente":
"Ad ogni livello della scala, dalle molecole agli ecosistemi, troviamo
regolarità matematiche
in innumerevoli aspetti della vita,
è venuto il momento di combinare matematica e biologia
: la natura già lo fa"
[Ian Stewart, L'altro segreto della vita]
La matematica
è una scienza
particolarmente efficace nella
ricerca di regolarità
Piano Nazionale Lauree Scientifiche
Corso di Formazione per Docenti
Liceo Scientifico di Forlì,
marzo - settembre 2014

"Ciò che la natura mostra è che
la popolazione tende a crescere in misura più che proporzionale alla produzione dei mezzi di sussistenza
:
La popolazione cresce in
progressione geometrica
Le risorse in
progressione aritmetica
"
Storia e Filosofia
Il Malthus politico, il secolo dei Lumi (determinismo), il "darwinismo sociale" (Spencer),
La Prima Rivoluzione Industriale: dove nasce l'inquinamento: l'urbanizzazione, dinamiche demografiche post-rivoluzione

I rimedi malthusiani al rischio di sovrappopolazione non sono particolarmente democratici...
"La natura si incarica di riequilibrare il divario grazie a due tipi di
freni
:
repressivi
(che aumentano la mortalità: carestie, epidemie, guerre),
preventivi
(che incidono sulla natalità: miseria e vizio)"
Si possono tuttavia adottare
alcuni rimedi
:
sul piano morale la
virtuosa astensione dal rapporto sessuale
;
sul piano politico l'
abolizione di ogni intervento assistenziale
.

Si deve mirare quindi alla “
naturalizzazione delle diseguaglianze sociali
” che vengono interpretate come conseguenza di ineluttabili forze naturali...
Non si può crescere indefinitamente!
Modelli matematici in Biologia
An Essay on the Principle of Population, Thomas Robert Malthus (1766 - 1834)
Con l'equazione di Malthus facciamo un passo ulteriore: dalla ricerca di simmetrie al tentativo di costruire un
modello matematico
grazie al quale poter poi fare
previsioni sul futuro
(ed anche
proiezioni sul passato
)
A dispetto del radicalismo conservatore di Malthus,
gli studiosi affascinati dalla sua teoria sono stati numerosi.
Oltre al più noto,
Darwin
(lettore di Malthus), in anni più recenti si può per esempio citare
Paul Ehrlich
, che, in
The Population Bomb
(forse il libro di demografia più venduto di sempre, pubblicato nel 1968), ha scritto:
"nel corso degli anni Settanta il mondo attraverserà un periodo di carestia di proporzioni gigantesche e tragiche"
E ancora: "coloro che sostengono che l'India sarà in grado di sfamare nei prossimi 8 anni 120 milioni di persone in più, forniscono dati di pura fantasia"
... e infatti l'India riuscì a sfamare 144 milioni di persone in più...
Sulla stessa lunghezza d'onda di Ehrlich,
Lester Brown
, ministro dell'Agricoltura degli USA, nel 1965 scrisse che "la questione alimentare che sta emergendo nelle regioni sottosviluppate potrebbe essere
il principale dei problemi praticamente insolubili
che l'uomo dovrà affrontare nel prossimo futuro"
Ma, per fortuna, Malthus, Ehrlich, Brown si sono sbagliati (almeno finora...):
la quantità di cibo disponibile è cresciuta "più che linearmente" in tutti questi anni
La quantità di cibo pro-capite è aumentata dal 1961 ad oggi del 23%, nei paesi in via di sviluppo del 52%.
In particolare la carne disponibile per persona è aumentata del 122% passando dai 17,2 Kg pro capite del 1950 ai 38,4 Kg del 2000 (dati ONU)
Di fatto, oggi, ogni individuo ha molto più cibo a disposizione di un tempo, anche se dal 1961 la popolazione è più che raddoppiata: l'apporto calorico è aumentato del 24% su base globale e del 38% nei paesi in via di sviluppo
(Bjorn Lomborg, L'ambientalista scettico)
Sì, ma a quale prezzo?
