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Proyecto Ecuaciones Diferenciales

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by

Carlos Nicoletti

on 11 November 2013

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Transcript of Proyecto Ecuaciones Diferenciales

INTRODUCCIÓN
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
DESARROLLO
En esta ecuación sólo queda sustituir algunos valores propios de nuestro modelo (desde ahora tanque A), que para fines prácticos, representaremos a escala de nuestro modelo original (desde ahora tanque B).
CONCLUSIONES
Al elaborar cálculos y analizar nuestros resultados obtenidos podemos ver el gran campo de aplicaciones diversas pueden tener las ecuaciones diferenciales en la vida cotidiana y que pueden estar en donde sea sin siquiera saber que están ahí. Esta aplicación al submarino puede resultar muy útil al momento de usarlas militarmente hablando.

Los submarinos son difíciles de detectar, en comparación con cualquier vehículo terrestre, un barco o un avión. Se mueven a cientos, incluso miles, de metros de profundidad, en silencio, esperando en momento de actuar y sorprender al enemigo. Sólo tendrán problemas si el enemigo también tiene submarinos.
Un submarino se trata de un vehículo, tripulado o no, que se suele utilizar militarmente y que puede viajar debajo del agua a grandes profundidades sin sufrir ningún daño.

Debajo del agua se generan una presión tal que podría ser equivalente a cargar el peso de un auto compacto por cada centímetro cuadrado de piel.
Tiene un su estructura un tanque; cuando llega el momento de sumergirse, se abren unas compuertas que llenan este tanque de agua, entonces el peso del submarino aumenta y se hunde.

Para regresar a la superficie, se expulsa el agua que ha entrado anteriormente inyectando aire comprimido, así hace que su peso sea menor y vuelve a flotar.
La cuestión que planteamos es saber...
OBJETIVO
¿Cómo se sumerge y flota
un submarino?
Con los conocimientos adquiridos a lo largo del curso de ecuaciones diferenciales, se analizará el comportamiento que tendrá un submarino al momento de sumergirse o de emerger a la superficie dentro de un modelo a escala usando la ecuación de Bernoulli.
Al llegar a la parte de la realización del lastre de inmersión del submarino, ideamos un sistema que funciona a base de un tanque anteriormente descrito.
El medio acuático es ajeno y antinatural para el organismo humano, por lo tanto debemos tener en cuenta muchos factores que afectan y ponen en peligro nuestra vida.
Cuando la presión del agua entra en contacto con nuestros cuerpos, el aire de nuestros pulmones se comprime a medida que vamos descendiendo bajo el agua; el efecto contrario sucede al momento de ascender, el aire que hemos estado respirando se expande conforme vamos perdiendo profundidad
Como la velocidad de ascenso depende directamente de la velocidad de vaciado del tanque (o en términos más generales, de la velocidad con la que el peso disminuya), y esta a su vez depende del tiempo con el que se vacíe el tanque, nos es necesario obtener un modelo matemático que nos describa el vaciado de un recipiente por medio de un orificio.
Uno de esos factores es la presión que el agua ejerce sobre nuestro cuerpo, y por lo tanto sobre nuestros pulmones, lugar donde se almacena el aire que respiramos.
Debido a esto es importante cuidar la velocidad de ascenso, que es de diez metro por minuto para evitar la enfermedad de descompresión (DCS). Por motivos obvios debemos conservar esas medidas de seguridad.
VACIADO DE
RECIPIENTES
Se supone que se tiene un recipiente del cual se quiere saber cuánto tiempo tarda en desocuparse y qué nivel de agua se tiene en el recipiente. Entonces llamamos a la altura (y) que es una función de x que sería el tiempo, entonces decimos que (y) está en función del tiempo.

Si hay un orificio por donde sale el líquido para saber cuándo se ha desocupado el tanque por un orificio con área (a), entonces queremos saber el t (tiempo) para que y=0:

Haremos el análisis del modelo: entonces tenemos que la variación del volumen es igual a la tasa de entrada menos la tasa de salida, con la observación de que no entra nada y tenemos una condición inicial de que:
Donde k es una constante propia del orificio, a es el parea del orificio y v la velocidad con la que sale el líquido:
Ésta fórmula se obtiene haciendo uso de la conservación de la energía y despejando a v de las siguientes expresiones:
Ya tenemos la ED casi en términos de y, pero aún tenemos y no , para que cambie haremos la siguiente relación con el uso de otra diferencial, de una parte donde hay otro espesor, entonces:
MARCO TEÓRICO
Tenemos una altura inicial de agua y tenemos que encontrar la función y=f(t). La tasa de entrada en éste caso es 0 y la tasa de salida (Rs) sería igual a:
Entonces tenemos ya una ecuación diferencial de volumen con velocidad, y necesitamos una ED que relacione a y con el tiempo.

Para cambiarlo tenemos que cambiar primero la velocidad, encontrándola con la siguiente ecuación:
Tomando en cuenta que: y=h ; sustituimos en la ED:
Ésta es la ecuación diferencial para resolver el problema de vaciar recipientes, en donde todo el problema depende de y y de t.
Sustituimos dicha expresión en la ED y resolver para y:
Entonces nos queda una ED más simple, en donde integrando a ambos lados nos queda:
Ésta es la solución para encontrar la altura en ése tanque, pero el problema nos pide para que tiempo esto se hace 0, entonces:
RESULTADOS
Como el tiempo está en segundos, debemos dividir entre 60 para obtener el tiempo en minutos.

El resultado teórico queda:

El tanque A tiene la forma de un cilindro circular recto colocado de forma vertical con un orificio circular en la parte inferior. Las medidas que le daremos al tanque B para que sea ilustrativo son: 25 [cm] de altura, 15 [cm] de radio y 1 [cm] de radio del orificio.
Entonces:
Entonces asumimos que k es constante y como el radio del orificio es 1, no afecta a nuestra ecuación, tenemos que encontrar primero el área de la ED en función de y.
Donde:
Si notamos lo que hicimos es lo mismo que multiplicar por su inverso, después tenemos que:
Hacemos la siguiente sustitución:
Donde
Entonces sustituimos:
Sólo nos queda sustituir la altura en la ecuación que es 25 [cm].
51.004 [minutos]
.
Además con un submarino se puede derribar cualquier objeto dentro o fuera del agua. Sin embargo para destruirlo, sólo se puede hacer desde dentro del agua o cuando sale a la superficie, y es aquí donde actúa la aplicación de ecuaciones diferenciales para lograr sacar mayor ventaja de esto.

Con el tiempo que obtenemos de la ecuación diferencial podremos saber la velocidad de vaciado del tanque y por lo tanto podremos controlar la velocidad de ascenso del submarino vía remota.
“TANQUE DE INMERSIÓN DE
UN SUBMARINO”
ESPINOSA SALAZAR LUIS
LÓPEZ GRANCIANO BRENDA
NICOLETTI PEÑA CARLOS ANTONIO
SIMÓN BURGOS EDUARDO
TORRES MARTÍNEZ ANTONIO
BIBLIOGRAFÍA
• ZILL, Dennis G Ecuaciones Diferenciales
• http://www.ojocientifico.com/2011/10/10/como-funciona-un-submarino
• • http://www.med.nyu.edu/content?ChunkIID=103732
11-NOV-2013
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