Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

Tranformacion de variables aleatorias

Variables aleatorias
by

Cristhian Apolinario

on 17 August 2013

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of Tranformacion de variables aleatorias

Transformación de números aleatorios en variables aleatorias
Introducción
Existen varias técnicas para generar valores de variables aleatorias, y el algoritmo seleccionado debe ser aquel que proporcione los valores más cercanos de la distribución de probabilidad que se desea simular
Métodos o Técnicas a aplicar
Existen varias técnicas para generar valores de variables aleatorias, y el algoritmo seleccionado debe ser aquel proporcione los valores más cercano de la distribución de probabilidad que se desee simular.

Existen cuatro métodos para generar los valores de variables aleatorias a partir de distribuciones de probabilidad:
Método De La Transformación Inversa
Este método consiste en los siguientes pasos:

Dada la función de densidad de probabilidad f(x), se elabora la función de distribución acumulada como:



Se genera un número aleatorio r es elemento [0,1].
Se establece F(x) = r y se determina el valor de x. La variable x es entonces una variable aleatoria continúa de la distribución dada por f(x).

Método de rechazo y aceptación
Este método consiste primeramente en generar un valor de
la variable aleatoria y en seguida probar que dicho valor simulado proviene de la distribución de probabilidad que se esta analizando.

Para comprender la lógica de este método, suponga que f(x) es una distribución de probabilidad acotada y con rango finito, es decir, a<=x<= b.
De acuerdo a esta función de probabilidad, la aplicación del método de rechazo implica el desarrollo del siguiente algoritmo:
Convolución
El método de convolución permite generar variables aleatorias en función a una combinación lineal ponderada de otras variables aleatorias el método entonces requiere que la variable aleatoria a ser generada Yi pueda expresare como una suma lineal ponderada de otras variables aleatorias Xi
Como Saber Cuando Usar estos Métodos
Procedimiento General
1.-Se generan números aleatorios (R ,R ,...,R )

2.-Con uno o mas dependiendo del método a utilizar de los números aleatorios, se generan las variables aleatorias componentes (x ,x ,...,x ) usando algunos de los métodos anteriores

3.-Se obtiene un valor de la variable por la suma lineal de las variables aleatorias componentes
El algoritmo concreto para generar variables aleatorias dependerá de la distribución a generar, pero de forma general tendrá las siguientes etapas:
Ejemplos

A que se llama variable aleatoria
Las variables aleatorias son aquellas que tienen un comportamiento probabilístico de la realidad.
Los experimentos aleatorios presentan un tratamiento matemático, en el cual se deben cuantificar los resultados de modo que se asigne un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento.
La elección del método adecuado se puede basar en una serie de factores como:


Exactitud. Se prefiere un método exacto frente a métodos aproximados.

Velocidad. Uno de los datos que se toma en consideración es el tiempo de generación de la variable.

Espacio. Necesidades de memoria del método utilizado.

Simplicidad.
Tipos de variables
Las funciones de densidad se usan para variables continuas, y distribuciones de probabilidad para variables de tipo discreto
Método De Transformada Inversa
Utiliza la distribución acumulada F(x) de la distribución que se va a simular. Puesto que F(x) está definida en el intervalo (0;1) , se puede generar un numero aleatorios uniforme R y tratar de determinar el valor de la variable aleatoria para la cual su distribución acumulada es igual a R.
Método De Aceptación-Rechazo
Este método es más probabilístico que el anterior. Los métodos de inversión, composición y convolución son métodos de generación directos, en el sentido en que tratan directamente con la función de distribución.
Método de convolución
La distribución de probabilidad de la suma de dos o más variables aleatorias independientes es llamada la convolución de las distribuciones de las variables originales.
Método de composición
El método de composición es una ampliación del método de la inversa.
El método consiste en generar dos números aleatorios, uno sirve para seleccionar un trozo y el otro se utiliza para generar un valor de una variable que sigue la distribución de dicho trozo. El valor de la variable obtenida es el valor buscado.

Genérense los valores de x de variables aleatorias con una función de densidad
Ejemplo 1
Función de densidad
Función de distribución acumulativa
Ejemplo 2
Sea la función de densidad de probabilidad uniforme en (a,b) definida por
Aplicamos la función inversa
Resolviendo
Ejemplo 3
Algoritmo:
1.-
Generar 2 números aleatorios r1 y r2
2.-
Determinar el valor de la variable aleatoria x de acuerdo a la siguiente relación lineal de R1: x= a + (b - a) R1
3.-
Evaluar la función de probabilidad en x= a + (b - a) R1.
4.-
Determinar si la siguiente desigualdad se cumple:
R2 ≤ f(a + (b - a) R1)/M
Ejemplo 1
Se desea generar números al azar que sigan la siguiente distribución de probabilidad:
Para esta función, a = 0, b = 1. Por consiguiente, aplicando los pasos descritos previamente se tiene:
Ejemplo 2
Variables Discretas
Números enteros
Números de Hijos
Variables Continuas
Números enteros y fraccionarios
Peso y estatura
En particular supongamos que a=10 y b=20 el generador de variaciones aleatorios correspondiente es:
x=a+(b-a)r
x=10+(20-10)r

