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Métodos Estadísticos para la Toma de Decisiones

ITESM Agosto-Diciembre 2012
by

Francisco Marmolejo

on 12 August 2013

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Transcript of Métodos Estadísticos para la Toma de Decisiones

MÉTODOS ESTADÍSTICOS
PARA LA TOMA DE DECISIONES

photo credit Nasa / Goddard Space Flight Center / Reto Stöckli
Profesor: Francisco J. Marmolejo González
Semestre Ago-Dic 2013
Arreglo de Datos para Obtener Significados
Formas de la Estadística
Inducción
¿Por qué hay qué utilizar la estadística?
INTRODUCCIÓN
¿Por qué es importante la estadística?
¿Cómo utilizas los datos en tu beneficio?
Has planeado tu boda todo un año; tienes entregadas las invitaciones y contratado todo (banquete, grupo, lugar, etc.); tu ilusión ha sido casarte en la playa, pero debido a la logística de tus familiares lo haces en la ciudad dando un toque de playa (telas en los postes, alberca, luces, antorchas marcando el camino etc. dejando de poner carpas pues rompería con la ambientación) la fecha es Abril y una semana previa a la fecha se presenta un 20% de probabilidad de lluvia. ¿Qué haces?
El departamento de medicina esta realizando una prueba final de un nuevo medicamento que cura la migraña en 80% de los casos en que es administrado y con sólo 2% de incidencia de muerte. El departamento de medicina debería de autorizarlo?
¿Qué es estadística?

¿Para qué sirve?

¿Qué significa estadística descriptiva?

¿Qué significa estadística inferencial?

¿Cuál es la diferencia entre estadística descriptiva y estadística inferencial?
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA : Supón que un profesor calcula la calificación promedio de un grupo de historia. Como la estadística describe el desempeño del grupo, pero no hace ninguna generalización acerca de los diferentes grupos, podemos decir que el profesor esta utilizando Estadística Descriptiva
ESTADÍSTICA INFERENCIAL: Imagina que el profesor ahora decide utilizar el promedio de calificaciones obtenido por uno de sus grupos para estimar la calificación promedio de las 10 unidades del mismo curso de historia.
El proceso de estimación sería un problema de Estadística Inferencial.
Inducción
¿Para sacar estadísticas se necesitan datos?
¿Cómo seleccionarías esos datos?
¿Qué diferencia existe entre datos e información?
Los especialistas en estadística seleccionan sus observaciones de manera que todos los grupos relevantes estén representados en los datos. Para determinar el mercado potencial de un nuevo producto, por ejemplo, los analistas podrían estudiar cien consumidores de una cierta área geográfica. Dichos analistas deben tener la certeza de que este grupo contiene personas que representan variables como nivel de ingresos, raza, nivel educativo y vecindario donde vive.
Arreglo de Datos para Obtener Significados
Los datos pueden ayudar a los responsables de tomar decisiones de hacer suposiciones bien pensadas acerca de las causas y los efectos probables de ciertas características en situaciones dadas. También el conocimiento de tendencias adquirido de la experiencia previa puede permitir a los ciudadanos que les interesa estar al tanto de posibles resultados y actuar en consecuencia.
En la actualidad mediante las computadoras nos permiten recolectar una gran cantidad de datos para presentarlas después en forma compacta mediante tablas o gráficas.
Antes de depositar nuestra confianza en cualquier conjunto de datos interpretados, ya vengan de una computadora o no pruébalos mediante las siguientes preguntas:
¿De dónde vienen los datos? ¿La fuente es parcial?

¿Los datos comprueban o contradicen otras evidencias que se tienen?

¿Hace falta alguna evidencia cuya ausencia podría ocasionar que se llegue a una conclusión diferente?

¿Cuántas observaciones se tienen?¿Representan a todos los grupos que se desea estudiar?

¿La conclusión es lógica? ¿Se ha llegado a conclusiones que nuestros datos no confirmen?
Inducción
¿Cuál es la diferencia entre Población y Muestra?

