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애로의 불가능성 정리와 여러가지 투표방법

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by

정 가영

on 11 April 2014

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Transcript of 애로의 불가능성 정리와 여러가지 투표방법

처음에 시작한 취지는 최선의 투표방법을 찾으려는 것이였는데, 여러가지 투표방법에 대한 탐구를 진행하다가 우연히 애로의 불가능성 정리를 찾았다. 최선의 투표방법은 존재하지 않는다는 걸 알고 정말 허무했다. 그리고 생각해 보니 투표당선자의 직책, 그리고 유권자들의 성격에 따라 최선의 투표방법은 얼마든지 바뀔 수 있다는 생각이 들었다. 결국 결론은 최선의 투표방법은 존재하지 않으나 그때의 상황에 맞는 가장 나은 투표방법은 존재할 수 있다는 것이다. 결론 여러가지 투표방법 다수결 과반수 만장일치제 보다(Borda) 계산방식 점수 투표 헤어(Hare)방식 이진비교법 무작위추출 1위를 가장 많이 득표하는 쪽이 이기는 방식이다. 하지만 같은 다수결이라도 1인2표처럼 변화를 줄 수 있다. 언뜻 보면 문제가 없어 보이지만 예를 들어 후보 A가 20%의 득표율로 당선되었다고 할 때, 나머지 80%는 모두 A를 완전히 싫어하고 있을 수도 있다. 그러면 결과에 만족하는 사람들에 비해 결과에 불만을 가지는 사람들의 수가 터무니없이 많아진다. 1위를 차지한 득표수가 전체 투표수의 절반을 넘는 후보가 당선자이다. 전체 유권자들에 대한 과반수와 투표에 참여한 유권자들에 대한 과반수가 있을 수 있다. 만족하는 사람들의 수가 항상 불만을 가지는 사람들의 수보다 많겠지만 과반수 방식으로는 당선자가 나오지 않을 수도 있다. 모든 사람이 동의하는 후보만 뽑는 방식이다. 비슷하게 전체 유권자의 2/3이 선택하는 후보만 뽑는 방식 등도 있다. 분위기에 휩쓸린 사람도 있겠지만, 기본적으로 만장일치로 뽑힌 사람에 대해서는 전반적인 지지가 존재하는 것이다. 하지만 모든 사람들의 의견이 한 번에 일치한다는 것은 거의 불가능에 가깝다. 각 투표지에서 1위, 2위, 3위ㆍㆍㆍn위를 차지한 후보들 에게 각각 n점, n-1점,ㆍㆍㆍ, 1점을 부여하는 방법이다. 각 투표지의 1위뿐만 아니라 다른 순위들 까지도 보니까 더 정확하다고 생각할 수도 있지만, 어떠한 후보에 대한 선호도는 원래 수치로 정확히 표현할 수 있는 것이 아니라는 문제점이 있다. 그리고, 예를 들어, 1위인 후보는 정말로 좋아하지만, 2, 3위는 별로 신경 쓰지 않는 유권자와, 딱히 맘에 드는 후보가 없고 1, 2, 3위를 모두 비슷하게 좋아하는 유권자, 이 둘의 표가 똑같이 수치화 된다는 문제도 있다. 즉, 호감도의 차이에 상관없이 투표한 순위에만 따라 수치가 매겨진다. 유권자가 후보자에게 점수를 매기는 투표 방식이다. 선호 투표와 비슷하지만 한 번의 집계로 결판이 난다. 후보자에 대한 유권자의 선호도를 보다 정확하게 나타낼 수 있다. 하지만 점수를 짜게 주는 사람도 있을 것이고, 반대로 점수를 많이씩 주는 사람도 있을 것이다. 1위를 가장 적게 차지한 후보를 차례로 제외하여 마지막에 남는 후보가 당선자이다. 두 후보사이의 선호도를 비교하여 우세한 후보에게는 1점, 열세한 후보에게는 0점, 비겼을 때는 0.5점을 준다. 좀 색다른 선출방법으로 투표도, 그 어떤 다른 절차도 없이 무작위로 뽑는 방식이다. 예를 들어 A라는 타입의 사람들이 전체 인구의 10%일 때, 뽑힌 사람들 중에서도 A라는 타입은 10% 안팎이라는 것이다. 물론 이 확률은 뽑히는 사람들의 전체 수가 늘어날수록 정확해진다. 이 방법을 지지하는 사람들은 아리스토텔레스의 선거는 귀족제라는 주장을 인용하고, 현재의 의회는 국민의 축소판이 아니라는 주장을 펼친다. 실제로 여자 정치인들을 찾아보기 힘든 것 등을 보면 수학적으로 볼 때 마냥 어이없는 주장만은 아니다. 선거제도를 만들 때 고려사항 MC(Majority criterion) 1위를 차지한 후보의 표수가 전체 투표수의 절반을 넘는 후보는 그 선거의 당선자이다. CC(Condorcet criterion) 후보끼리 비교하여 어떤 다른 후보보다도 더 선호되는 후보가 있으면 그는 그 선거의 당선자이다. MOC(Monotonicity criterion) 한 방법으로 결정된 당선자 갑은 몇 명의 투표자가 이전보다 갑에게만 더 유리하게 투표하고, 나머지 투표자는 전과 같게 투표한 재선거에서도 당선자이다. IC(Independence-of-Alternatives criterion) 어떤 방법으로도 결정된 당선자는 한 낙선자가 사퇴하여 그 낙선자를 제외하고 다시 계산한 후에도 당선자이다. 애로의 불가능성 정리 사회선택 이론에서 애로의 불가능성 정리는 투표자들에게 세개 이상의 서로 다른 대안이 제시될 때, 어떤 투표 제도도 공동체의 일관된 선호순위를 찾을 수 없다는 것을 의미한다. 이론 경제학자인 케네스 애로의 이름을 따서 정리의 이름이 붙여졌다. 정의영역 배제 불가능