Si los números aleatorios son
r=0.716 x=17,16
0.586 15.86
0.313 13.13
Se utiliza a x= a + (b - a) R1 si la respuesta es afirmativa como un valor simulado de la variable aleatoria. De lo contrario, es necesario pasar nuevamente al paso 1 tantas veces como sea necesario.
Hallar el generador de variaciones aleatorias cuya función de densidad de probabilidad es:
Los valores generados de x correspondientes a los números aleatorios
r=0.919
0.074
0.262
x=0.943
-0.948
-0.780
R1=0; R2=1; M=2
R1=0.5; R2=0.2;M=2
Y=b *x + b *x + b *x +...+b *x
El método de convolución se puede usar siempre y cuando la variable aleatoria x se pueda expresar como una combinación lineal de K variables aleatorias:
La convolución se puede ver también como:

•Una operación matemática en la cual tomamos dos señales y producimos una tercera

•De la misma manera que en multiplicación tomamos dos números y producimos un tercero
En este método se necesita generar k números aleatorios (u1,u2,...,uk) para generar (x1,x2,...xk) variables aleatorias usando alguno de los métodos anteriores y así poder obtener un valor de la variable que se desea obtener por convolución.
Se desea generar números al azar que sigan la siguiente distribución de probabilidad:
Para esta función, a = 0, b = 1, c =2 . Por consiguiente, aplicando los pasos descritos previamente se tiene:
Generar uno o mas números Aleatorios
Transformación dependiente de la distribución
Obtener X de la distribución deseada
Variables que se generan en este metodo
Normal, Binomial,Poisson,Gamma,Erlang
• Si la función de distribución se puede invertir utiliza inversión.

• Si la función de distribución es la suma de otras funciones de distribución utiliza composición.

• Si la variable aleatoria es composición de otras variables aleatorias utiliza convolución

• Si existe una función que maximice a función densidad utiliza aceptación rechazo.

• Si existe algún tipo de relación utiliza métodos específicos.
Procedimiento General
1. Dividir la distribución de probabilidad original en sub-áreas.
2. Definir la distribución de probabilidad para cada sub-área.
3. Expresar la distribución de probabilidad original en la forma siguiente: F(x)=A1F1(x) + A2F2(x) +… AnFn(x)
4. Obtener la distribución acumulada de las áreas:
5. Generar dos números uniformes R1, R2
6. Seleccionar la distribución de probabilidad F(x) con la cual se va simular el valor de x. La selección de esta distribución se obtiene al aplicar el método de la transformada inversa, en la cual el eje Y está representado por la distribución acumulada de las areas, y el eje X por las distribuciones F(x). Para esta selección se utiliza el numero uniforme R1.
7. Utilizar el numero uniforme R2 para simular por el método de la transformada inversa o algún otro procedimiento especial, números al azar que sigan la distribución de probabilidad F(x) seleccionada en el paso anterior.
Se desea generar variables aleatorias de la siguiente distribución de probabilidad:
Integrantes
Cristhian Apolinario
Jairo Mendieta
Cristhian Alcivar
Joel Litardo
Jhonatan Campos

Distribución de Erlang
La variable aleatoria k-Erlang con medida puede producirse a partir dela generación de k variables exponenciales con media 1/k
El tiempo de proceso de cierta pieza sigue la distribución 3-erlang con media de 8 minutos/ pieza. Una lista de números pseudoaleatorios ri ~ U(0,1) y la ecuación de generación de números Erlang permite obtener la siguiente tabla que indica el comportamiento de una variable aleatoria.


Ejemplo
Distribución de Poisson.
Ejemplo
La distribución de probabilidad de Poisson, como se a mostrado, tiene que ver con ciertos procesos que pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta. Generalmente, la letra X representa a esta variable discreta y puede tomar valores (0, 1, 2, 3, 4 , 5. etc.).
Utilizando la mayúsculas X para representar a la variable aleatoria y la minúscula x para señalar un valor especifico que dicha variable puede tomar.
La probabilidad de tener exactamente x ocurrencias en una distribución de Poisson se calcula con la siguiente fórmula

Supongamos que estamos investigando la seguridad de una peligrosa intersección. Los registros policiacos indican una media de cinco accidentes mensuales en esta intersección. El número de accidentes está distribuido de acuerdo con una distribución de Poisson, y el departamento de seguridad de transito desea que calculemos la probabilidad de que cualquier mes ocurra exactamente 0, 1, 2, 3, 4 accidentes. Utilizaremos la tabla de 4a del apéndice para evitar el tener que calcular e elevada a potencias negativas. Aplicando la fórmula.
Ejemplo
Full transcript