¿Tienen alguna relación cada término con la Estadística Descriptiva y la Estadística Inferencial?
Arreglo de datos para obtener significados
Los expertos en estadística recogen datos de una muestra. Utilizan esta información para hacer inferencias sobre la población que esta representada por la muestra. Una población es un todo y una muestra es una fracción o segmento de ese todo.
El estudio de muestras es más sencillo que el estudio de la población completa; cuesta menos y lleva menos tiempo.
Una población es un conjunto de todos los elementos que estamos estudiando acerca de los cuales tratamos de sacar conclusiones.
Inducción
A continuación se presenta la rotación de inventarios de los 20 OXXO existentes en la ciudad de Durango:
¿Es útil esta información?
¿Le tendrías que hacer algo a esta información para que sea más manejable?
Distribución de Frecuencias
Cuando se presenta una gran cantidad de información es complicado manejarla tal y como está, por lo que se recomienda agrupar o comprimir dicha información
Una forma en que podemos comprimir los datos es la tabla de frecuencias o distribución de frecuencias. Para obtener la distribución se tuvo que dividir los datos en grupos parecidos y registrar el número de puntos de datos que caen en cada grupo.
Aunque se pierde la característica de cada dato,
ganamos en la concentración, promedio y
patrón de los datos.
Distribución de Frecuencias
Para ejemplificar lo anterior,
tomemos la información que se acaba de presentar.
La distribución de frecuencias no me dice que se repiten 4 veces el dato 5.5 pero si me dicen en que grupo de datos se concentran la mayoría de los datos.
También podemos expresar la frecuencia de cada valor como una fracción o un porcentaje del número total de observaciones. Para obtenerla dividimos cada cantidad de observaciones de cada clase entre el total de observaciones. A este arreglo se le conoce como Frecuencias Relativas.
Distribución de Frecuencias (Relativas)
Inducción
¿Cómo agruparías estos datos?
Características de las Clases
Hasta ahora, nuestras clases han consistido en números y describen algún atributo cuantitativo de los elementos de la muestra. Podemos, también, clasificar la información de acuerdo con características cualitativas, como: raza, religión, sexo etc.
Características de las Clases
Clases con Extremo Abierto:
Cuando permite que el extremo superior o inferior de una clasificación cuantitativa no esté limitado.

Clases Discretas:
Son aquellas entidades que no pasan de una clase a otra sin que haya rompimiento. (Ej. Niños en una familia, etc.)

Clases Continuas:
Los datos pasan de una clase a otra sin que haya un rompimiento.
Distribución de Frecuencias
(Ejemplo)
A continuación se presentan las edades de un programa social llamado Adultos Mayores. Utilízalas para construir, primero, una Distribución de Frecuencias Relativas mediante siete intervalos iguales. La Política Estatal sobre Programas Sociales establece que aproximadamente 50% de los participantes en el programa sean mayores de 50 años.
A) ¿Está el Programa de acuerdo con la Política del Estado?

B) Suponga que el Director de Servicio Social desea saber la proporción de participantes del Programa que estén entre 45 y 80 años de edad.
Distribución de Frecuencias
(Ejemplo)
Construcción de la Distribución de Frecuencias
Decida el tipo y el número de clases para dividir los datos: Debemos decidir cuantas clases distintas debemos usar y el alcance que cada clase debe cubrir.
1.- Si las clases fueran desiguales y los intervalos tuvieran diferentes anchos sería mucho más complicado interpretar los datos

2.- El número de clases depende del número de puntos de dato y del alcance de los datos recolectados, sin embargo como regla no pueden usarse menos de 6 clases ni más de 15 clases

3.- Debido a que necesitamos hacer los intervalos de clase de igual tamaño, el número de clases determina el ancho de cada clase utilizando la siguiente fórmula.
Distribución de Frecuencias
(Ejemplo)
El presidente de Aviacsa intenta hacer una estimación de cuánto se tardará la SCT en decidir acerca de la solicitud de la compañía sobre una nueva ruta entre Querétaro y Guadalajara. Los asesores de la compañía han conseguido los siguientes tiempos de espera de las solicitudes hechas durante el año anterior.
Los datos están dados en días:
a) Contruya una Distribución de Frecuencias utilizando 10 intervalos
b) Utilizando 5 intervalos
Las gráficas de distribuciones de Frecuencias Simples y Relativas son de utilidad debido a que resaltan y aclaran los patrones que no se pueden distinguir fácilmente en las tablas.