Dai dati al modello:
la crescita malthusiana
dei cinghiali
Secondo il WWF dell'Emilia Romagna
ogni femmina di cinghiale può generare da 4 a 6 piccoli,
in condizioni particolarmente favorevoli anche due volte all'anno.
La mortalità media "naturale" (dovuta a predazione, freddo, malattie...) della popolazione è del 22% circa degli esemplari
Se un cinghiale vive in media 7 anni
(per il WWF Emilia Romagna può vivere fino a 10 anni),
e se immaginiamo che la popolazione sia suddivisa in modo omogeneo in base all'età (ipotesi "forte"),
possiamo supporre che, detta x la numerosità dei cinghiali al tempo 0,
le femmine in età riproduttiva siano 0,35x
Quindi, per il cinghiale, possiamo teorizzare la legge di crescita malthusiana:
N(t+1)=2,03 N(t)
, t in anni.

Dunque, se i cinghiali nell'Alto oltrepo' pavese, sono stimati in 6000 esemplari (
Corriere della Sera, 19 ottobre 2012
) , ben presto potrebbero diventare
troppi
...
E gli umani?
Seguono dinamiche malthusiane?
Qualcosa sta cambiando?
E' chiaro che ad "alterare" la dinamica della popolazione umana intervengono molti fattori difficilmente matematizzabili, come la cultura, la volontà, ma anche altri più facilmente matematizzabili, come il benessere materiale...
Il modello malthusiano suppone tassi di incremento/decremento costanti nel tempo.
Ma i tassi di natalità e mortalità dipendono da fattori che possono variare col tempo.
E' questa l'ipotesi che conduce a
modelli "dipendenti da densità"
, in questi modelli si suppone che il tasso r vari in dipendenza della numerosità della popolazione
grazie per l'attenzione
e la pazienza
Nell'equazione malthusiana
N(t+1)=r N(t)
si suppone r costante
Ma r=1+b-d,
dove b=B/N(t) è il tasso di natalità
e d=D/N(t) è il tasso di mortalità
la zona in cui abita la popolazione ha
risorse limitate
, e questo fa variare i tassi di natalità e mortalità.
Per esempio è naturale aspettarsi che, all'aumentare della popolazione, sia più difficile procurarsi il cibo. Questo spinge gli individui a
modificare il proprio comportamento, variando così i tassi di natalità e mortalità
carla.vettori@unibo.it
ivano.arcangeloni@istruzione.it
La resa dei terreni cresce più lenta della popolazione. Secondo l’ONU lo stock di mais degli Usa - principale produttore - è ai minimi storici e per la FAO le riserve globali sono scese del 2,6% a fronte di una impennata dei prezzi (i cereali costano quest’anno dal 10 al 35% in più).
Il rischio crisi alimentare
è, per l’ONU, alle porte.
"le ricette sinora messe in campo producono solo ulteriori problemi, in quanto basate sul consumo intensivo delle risorse e su produzioni energivore.
In particolare sono a rischio le riserve acquifere che vengono spesso prosciugate a beneficio della produzione agricola intensiva.
La risposta non può arrivare da questa impostazione tanto cara alle multinazionali agroalimentari ma da una inversione drastica della prospettiva"

(Lester Brown, 9 miliardi di posti a tavola)
"l'introduzione di tecniche matematiche in una scienza è stata considerata come un importante progresso, in quanto significava la comparsa del rigore, dell'esattezza concettuale e numerica e, di conseguenza, un considerevole allargamento delle possibilità d'azione"
(René Thom, Modelli matematici della morfogenesi)
http://hkumath.hku.hk/course/MATH0011/misc/cobwebbing/cobwebbing.html
A mo' di premessa:
le famose "competenze"...
Compito in classe di quarta Liceo Scientifico, un esercizio un po' "strano", che ha messo molti studenti in difficoltà, eccolo:
"Si vuole affittare per un banchetto di nozze la sala di un ristorante che può ospitare 150 posti a sedere. Il ristoratore prepara un preventivo
a prezzo variabile
: se tutti i posti saranno occupati, il costo di un pranzo completo sarà di 80 euro, se invece resterà qualche posto vuoto il costo unitario del pranzo verrà aumentato di 5 euro moltiplicati per il numero di posti lasciati vuoti. Qual è la combinazione che garantisce il massimo ricavo per il ristoratore?"
