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Aproximaciones y errores

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by

Mabel Leiva

on 19 August 2014

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Transcript of Aproximaciones y errores

Aproximaciones y errores
Errores
Los errores.
Los tipos de errores: error de redondeo y error de truncamiento.
Cifras significativas.
Exactitud y precisión.
Error absoluto, error relativo, error relativo porcentual.
Representación de los números enteros en la computadora.
Representación de números fraccionarios en la computadora.
Ejercicios.
Los errores
Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas.

Tipos de errores

Error de redondeo:
se debe a la limitación de la computadora para almacenar información.
Error por truncamiento:
se debe al corte aplicado a una cifra en su representación.
Ejemplo de tipos de errores
Error absoluto, error relativo y error relativo porcentual
Representación de números en la computadora
Métodos Numéricos
Aproximaciones y errores
Sistemas de ecuaciones lineales simultaneas
Raíces
de
ecuaciones
Interpolación
Integración y diferenciación numérica
Cifras significativas, exactitud y precisión
Cifras significativas
El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico.

Reglas
1. En números que no contienen ceros, todas las cifras son significativas.

2. Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos.

3. Los ceros a la izquierda del primer dígito que no es cero, no son significativos.

4. En un número con dígitos decimales, los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos.
Exactitud y precisión
La
exactitud
se refiere a qué tan cercano está el valor medido del valor verdadero.

La
precisión
se refiere a qué tan cercanos se encuentran, unos de otros, diversos valores calculados o medidos.
Error absoluto
Error relativo
Error relativo porcentual
Ejemplo
Supongamos que debemos medir la longitud de un puente y la de un tornillo, y se obtiene 9999 y 9 cm respectivamente. Si los valores verdaderos son 10000 y 10 cm, calcule:
1. el error absoluto,
2. el error relativo y,
3. el error relativo porcentual en cada caso.
Representación de números enteros en la computadora
Ejemplo, el valor entero -173 puede guardarse en la memoria de una computadora de 16 bits de la siguiente manera
Ejemplo
Determine el rango de enteros de base 10 que pueda representarse en una computadora hipotética de 8 bits.
Representación de números fraccionarios en la computadora
Las cantidades fraccionarias generalmente se representan en la computadora usando aritmética de punto flotante.

Con este método, el número se expresa como una parte fraccionaria, llamada
mantisa
y una parte entera, llamada
exponente
.
La mantisa
Normalización de la mantisa
Rango de valores de una mantisa normalizada
La normalización es indispensable, sin embargo tiene una consecuencia, la cual es la limitación del valor absoluto de la mantisa. Es decir,
Donde
b
es la base. Por ejemplo, para un sistema decimal la b=10, para un sistema binario b=2.
Ejemplo
Determine un conjunto hipotético de números con punto flotante para una máquina que guarda información usando palabra de 7 bits. Emplee el primer bit para el signo del número, los siguientes tres para el signo y la magnitud del exponente y los últimos tres para la magnitud de la mantisa.
Manipulación aritmética de los números en la computadora
Adición y sustracción
Para realizar cualquiera de estas operaciones aritméticas, el exponente de los factores deben tener el mismo valor de exponente.
Multiplicación
Los exponentes se suman y la mantisa se multiplica.
Ejemplo: Multiplique los siguientes factores
División
Los exponentes se restan y la mantisa se divide.
Ejemplo: divide la siguiente expresión
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