Es un diagrama de 2 dimensiones donde en eje de la X se presenta la variable en estudio, es decir, las clases obtenidas, y en el eje de las Y la frecuencia de datos en cada clase.
Representación Gráfica
Representación Gráfica (tipos)
Un histograma consiste en una serie de rectángulos, cuyo ancho es proporcional al alcance de los datos que se encuentran en cada clase, y cuya altura es proporcional al número de elementos que caen dentro de la clase.
El Polígono de Frecuencias aunque menos usado, es similar al Histograma, con la diferencia de que son puntos centrales en las clases los que se trazan y se unen por líneas.
Representación Gráfica (tipos)
Representación Gráfica (Tipos)
Una distribución de Frecuencias Acumuladas nos permite ver cuántas observaciones están por encima de ciertos valores, en lugar de hacer un mero registro de el numero de datos que hay dentro de un intervalo
Un banco ha aprendido de la experiencia que existen 4 factores que
influyen en gran medida en la determinación de si un cliente pagará
a tiempo el préstamo que se le hizo o si se va a convertir en moroso. Tales factores son:
Número de años viviendo en domicilio actual
Antigüedad en el trabajo
Si es dueño o no de la casa donde habita
El cliente tenga una cuenta de cheques o de ahorros en el mismo banco

*Caso CIUDAD NATAL
¿ Por qué hay qué utilizar la estadística?
Otras Gráficas
Gráfica de Pastel
Gráfica Radial
Gráfica de Puntos
Gráfica de Bigotes

Gráfica Radial y Pastel
Gráfica Puntos y Bigotes
La MODERNA S.A. quiere comparar sus tres líneas de producción. Se registró el número de piezas defectuosas presentes en la producción diaria de cada una de sus líneas durante el mes de junio de 2005. A continuación se presentan los datos:
Tablas Dinámicas
(Un medio para resumir mucha información)
Medidas de Tendencia
Medida de Tendencia Central
Temario
Media Aritmética
Media Pesada
¿Cómo determinar el centro de los datos y su dispersión?
Media Aritmética (Promedio)
Media Pesada
Media Geométrica
Mediana
Moda
Medida Dispersión
Alcance
Varianza
Desviación Estandar
Cuando hablamos del Promedio hablamos de la Media Aritmética

La Media de una Muestra se representara con xtestada

La Media de la población se representa con la letra
Una Media Pesada nos permite calcular el promedio que toma en cuanta la importancia de cada valor con respecto al total

Como ejemplo considera un simple Promedio Aritmético de los salarios pagados por trabajador
Un promedio normal seria x test = (5+7+9)/3= $7.00 lo cual es incorrecto
Con este ejemplo vemos que el promedio pesado toma en cuenta las diferentes cantidades de cada nivel de trabajo que se utiliza en la elaboración de los productos.
Media Pesada
Media Geométrica
En ocasiones trabajamos con cantidades que cambian en un cierto periodo, necesitamos conocer una tasa promedio de cambio, como la tasa de crecimiento promedio en un periodo de varios años. En tales casos, la Media Aritmética resulta inapropiada, pues nos da resultados equivocados. Es entonces el uso de la Media Geométrica.
Media Geométrica
Si promediamos los factores de crecimiento, entonces no lograremos una tasa real promedio de crecimiento porque unos dependen de otros.