Alcune bizzarre "soluzioni" proposte dagli studenti (alcuni anche "bravi"!)
f(150)=80
f(150-x)=80+5x
f(150-x)=max
boh!
Ricavo: 80n+5(150-n)
dove n indica il numero dei commensali
f(x)=(150-x)85x
Aggravante
: l'esercizio proposto non era del tutto inatteso.
Gli studenti, una settimana prima della verifica, si sono esercitati su di una
"simulazione" di compito in classe
, che ha lo scopo di presentare la struttura della prova.
Ecco il problema proposto nella simulazione:
"Si vuole costruire un aquilone a forma di settore circolare con un contorno lungo 3 metri, in modo che la superficie sia massima. Determina il raggio del settore, l'angolo al vertice e la sua superficie"
Qual era il problema più "difficile"?
Cosa c'era di veramente "difficile" nel problema del ristoratore?
E in quello degli orti da recintare?
Hanno risolto correttamente il problema del ristoratore 5 studenti su 24, 17 su 24 quello degli orti da recintare. Per fortuna nel compito in classe c'erano altri problemi di "vera" matematica...
Però se uno studente di quarta liceo scientifico non riesce a risolvere problemi così, ho (abbiamo?) io docente un problema, c'è qualcosa (molto?) che non ha funzionato nella "filiera produttiva" dell'educazione (non solo) matematica
E qual è il problema?
Che "la matematica e la vita sono
totalmente disconnesse"?
Al contrario!
"
Le competenze matematiche necessarie ad un comune cittadino per svolgere un ruolo consapevole e attivo nella società sono notevolmente aumentate
" [Primo Brandi, Anna Salvadori, Università Perugia,
Lettera aperta ai pionieri della scuola
, consultabile sul sito www.matematicaeralta.it]
Se
"l'universo è composto di numeri"
,
non dovrebbe essere facile far capire agli studenti quanto imparare la matematica sia importante?
"Se si vuole
ancorare l'insegnamento alla realtà
, riteniamo che non si possa prescindere dai
modelli matematici
.
Anzi, una svolta realmente innovativa sarebbe quella di
impostare completamente la dinamica dell'insegnamento-apprendimento sulla modellizzazione matematica
con strumenti elementari, fin dai primi anni della formazione scolastica" [Brandi-Salvadori]
E per finire due studenti sono arrivati al risultato "per tentativi": è una soluzione che riteniamo accettabile? (in questo caso i tentativi da fare non erano neanche pochi...)
Un esempio? Il calcolo della cosiddetta "miniIMU": "L’eventuale differenza tra l’ammontare dell’imposta municipale propria risultante dall’applicazione dell’aliquota e della detrazione per ciascuna tipologia di immobile di cui al comma 1 deliberate o confermate dal comune per l’anno 2013 e, se inferiore, quello risultante dall’applicazione dell’aliquota e della detrazione di base previste dalle norme statali per ciascuna tipologia di immobile di cui al medesimo comma 1 è versata dal contribuente, in misura pari al 40 per cento" (L. 133/2014, c.5, art.1)
Vediamo la procedura per il calcolo:
1. Scoprire qual è la rendita catastale del proprio immobile (x),
2. aumentarla del 5% (1,05x),
3. moltiplicare per 160 (moltiplicatore di Monti, 168x),
4. scoprire qual è l'aliquota applicata dal proprio Comune (per Forlì il 5,5 per mille),
5. calcolare il 40% della differenza tra importo dovuto applicando l'aliquota comunale e quella "base" nazionale (4 per mille),
risultato: 0,40(1,5/1000)168x=0,1008x.
E' più chiara la descrizione del legislatore o quella dell'insegnante di matematica?
Quanti nostri studenti sarebbero in grado di "tradurre" il testo di legge nella formula 0,1008x?
E quanti nostri giuristi, commercialisti, revisori contabili eccetera sono in grado di farlo?
