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PROBLEMA CON

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by

margherita f

on 15 June 2017

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PROBLEMA CON
TEOREMA DELLA CORDA

Problema 183

In una semicirconferenza di diametro
AB = 2r considera la corda AC = r Rad 2 .
Il punto P , preso sull’arco AC ha proiezione H sul segmento AC e C ha proiezione K sulla tangente in P.
Detto x l’angolo CAP determina la funzione Y = CK + Rad 2 PH + PK e rappresenta il suo grafico tenendo conto dei limiti del problema.
prendo in considerazione
i triangoli ACB e APB

AB = 2r AC = r Rad2
La corda AC sottende angoli alla circonferenza di pi/4 quindi CBA = CAB = pi/4
Per costruzione, vedi testo, si ha PAC = x
La corda AP è cateto del triangolo rettangolo APB perciò gli angoli acuti sono complementari
PAB = pi/4 + x e
PBA = pi/2 -( pi/4 + x) = pi/4 - x
La corda AP sottende anche l’angolo ACP che sarà uguale a PBA perché angoli sottesi dalla stessa corda che insistono sullo stesso arco ACP = pi/4 - x

triangolo POC
Poiché la retta passante per P è tangente alla circonferenza risulterà perpendicolare al raggio PO.
Il triangolo POC è isoscele perché PO = CO = r
e l’angolo POC =2 x perché sotteso dalla corda PC al centro della circonferenza e quindi sarà il doppio dell’angolo PAC.

Pertanto posso ricavare la misura degli angoli alla base del triangolo considerando la somma degli angoli interni:
OPC = OCP = (pi– 2x )/2 = pi/2 - x
Poiché KPO = pi/2 facendo la differenza risulta KPC = KPO – OPC = x
Copia la figura sul quaderno
PH = AP sen x Teorema Triang Rett
AP = 2r sen (Pi/4 - x ) Teorema Corda
PH = = 2r sen (Pi/4 - x ) sen x
applico le formule di sottrazione del seno e ottengo
PH = r Rad2 ( sen x cos x – sen^2 x )
^
Considero il triangolo APH rettangolo in H
Considero il triangolo PKC retto in K
PK = PC sen x Teorema triang Rett
CK = PC cos x Teorema triang Rett
PC = 2r sen x Teorema corda
Dunque risulta che PK = 2r sen^2 x e
CK = 2r sen x cos x

Y = 2r sen x cos x +
+ Rad2 ( r Rad 2 sen x cos x –r Rad 2 sen^2 x)
+2rsen^ 2 x
Ora possiamo costruire la funzione
Y = CK + Rad2 PH + PK


sostituendo le espressioni goniometriche trovate:






Moltiplicando e semplificando si ottiene
Y = 2r 2 sen x cos x
applicando le formule di duplicazione del seno

Y = 2r sen 2x
Ora si dovrà rappresentare graficamente questa funzione nell’intervallo 0 < x < pi/4 perché l’angolo x per costruzione vale 0 quando il punto P coincide col punto C poi x cresce quando P si sposta verso il punto A e vale pi/4 quando il Punto P coincide con il punto A.
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