Para tal caso la Media Geométrica se calcula:
Mediana y Moda
La Mediana es un sólo valor calculado a partir de un conjunto de datos que mide la observación central de este. Es decir, es la observación que se encuentra a la mitad del arreglo de datos.
Para un número impar de observaciones, la Mediana es el valor intermedio
Para un número par de observaciones, la Mediana es el promedio de los 2 valores intermedios.
La Moda al igual que la Mediana no se calcula con ningún proceso aritmético, únicamente representa el valor que más se repite.
Percentil
Un Percentil da información acerca de cómo se distribuyen los valores sobre el intervalo, desde el menor hasta el mayor. Para datos que no tienen muchos valores repetidos, el p-ésimo (se dice “peésimo”) percentil divide los datos en 2 partes. El p-ésimo percentil es un valor que por lo menos p por ciento de las observaciones son menores o iguales que este valor y por lo menos (100-p) por ciento de las observaciones son mayores o iguales a este valor. El índice “i” es el lugar o posición que ocupas en los datos.
Alcance o Rango:
Es el alcance que tiene un conjunto de datos, es decir, el valor mayor menos el valor menor.
Varianza:
Es una medida de dispersión que emplea todos los datos, se basa en la diferencia entre el valor de cada observación (xi) y la media.
Dispersión
Dispersión
Desviación Estándar: Se define como la raíz cuadrada positiva de la Varianza







Coeficiente de Variación : En algunos casos nos puede interesar una medida descriptiva que indique lo grande que es la Desviación Estándar en comparación de Media.
Medidas de Localización Relativa
Valores Z : Al usar la Media y la Desviación Estándar podemos determinar la localización relativa de cualquier observación.
Teorema de Chebyshev
Este Teorema permite inferir la proporción de valores que deben quedar dentro de una cantidad específica de Desviaciones Estándar respecto a la Media.

Cuando menos (1-1/z2) de los datos debe estar a menos de Z Desviaciones Estándar de separación respecto a la Media, siendo Z cualquier valor mayor que 1.
Promedio
Desviación Estándar
Moda
Rango
El rango es la diferencia entre el más alto y el más pequeño de los valores observados. En forma de ecuación, podemos decir:
Rango Intercuartil
El rango intercuartil mide aproximadamente qué tan lejos de la mediana debemos ir en cualquiera de las dos direcciones antes de recorrer una mitad de los valores del conjunto de datos. Para calcular este rango, dividimos nuestros datos en cuatro partes, cada una de las cuales contiene 25% de los elementos de la distribución. Los cuartiles son, entonces, los valores más altos de cada una de estas cuatro partes, y el rango intercuartil es la diferencia entre los valores del primero y tercer cuartiles:
PROBABILIDAD
Probabilidad
Probabilidad Clásica
Probabilidad Frecuencia Relativa
La Probabilidad es una parte de nuestras vidas contidianas (si nos dicen que existe un 70% de probablildad de que llueva, seguramente cambiaremos los planes).

En la Toma de Decisiones de la vida cotidiana ya sean personales o de otro tipo, nos enfrentamos a la incertidumbre y utilizamos la Teoría de Decisiones
.
Un Evento:
Es uno o más de los posibles resuktadis de hacer algo. Al lanzar una moneda al aire, si cae cara es un evento y si cae cruz es otro evento

Un Experimento:
Es la actividad que origine uno de dichos eventos, entonces ¿Será un experimento a la actividad de lanzar una moneda?

Espacio Muestral:
Son todos los posibles resultados de un experimento

Eventos Mutuamente Excluyentes:
Cuando uno y solamente uno puede tener lugar a un tiempo
Probabilidad
Existen 3 maneras básicas de calificar a la probabilidad
Planteamiento clásico
Planteamiento de frecuencia relativa
Planteamiento subjetivo

La Probabildad Clásica supone una especie de simetría en el mundo y esta suposición también puede ocasionarnos problemas. Las situaciones de la vida real, desordenadas y poco probables como son a menudo, hacen que sea útil definir la probabilidad de otras formas.
El planteamiento clásico define la probabilidad de que un evento ocurra
En ocasiones hacemos preguntas complejas como: ¿Cuál es la probabilidad que viva más de 85 años?, rápidamente podemos darnos cuenta de que no podemos ser capaces de emitir una respuesta por adelantado sin antes hacer algo de experimentación sobre cuáles son esas probabiliadades.