Una domanda insidiosa:
dal 1950 al 1990 la popolazione umana è cresciuta con un tasso di crescita del 9,69% ogni cinque anni: qual è il tasso medio di crescita annuale in questo periodo?
Per stabilirlo occorre ricorrere alla "media geometrica", se
P(n+5)=1,0969P(n) e P(n+1)=(1+x)P(n), il tasso medio annuo di crescita è l'1,87% (anche se 1,87x5=9,35!)
Una domanda similmente insidiosa:
l'obbligazione "zero coupon" COMIT 98/28 quota oggi 59,2,
qual è il tasso medio di interesse garantito dall'obbligazione?
Progressione aritmetica/geometrica
in matematica finanziaria si dice
capitalizzazione semplice/composta,
e forse un cittadino consapevole dovrebbe conoscere
la differenza...
Altri esercizi: una banca riconosce ai clienti una renumerazione del 2,75% lordo annuo per gli investimenti vincolati, con rivalutazione semestrale degli interessi, qual è il tasso annuo effettivo?
Se la rivalutazione fosse trimestrale?
Se fosse giornaliera?
Se fosse... istantanea?
Una finestra sul "continuo"... Se immaginiamo un tasso di crescita "per periodo" r, e immaginiamo che in un anno ci siano k di questi periodi, l'equazione malthusiana discreta diventa N(t)=(1+(b-d)/k)^{kt}N(0), se k tende all'infinito...
E, per finire,
una proposta didattica pluridisciplinare:
Lo studio della Dinamica delle popolazioni
O anche: se N(t+1)=(1+b-d)N(t),
N(t+h)=(1+b-d)^{h}N(t),
se b-d è "piccolo" (vicino allo 0),
la quantità (1+b-d)^(h) vale circa 1+(b-d)*h,
quindi: N(t+h)-N(t)=h(b-d)N(t), che se h tende a 0
diventa dN/dt=(b-d)N, che è uno degli esempi della più ampia classe di equazioni differenziali a variabili separabili y'=Ay
Matematica
progressioni arimetiche/geometriche,
esponenziali/logaritmi,
dai dati alla lettura dei grafici e viceversa,
il discreto e il continuo,
punto di equilibrio (verso il concetto di limite),
rapporto incrementale (verso il concetto di derivata)
Biologia
osservazioni in laboratorio (raccolta dati),
un modello per la crescita cellulare,
studio della dinamica di popolazioni (cinghiale)
popolazioni a dinamica decrescente: il problema della biodiversità
Letteratura Inglese (?)
L'opposizione al Malthus politico, Dickens (La Londra della Prima Rivoluzione Industriale), Ruskin (un primo esempio di "proto"-ambientalista)
e poi John Steinbeck (Uomini e topi), oppure leggere Malthus in inglese?
Fisica e Scienze (e non solo...)
biodiversità e sostenibilità
Da un compito in classe assegnato in una classe quarta a maggio: "Due contadini s'incontrano da un ferramenta, ed entrambi comprano 40 metri di rete metallica per recintare il loro orto.
Che strano
, osserva il primo,
la stessa quantità di rete quando il mio orto è molto più grande del tuo
.

Ah, no, no
, replica il secondo,
se ci serve la stessa quantità di rete si vede che gli orti sono grandi uguale
". Chi dei due ha ragione? Motiva esaurientemente la risposta.
Niente più del classico
"problema isoperimetrico"
, che non era certo nuovo per gli studenti (è stato già affrontato e risolto sia con gli strumenti sintetici che analitici che trigonometrici), eppure...
Alcune soluzioni proposte:
a. "Forse il secondo contadino fa una rete più alta"
b. "Se i perimetri sono uguali devono essere uguali anche le aree"
E ancora:
c. "Il primo contadino ha ragione, in quanto non conta il perimetro che in questo caso risulta uguale, ma l'area: quindi il secondo contadino utilizza troppa rete rispetto all'area del suo orto" (?)
d. "Dipende: se l'orto ha una forma diversa, oppure si trova in pendenza avrà ragione il primo"
e infine, un autentico capolavoro:
e. "I due orti sono apparentemente uguali, ma ci potrebbe essere un trucchetto matematico a me incognito" (!)
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