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미적분의 수학사

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by

Dabin Kim

on 18 June 2015

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Transcript of 미적분의 수학사

미적분의 수학사
실생활 속의 미적분
Ⅰ. 수학과 수학사의 정의

Ⅱ. 미적분의 역사와 정의

Ⅲ. 미적분의 응용

Ⅳ. 실생활에 활용되는 미적분 (근·현대 미분과 적분)

결론-프로젝트를 마치며

목차
'수학'이란 ?
Ⅰ. 수학과 수학사의 정의
Ⅱ. 미적분의 역사와 정의
< 뉴턴 >
․미적분학 발견
< 라이프니츠 >
․미적분법의 창시자
․미분기호, 적분기호 창안
․두 함수의 곱의 n계 도함수 구하는 공식 발견
vs
평균변화율: 기하학적으로 두 점 사이의 기울기이다.
y=f(x) 위의 두 점 P(a,f(a)),Q(b,f(b)) 있다면 두 점을 지나는
직선 P 의 기울기 a-b/f(a)-f(b)를 평균변화율이라 한다.


순간변화율: 그 순간의 변화율.
기하학적으로 함수 f(x) 위의 점 x = a 에서의 접선의 기울기.
순간변화율은 평균변화율의 극한값이다.


2. 미분
3. 적분
부정적분: 함수 F(x)의 도함수가 f(x)일 때, 즉 F`(x)= f(x)일 때 , F(x)를 f(x)의 부정적분 또는 원시함수라 하며, ∫f(x)dx와 같이 나타낸다.


정적분: 함수 y=f(x) 가 닫힌 구간[a,b]에서 연속이고 구간 [a,b]를 n등분하고 양 끝 점을 포함하여 각 분점의 x좌표를 차례로 a= x0, x1 , ,,,xn-1, xn=b, △x= n/b-a라 할 때 극한값 lim n이 무한대로 갈 때 시그마 k=1에서 n까지 f(xk)의 a에서 b까지의 정적분이라 하며 이것을 기호로 ∫a에서 b까지 f(x)dx와 같이 나타낸다.
Ⅳ. 실생활에 활용되는 미적분 (근·현대 미분과 적분)
결론-프로젝트를 마치며
Ⅲ. 미적분의 응용
곡선이 x축 위에 있을 때 즉, 함숫값이 양수인 구간에서의 정적분 값은 그 부분의 넓이와 같다. 곡선이 x축 아래에 있는 구간에 대한 넓이는 정적분의 결과에 절대값을 취한 것과 같다.
1. 곡선과 x축 사이의 넓이
2. 곡선과 y축 사이의 넓이
곡선과 y축 사이의 넓이는 그 구간이 y변화에 의한 [a,b,]로 설정된 영역으로서 함수를 y에 대한 식 x=g(y) 형식으로 해야 합니다. 따라서 주어진 구간 [a,b]의 넓이를 구합니다.
4. 속도
1.( x=f(t) ) : 점 P가 수직선 위를 움직일 때, 시각 t에서 점 P의 위치를 그 점의 좌표 x로 나타내면 x는 t의 함수이다.
시각 t에서 t+△x까지의 점P의 위치의 변화량△x는
△x= f(t+△x) - f(t)
이 때 시각 t에서 t+△x까지의 점 P의 평균 속도는

3. 부피구하기
부피라는 것은 매우 얇게 자른 판들이 쌓여서 이루어지는 것으로 볼 수 있다. 입체를 n등분한 다음 각각의 넓이를 구하여 모두 더한 부피를, n을 무한대로 취한 극한을 적용하여 구하는 개념이다.
1. 미적분의 역사
'수학사'란?
수학은 수, 크기, 꼴에 대한 사고로부터 유래한 추상적인 대상들을 다루는 학문으로, 숫자와 기호를 사용하여 이러한 대상들과 대상들의 관계를 공리적 방법으로 탐구하는 학문이라고 할 수 있다.
수학의 흐름과 수학의 새로운 발견에 대한 기원적 탐구.

축소된 의미에서는 과거의 표준적인 수학 방법과 용어에 대한 탐구.
1) 뉴턴
2) 라이프니츠
파스칼(1623~1662, 프랑스) - 미분, 적분의 선구적 업적을 남김

배로(1630~1677, 영국) - 접선을 통한 미분연구
미분법과 적분법이 역연산임을 증명

뉴턴(1642~1727, 영국) - 미적분학 발견
만유인력 법칙, 천체 역학의 원리를 완성

라이프니츠(1646~1716, 독일) - 미적분법의 창시자
미분기호, 적분기호 창안
두 함수의 곱의 n계 도함수 구하는 공식 발견

롤(1652~1719, 프랑스) - 롤의 정리 발견
초등 미적분학 연구

로피탈(1661~1704, 프랑스) - 로피탈의 정리 발견

베르누이(1667~1748, 스위스) - 미분방정식 연구

증분(x에 따른 y변화)으로부터

함수를 구하는 문제를 세우고

함수를 표시하는데 있어

기호 인테그럴( )이라는

적분법을 만들었다.
미적분에서 기하학적인 방법으로 접근
케플러 제1 법칙과 케플러 제3 법칙을 증명하는 과정에서 만유인력 법칙을 발견하게 되었고 이를 증명하는 과정에서 미적분을 사용했다.
미적분에서 역학적 방법으로 접근
두 물체의 질량 중심점 사이의 거리를 기준으로 계산한 결과가 같다는 것을 증명하기 위해
각 물체를 점으로 쪼개어서 각 점들의 만유인력을 구하고 각 점들의 만유인력의 평균을 구하기 위해 적분과정을 거치게 되었다.
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