Al planteamiento de Frecuencias Relativas de presentación de un evento define la probabilidad como :
La Frecuencia Relativa observada de un evento durante un gran números de intentos
La fracción de veces que un evento se presenta a la larga, cuando las condiciones son estables.
Por ejemplo: Una compañía de seguros estima el costo de una poliza de un hombre de 40 años en base a la historia de que 60 de cada 100,000 hombres morirán en un periodo de un año.

Una 2da característica de las probabilidades establecidas es que a más intentos mayor precisión.

El inconveniente de este método es que la gente lo utiliza sin tener sin evaluar el número suficiente de resultados.
Probabilidad Frecuencia Relativa
La probabilidad asignada a un evento por parte de un individuo basada en su experiencia y en la evidencia que tenga disponible

Estas probabilidades se dan más cuando los eventos se dan pocas veces.

Como casi todas las decisiones sociales y administrativas de alto nivel se refiere a situaciones específicas y únicas, más que a una larga serie de situaciones idénticas.
Probabilidad Subjetiva
Reglas de Probabilidad
La mayoría de las personas que utilizan la probabilidad se preocupan por 2 condiciones:
El caso de un evento u otro se presente
La situación en que dos o más eventos se presenten
La nomenclatura usada:

P(A)= probabilidad de q suceso del evento A
* Ejemplo zapatería
Reglas de Probabilidad
Regla de la adición para eventos mutuamente excluyentes: La mayoría de las veces estamos interesados en la probabiladad de que una cosa u otra suceda:

P(A o B)= la probabiliada de que suceda A o B tambien expresado en :

P(A o B)= P(A) + P(B)



En una selección de 5 estudiantes, ¿cuál será la probabilidad de que José y Laura sean seleccionados?
Regla de la adición para eventos mutuamente excluyentes: La mayoría de las veces estamos interesados en la probabiladad de que una cosa u otra suceda:
P(A o B)= la probabilidad de que suceda A o B también expresado en :
P(A o B)= P(A) + P(B)

En una selección de 5 estudiantes, ¿cuál será la probabilidad de que José y Laura sean seleccionados?
Reglas de Probabilidad
Reglas de Probabilidad
Regla de adición para eventos que no son mutuamente excluyentes.
Estas jugando cartas y para ganar necesitas un as o una carta de corazones: Los 2 eventos se pueden dar por lo que la probabilidad es:
P(A o B) = P(A) + P(B) – P(AB)
Probabilidad bajo independencia estadística
Esta parte examina los eventos que la presentación de uno de ellos no tiene efecto sobre la probabilidad de presentación de cualquier otro evento.
Marginal
Conjunta
Condicional
La probabilidad marginal es la probabilidad simple de un evento. Es decir, en una moneda que no este cargada la probabilidad de obtener un valor u otro en cada experimento será el mismo
Probabilidad bajo independencia estadística
La Probabilidad Conjunta: La probabilidad de dos o más eventos independientes que se presentan juntos o en sucesión es el producto de sus probabiliadades se representa
P(AB)=P(A) x P(B)
Árboles de Decisión
Ejemplo Mercado
Probabilidad bajo independencia estadística
La Probabilidad Condicional es la probabilidad de que un segundo evento (B) se presente si un primer evento (A) ya ha sucedido.
Para eventos estadísticamente independientes, la probabilidad condicional de que suceda el evento B dado que el evento A se ha presentado es simplemente la probabilidad del evento B:
P(B|A)= P(B)
Probabilidad Condicional
Pedro recientemente lanzó una campaña publicitaria de un nuevo restaurante que pretende abrir y acaba de instalar 4 espectaculares en la carretera de entrada a la ciudad y por información obtenida de la empresa que renta los espectaculares. La probabilidad de que el 1er. anuncio sea visto es de 0.65, la probabilidad del 2do es 0.72, la probabilidad del 3ro es de 0.87 y la probabilidad del 4to es de 0.90. Cuál es la probabilidad de que:
Los cuatro anuncios sean vistos
El primero y el 4to anuncio sea visto
Unos de los anuncios no sea visto
Ninguno de los anuncios sea visto
El 3ro y el 4to no sean visto
Al menos uno de los 4 anuncios sea visto
Probabilidad bajo independencia estadística
La dependencia estadística existe cuando la probabiliada de que se presente algún suceso depende o se ve afecada por la presentación de algún otro evento.