(unrestricted domain,
또는 보편성 universality) 그 어떤 개인의 선호순위 집합에 대해서도, 사회 후생함수는 단 하나의 완전한 사회 선호순위를 도출해야 한다. 따라서 사회 후생함수는 모든 대안에 대한 완전한 사회 선호순위를 가지고, 같은 사안에 대해 여러 번의 투표를 시행하더라도 동일한 선호순위를 가져야만 한다. 비 독재
(non-dictatorship) 사회 후생함수는 많은 유권자의 의사를 대변해야만 한다. 독재자 한명의 의사가 사회 후생함수에 전부 반영되어서는 안된다. 무관한 선택대상으로부터의 독립
(Independence of Irrelevant
Alternatives, 이하 IIA) x와 y에 대한 사회 선호는, x와 y에 대한 개인 선호에만 영향을 받아야 한다. 사회적 가치와 개인적
가치의 단조 연관
(Positive association of
social and individual
values) 만약 어떤 개인이 선호순위가 대안 x를 더 좋아하는 것으로 바뀐다면, 사회적 선호도 대안 x에 대해 더 선호하는 것으로 바뀌거나 변하지 않아야 한다. x에 대한 사회적 선호순위가 낮아져서는 절대 않된다. 어떤 개인도 대안에 대한 선호를 높여서 사회적 선호를 낮출수 있어서는 않된다. 지금까지 천안교육지원청 영재교육원 정가영의 발표를 들어주셔서 감사합니다. 애로의 불가능성 정리와
여러 가지 투표 방법에 대한 탐구 천안교육지원청 영재교육원 정가영 ex)투표용지에 1부터 4까지 후보에게 순위를 매기면 되는 투표가 있다고 하자. 그리고 선호 순서가 A-B-C-D인 유권자들이 14명, C-B-D-A인 사람들이 10명, D-C-B-A인 사람들이 8명, B-D-C-A인 사람들이 4명, 그리고 C-D-B-A인 사람이 1명이라고 하자. 이제 투표방법에 따라 당선되는 후보가 어떻게 달라지는지 보이겠다. 1.다수결
각각의 1위 득표수를 살펴보면, A가 14표, C가 10표+1표, D가 8표, B가 4표이다. 따라서 1위를 가장 많이 득표한 사람은 A가 된다. 이것은 여러 의견 중에서 하나를 결정할 때 가장 간단하고 손쉽게 사용할 수 있는 다수결의원칙이다. 하지만 단점도 있다. 바로 소수의 의견이 무시된다는 것. 예로 37명 중에서 A를 뽑기 원했던 사람은 14명 밖에 없었다. 23명의 의견은 완전히 무시된 것 이라고 생각할 수도 있다. 다수결 방식은 MC와 MOC만 만족하고, 과반수 방식은 모두 다 만족한다. 보르다 계산 방식은 MOC만 만족하고, 헤어 방식은 MC만 만족한다. 그리고 이진비교법은 MC, CC, MOC를 만족한다. 과반수 방식만이 모든 조건을 만족하지만, 사실상 후보가 많을 경우에 대부분 이 방법으로 하면 당선자가 없다.
3. 보다의 선택(Borda count method)
1위에게는 4점을, 2위에게는 3점을, 3위에게는 2점을, 4위에게는 1점을 주는 방식으로 점수를 매긴다. 이렇게 점수를 매겨본다면 A는 79점, B는 106점, C는 104점, D는 81점이 나온다. 따라서 B가 뽑힌다. 이렇게 보다의 선택은 1위뿐만 아니라 다른 순위에 대한 의견을 반영하여 선택하기 때문에 주어진 후보들에 대한 선호도를 조사할 때 유용하다. 하지만 단점은 결정 방법이 다소 복잡하며 과반수의 1위를 받은 후보가 선택되지 않을 수도 있다는 점이다. 2. 제거를 통한 다수결(Plurality-with-Ellimination-method)
각각 1위 득표수를 살펴보면, A가 14표, C가 11표, D가 8표, B가 4표이다.
여기에서 B는 표를 가장 적게 받았다. 따라서 B를 지우고 1위의 득표수를 관찰하면 A가 14표, C가 11표, D가 12표를 얻었기 때문에 C를 지우게 된다. 이렇게 하다보면 결국에는 D가 반장이 된다.
4. 이진비교법(method of comparisons)
이진비교법은 두 사람씩 짝을 이루게 해 선호도를 비교하는 방법을 이용하는 것이다. 모든 경우의 수는 총 6가지가 된다. 여섯 가지 경우를 모두 비교하여 표가 더 많은 후보에게는 1점, 더 적은 후보에게는 0점, 비겼을 때는 0.5점을 주는 방식이다. 예로, B와 A를 비교해 보자. 먼저 C와 D를 지우고, A가 B보다 위에 있는 것을 찾아서 표를 합산하고, B가 A보다 앞서있는 표를 찾아서 합산한다. 그러면 A가 B보다 앞선 표의 수는 14표, B가 A보다 앞선 표의 수는 23표가 된다. 따라서 A와 B의 대결에서는 B가 1점을 얻게 된다. 이렇게 6번을 해 보면 된다.

이렇게 하면 C가 당선된다.
이렇게 선거법이 달라졌더니 4명의 후보가 모두 뽑혔다. 이렇게 선거의 방법이 다를 수 있는데 다수결을 쓰는 이유는, 가장 간단하고 이치에 맞기 때문이다. 하지만 꼭 다수결이 가장 공평하고 합리적인 방법인 것은 아니다. 예
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