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ALGEBRA DE DERIVADAS

Maestría en Didáctica de las Matematicas, Electiva I - Calculo
by

Alejandra Idarraga

on 13 November 2012

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Transcript of ALGEBRA DE DERIVADAS

Algebra de Derivadas Ordinarias ALGREBRA DE DERIVADAS MAESTRIA EN DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS Alejandra Duque Molina
Jesus Alberto Coca
Alejandra Idarraga Rincón Derivada de una Constante Derivada de una Suma Derivada de una Resta Derivada de un Producto Derivada de un Cociente Derivada de una Constante por una función Derivadas de algunas funciones especiales y Regla de la cadena Gracias Aproximación a la derivada de un producto y a la derivada de un cociente de funciones mediante un ejemplo de la cotidianidad. Ejemplo: ¿Cómo aumenta el gasto de gasolina de Juana?Precios del galón de gasolina en la ciudad de Manizales al mes de diciembre:
En este intervalo de tiempo el precio de la gasolina aumenta uniformemente a razón de $730 al año. El comportamiento del precio del galón de gasolina se puede representar por la función: P(t) = 578 + 730*t, donde P está en pesos y t en años a partir del año 2000 (por ejemplo, t = 9 para el año 2009). Juana, estudiante de grado once, quiere analizar el comportamiento de su consumo de gasolina y de su gasto en dinero, comparando su consumo en el mismo mes durante los últimos años. Sus registros indican que para el mes de diciembre, desde 2009 hasta 2011, su consumo de gasolina aumentó uniformemente de 32 galones a 46 galones. Como se muestra en la tabla y en el gráfico. Juana obtuvo la cantidad de dinero gastado para comprar la gasolina multiplicando el consumo por el precio, así: Con extrañeza Juana observó que el incremento en su gasto no era uniforme, a pesar que los incrementos en precio y en consumo eran uniformes. Después de revisar juiciosamente los cálculos realizados, en una búsqueda infructuosa de posibles errores, supuso que debería haber una explicación razonable: ¿Cómo se relacionan loso incrementos en el precio y en el consumo con el incremento en el gasto?
Tras varias consultas en Internet y su profesor de matemáticas, llegó a la siguiente conclusión: El incremento en el gasto, en un año, se obtiene con una mezcla de operaciones entre los incrementos en el precio y el consumo y los propios valores de precio y consumo del año anterior, así: Parece que en general: ΔG = C*ΔP + P*ΔC + ΔP*ΔC
Intrigada y aún insatisfecha, Juana decide indagar que pasaría con estos resultados si su análisis no fuera para intervalos de un cada año sino para intervalos cada vez menores: ¿Cómo se afectaría la expresión para el incremento en el gasto si el intervalo de tiempo se reduce sustancialmente?
Por indicaciones de su profesor, Juana se introduce en el estudio de las derivadas de funciones. Dado que el gasto se obtiene multiplicando el precio por el consumo, Juana empezó representando este como un producto de funciones, así:
G(t) = P(t) * C(t) Simplificadamente: G = P * C
El incremento en el precio viene dado por ΔP.
El incremento en el consumo viene dado por ΔC.
El incremento en el gasto viene dado por
ΔG = Δ(P * C) = (P+ΔP)*(C+ΔC) – P*C
El incremento en el tiempo viene dado por Δt Entonces la relación entre incrementos de gasto y de tiempo es: Oh sorpresa, cuando Δt = 1 esta expresión se convierte en la que se obtuvo anteriormente de los datos de la tabla:
ΔG = C*ΔP + P*ΔC + ΔP*ΔC Ahora, para determinar el comportamiento del incremento en el gasto cuando el intervalo de tiempo es muy pequeño (tan pequeño como se quiera) se introduce el límite, así: Pero estos límites son justamente expresiones simplificadas de las derivadas de las funciones G, P y C Con lo cual, la expresión para el cambio en el gasto con respecto al tiempo es: Ilustremos esto con las expresiones para las funciones P y C de nuestro ejemplo. Expresión que da la variación instantánea de G con respecto a t. En general, dadas dos funciones f(x) y g(x), derivables en un intervalo, la derivada del producto f(x)*g(x) viene dada por: Usando un procedimiento similar al de la derivada de un producto se obtiene la derivada de un cociente de funciones. Continuando con el ejemplo desarrollado en la derivada de un producto tenemos: Expresión que da la variación del precio de un galón de gasolina con respecto al tiempo. En general, dadas dos funciones f(x) y g(x), derivables en un intervalo, la derivada del cociente f(x)/g(x) viene dada por: A partir del estudio del movimiento en caida libre se deducira la propiedad de la derivada de una suma Para explicar la derivada de una suma utilizaremos un ejemplo sencillo de la física como es el movimiento en caída libre. La función de posición está dada por: La velocidad instantánea es el limite de la velocidad media cuando tiende a cero y corresponde a la derivada de la función s(t): Caida Libre La función s(t) esta expresada como la suma de tres términos: Ahora plicando la definición de limites para derivar s(t) como una sola función obtenemos: Derivando independientemente cada uno de ellos obtenemos: Podemos observar que derivando cada una de las funciones j(t), h(t) y k(t) se obtiene el mismo resultado que al aplicar la definicion de derivada a s(t). Por lo tanto se concluye que: Y en general: De forma similar como se demuestra la derivada de una suma se demuestra la derivada de una resta obteniendo: Se utilizara un ejemplo de fisica para ilustrar la demostración de la derivada de una constante. Velocidad en el Movimiento Rectilíneo Si s(t) es la función de posición de un objeto en movimiento rectilíneo, la velocidad del objeto en el instante t es la razón de cambio instantánea de s(t) con respecto al tiempo, es decir v(t) = s´(t), está dada por: Por ejemplo, la función de posición de un objeto que se desplaza con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es s(t) = 5t2 + 2t. Obtener la velocidad instantánea del objeto en t = 3 s.
Solución: Para determinar v(t) = s’(t) requerimos Luego, Así, s´(t) = 10t + 2; al sustituir t por 3 , tenemos:

En conclusión, la velocidad instantánea del objeto en t = 3 s es 32 m/s s(3) = 10(3) + 2 = 32 Continuando con el ejemplo planteado en derivada de una constante Consideremos a f una función con primera derivada definida. La derivada de f es:
f '(t)=lim(∆t→0)(f(t+∆t)-f(t))/∆tPara obtener la derivada de un múltiplo constante de f, g(t) = kf(t), requerimos g(t + ∆t) = k f(t + ∆t)
g(t) = k f(t)
así, Resumiendo, g’(t) = k f’(t) Es decir, la derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de la función.

Ejemplo: Sea x(t) = 35t2 + 14t. Obtener la derivada de x en t = 3.

Solución: si consideramos a s(t) del ejemplo 1, es claro que
x(t) = 7(5t2 + 2t) = 7s(t). Aprovechando esta situación, tomamos
x’(t) = 7s’(t) = 7 (10t + 2) = 70t + 14. Al evaluar en t = 3, tenemos:

x’(3) = 70(3) + 14 = 210 + 14 = 224 = 7s’(3) = 7 (32)

Podemos verificar la derivada de x(t), por aplicación de la definición de derivada:

x(t + ∆t) = 35(t + ∆t)2 + 14(t + ∆t) = 35(t2 + 2t∆t + ∆t2) + 14t + 14∆t = 35t2 + 70t∆t + 35∆t2 + 14t + 14∆t
x(t) = 35t2 + 14t Luego, Así, x(t) = 70t + 14; al sustituir t por 3 , tenemos
x´(3) = 70(3) + 14 = 224 Las operaciones básicas son insuficientes para describir la gran variedad de funciones existentes. Así mismo, las reglas de derivación para funciones constantes, producto de función por escalar, suma, resta multiplicación y división de funciones; son propiedades sumamente útiles para determina las derivadas de algunas funciones pero el espectro global es mucho más amplio y se requiere de otro tipo de herramientas que permitan acceder al cálculo de la derivada de prácticamente cualquier función. Presentamos la siguiente tabla de derivadas de algunas funciones especiales, que por su frecuencia de aparición e importancia en situaciones de la práctica de diversos campos de conocimiento (ingeniería, economía, biología, etc.) Finalmente presentamos la regla de la cadena, que permite hallar la derivada de funciones compuestas conociendo las derivadas específicas de cada función. Dadas dos funciones f(x) y g(x), la función compuesta f º g = f(g(x)) cuya derivada viene dada por: Ejemplo 1: Sea la función
h(x) puede verse como la composición de las funciones (f º g)'= (f(g(x))'=f '(g(x)).g'(x) h(x) = f(g(x)) por lo que
h'(x) = f '(g(x)).g'(x)= cuyas derivadas son: Ejemplo 2:
Demostramos la derivada de la función exponencial generalizada.

Para hallar la derivada, tomamos previamente logaritmo natural a ambos lados de la igualdad:
Ahora hallamos la derivada, aplicando la propiedad de derivada de una multiplicación y la regla de la cadena:
Aquí aplicamos la propiedad de la derivada de un producto: Aquí aplicamos la regla de la cadena, recordemos que la derivada de ln(x) es 1/x, por tanto la derivada de ln(g(x) es [1/g(x)]*g´(x) Reemplazando de nuevo f(x) por su versión exponencial Una fórmula que por su relativa complejidad usamos poco, pero que nos muestra el poder y la simplicidad de usar la regla de la cadena. Es preferible en cada ejemplo practicar el método descrito que memorizar y aplicar la fórmula.
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