Suponga que tenemos una caja que contiene 10 bolas distribuidas de la manera siguiente:
3 son de color y tienen puntos
1 es de color y tiene franjas
2 son grises y tienen puntos
4 son grises y tienen franjas
Probabilidad bajo independencia estadística
Suponga que una persona saca de la caja una bola de color. ¿Cuál es la probabildad de que ésta tenga puntos? P(P|C)
¿Cuál es la probabilidad de que la bola tenga puntos (P) dado que sea Gris (G)?
La probabilidad conjunta se representa
P(B|A)= P(BA)/P(A)
Donde P(BA)=P(B|A)xP(A)
Teorema de Bayes
Al inicio de temporada se tiene cierta probabilidad de que un equipo gane, pero a media temporada se lastima uno de sus jugadores claves, por lo que la probabilidad de que gane el campeonato cambia.
A estas probabilidades se le llaman Probabilidades Posteriores.
El origen de la obtención de Probabilidades Posteriores con información limitada se atribuye al reverendo Thomas Bayes y lo describe en la fórmula siguiente:
P(B|A)= P(BA) / P(A)
Supongamos que tenemos 2 dados cargados, donde el primero presenta una probabilidad de que salga as en 40% y el segundo dado del 70% ¿Cuál será la probabilidad de que saque el dado 1?
Distribución de Probabilidades
Variables Discretas
Variables Continuas
Podemos pensar en la distribución de probabilidad como una distribución de frecuencias teórica, es decir, es la forma en que se espera que varíen los resultados.
Debido a que estas distribuciones tratan sobre expectativas de que algo suceda, resultan ser modelos útiles para hacer inferencias y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre.
Distribución de Probabilidad
Para construir una distribución de probabilidad supongamos un evento de lanzar una moneda dos veces.
La probabilidad de que salga Cara y Cara es de (0.5 x 0.5)= 0.25, la probabilidad de que salga Cruz y Cruz es la misma. Sin embargo la probabilidad de que salga en una ocasión Cara y en otra ocasión Cruz sería = 0.25 + 0.25 = 0.50.
Construyendo la distribución de probabilidad queda:
Variables Aleatorias
Una variable es aleatoria si toma diferentes valores como resultado de un experimento aleatorio. Estos aleatorios pueden ser discretos o continuos.
Suponiendo que lanzas una moneda 10 veces y obtienes 7 caras y 3 cruces “extraño no”, luego le pides a un amigo que lance la moneda 20 veces y obtiene 15 caras y 5 cruces
Esperarías que de los 30 lanzamientos 15 fueran cara y 15 cruces. Con esto esperarías que la moneda estuviera alterada.
Bajo la información que obtuvimos entonces si lanzara 1000 veces ¿cuál sería el valor esperado de veces que cayera cara?
Valor Esperado
Para obtener el Valor Esperado de una Variable Aleatoria Discreta, multiplicamos cada valor de la variable pueda tomar por la probabilidad de presentación de ese valor y luego sumamos sus productos.
Supongamos que deseo invertir mi dinero en mecanismos de inversión. Preguntándole a los analistas me dicen que si lo invierto en determinada compañía dentro de la bolsa de valores, existe las siguientes probabilidades de rendimiento:



¿Cuál sería mi rendimiento esperado?
Una clínica de maternidad de asisitencia social tiene una demanda de atención muy estable entre 100 mujeres atendidas hasta 115 mujeres antendidas por día. La distribución de frecuencias de atención de la clínica se presentan en la tabla. Determine cual sería el número de pacientes esperado que tendría la clínica.
Si tuvieras que administrar los recursos del hospital y necesitaras un doctor y 2 enfermeras por cada 5 pacientes. ¿Cuántos doctores y enfermeras necesitarías?
Valor Esperado (ejemplo)
Valor Esperado en la toma de Decisiones
Mario es dueño de una Pizzería y tiene que tomar una decisión difícil. Su Pizza “Volcán” es su distintivo de la competencia con la restricción que dado lo complicado de la manufactura la tiene que preparar un día antes y la refrigera. Pero no sabe cuántas preparar. El costo de preparación de la Pizza es de $70.00 y Mario la vende en $120.00. Mario también ha calculado que cada pizza de este tipo que se ordena y que no puede surtir por la falta de existencia le cuesta $50.00. Ayude a Mario ha calcular la cantidad de Pizzas Volcán que debe de preparar que le minimice las pérdidas.
Distribución Binominal
La distribución binomial utiliza los procesos de Bernoulli, el cual tomamos el proceso siguiente:
Cada intento tiene solamente 2 resultados posibles, sí o no, éxito o fracaso
La probabilidad del resultado de cualquier intento permance fijo con respecto al tiempo.
Los intentos son estadísticamente independientes
Cada proceso de Bernoulli tiene su propia probabilidad característica.
Como ejemplo diríamos que 7 de cada 10 personas solicitan cierto tipo de trabajo aprueban el examen de aptitudes.
Podríamos considerar como un proceso de Bernoulli solo si ese 70% permanece constante. Ya que también cada examen tendría solo 2 resultados ÉXITO O FRACASO
Distribución Binominal
El lenguaje más formal, el símbolo P representa la probabilidad de tener éxito y el símbolo q (q=1-p) es la probabilidad de que se obtenga fracaso.
Para representar un cierto número de éxitos, utilizaremos el símbolo r, y para representar el número total de intentos o ensayos utilizamos el símbolo n.
Para resolver el problema utilizando la fórmula binomial:
Probabilidad de r éxitos en n ensayos
Distribución Binominal (ejemplo)
En una escuela primaria, los estudiantes suelen llegar tarde. Cinco alumnos están en el jardín de niños. La directora ha estudiado la situación durante cierto periodo y ha determinado que hay una probabilidad de 0.4 de que cualquier estudiante llegue tarde y las llegadas de los estudiantes son independientes entre sí. ¿Cómo podríamos trazar una distribución binomial de probabilidad que ejemplifique las probabilidades de que 0,1,2,3,4 o 5 lleguen tarde simultáneamente?
Utilizando la fórmula binomial tendríamos:
p=0.4
q=0.6
n=5
Distribución Binominal (Medidas de Tendencia)
El valor esperado o media de la distribución binomial m y la desviación estándar pueden representarse como:
Distribución Binominal
(ejemplo de práctica)
En un evento de venta al detalle se ha estimado que la probabilidad de que la gente se pruebe un zapato, y lo compre, es de 0.3. Suponga que 15 clientes se están probando el zapato
¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las personas que se prueba zapato lo compre?
¿Cuál es la probabilidad de que al menos 4 personas que se prueba zapato se lo compre?
¿Cuál es la probabilidad de ninguna de las personas se compre los zapatos?
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
La distribución de Poisson se utiliza para describir cierto tipo de procesos, entre los que se encuentran la distribución de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador, la demanda de los pacientes que requieren servicios de salud, etc.
El número de carros que pasan por una caseta sirve como ejemplo de las características de la distribución de Poisson.
El promedio (media) del número de vehículos que llegan por hora pico puede estimarse a partir de datos sobre tráfico que se tengan disponibles
Si dividimos la hora pico en periodos de un segundo cada uno, encontraremos las siguientes afirmaciones son verdaderas:
Distribución de Poisson
(Explicación)
La probabilidad de que exactamente un vehículo llegue a una caja por segundo es muy pequeña y es constante para cada intervalo de un segundo
La probabilidad de que 2 o más vehículos lleguen en un intervalo de un segundo es tan pequeña que le podemos asignar un valor cero
El número de vehículos que llegan en un intervalo dado de un segundo es independiente del tiempo en que dicho intervalo se presente en la hora pico
El número de llegadas de cualquier intervalo de un segundo no depende del número de llegadas en cualquier otro intervalo de un segundo.
Utilizaremos la letra mayúscula X para representar a la variable aleatoria (que solo puede tomar números enteros) y la letra minúscula x para señalar un valor específico de dicha variable que puede tomar.
La probabilidad de tener exactamente x para señalar un valor específico que dicha variable puede tomar. La probabilidad de tener exactamente x presentaciones en una distribución de Poisson se calcula la fórmula
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
(FÓRMULA)
Donde l es el número medio de presentaciones por intervalo de tiempo) elevada a la x presentaciones y P(x) es la probabilidad de tener exactamente x presentaciones.
Suponga que estamos investigando la seguridad de una peligrosa intersección de calles. Los registros policiacos indican una media de 5 accidentes mensuales en esta intersección. El número de accidentes está distribuido de acuerdo con una distribución de Poisson, y el departamento de seguridad de tránsito desea que calculemos la probabilidad de que en cualquier mes ocurran exactamente 0,1,2,3 o 4 accidentes. Podemos utilizar la tabla para calcular los valores.
Distribución de Poisson
(Fórmula)
Distribución de Poisson
La distribución de Poisson puede ser razonablemente aproximada a una binomial, pero sólo bajo ciertas condiciones.
Tales condiciones se presentan cuando n es grande y p es pequeña, esto es cuando el número de ensayos es grande y la probabilidad binomial de tener éxito es pequeña. Es decir cuando n > 20 y p igual o menor a 0.50. En ese caso el lugar de la media de la distribución de Poisson (l) podemos sustituir la media de la distribución binomial (np)
Distribución de Poisson (Ejemplo)
El juzgado de determinado municipio maneja varios tipos de litigios, pero casi todos ellos son de tipo conyugal. De hecho, 96% de los pleitos son de esa naturaleza
¿Cuál es la probabilidad de que 80 litigios atendidos por el centro, exactamente 77 no sean de tipo conyugal?
¿Cuál es la probabilidad de que todos sean de carácter conyugal?
Distribución Normal
Variables Aleatorias
Hasta lo anterior nos hemos preocupado por el análisis de las distribuciones de probabilidad discretas. De aquí en adelante la variable puede tomar cualquier valor que esté en un intervalo dado y en los cuales la distribución de probabilidad es continua.
La distribución de probabilidad continua que es muy importante es la distribución normal.
La distribución normal tiene algunas propiedades que la hace muy aplicable en un gran número de situaciones; y casi se ajusta a las distribuciones de frecuencias reales observadas en muchos fenómenos (alturas, IQ, dimensiones, rendimientos)
Distribución Normal
(Características)
La curva tiene un solo pico, por tanto es unimodal. Tiene la forma de una campana
La media de una población distribuida normalmente cae en el centro de su curva normal.
Debido a la simetría de la distribución normal de probabilidades la mediana y la moda también se encuentran en el centro, por tanto, una curva normal, la media, mediana y moda tienen el mismo valor.
Los dos extremos de la distribución normal de probabilidad se exitenden indefinidamente y nunca tocan el eje horizontal.
La expectativa de venta de la empresa se estima se incremente en un 10%, basado en necesitará adquirir otra máquina para soportar la producción; cómo la máquina tarda 4 meses en estar lista ¿Comprarías la máquina en estos momentos, pues de lo contrario perderías la producción?
http://www3.inegi.org.mx/sistemas/statisticsexplorer/0/index.html#story=0
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