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ERRORES AL RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES ¿Una posible rem

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Sabina Mesa

on 9 December 2015

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Transcript of ERRORES AL RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES ¿Una posible rem

El presente trabajo se aproxima a los errores en las clases de matemática centrado en el tema: sistemas de ecuaciones. Los errores son muchas veces considerados como despistes u olvidos.
ERRORES AL RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES ¿Una posible remediación?
Obstáculos, dificultades y errores.
Los errores tienen su origen en los obstáculos que ha tenido el estudiante en su aprendizaje, los cuales son las manifestaciones de las dificultades a la hora de aprender matemática.
Para Bachelard y Brousseau es: “aquel conocimiento que ha sido en general satisfactorio durante un tiempo para la resolución de ciertos problemas, y que por esta razón se fija en la mente de los estudiantes, pero que posteriormente este conocimiento resulta inadecuado y difícil de adaptarse cuando el alumno se enfrenta con nuevos problemas”. (Citados por Soccas, 1997).
Los mismos se pueden diferenciar en dos tipos:
obstáculos basados en la secuencia de un tema;
obstáculos basados sobre casos simples.
Dificultades
Soccas (1997) identifica los siguientes tipos, las mismas asociadas a:
la complejidad de los objetos de las matemáticas;
los procesos de pensamiento matemático;
los procesos de enseñanza desarrollados para el aprendizaje de las matemáticas;
los procesos de desarrollo cognitivo de los alumnos;
actitudes afectivas y emocionales hacia la matemática.
"Considerar el error no como una falta o una insuficiencia sino como una parte coherente de un proceso, ayuda al alumno a tomar conciencia de que
puede aprender de sus errores y a nosotros mismos, los docentes,
a aprender mucho de los errores de nuestros alumnos".
Roland Charnay
Definición de obstáculo:
“El error va a tener procedencias diferentes, pero, en todo caso, va a ser considerado como la presencia en el alumno de un esquema cognitivo inadecuado y no solamente como consecuencia de una falta específica de conocimiento o de un despiste.” (Soccas, 1997)
Rico (1999) resalta que:
"los errores pueden contribuir positivamente en el proceso de aprendizaje;
los errores no aparecen al azar sino que surgen en un marco conceptual consistente, basado sobre conocimientos adquiridos previamente.
Hay que modificar la tendencia a condenar los errores culpabilizando a los estudiantes de los mismos, reemplazándola por la previsión de errores y su consideración en el proceso de aprendizaje; y
señalar que todo proceso de instrucción es potencialmente generador de errores, debido a diferentes causas, algunos de los cuales se presentan inevitablemente” .
dificultades del lenguaje;
dificultades para obtener información espacial;
un aprendizaje deficiente de hechos, destrezas y conceptos previos;
asociaciones incorrectas o a rígidez del pensamiento;
la aplicación de reglas o estrategias irrelevantes.

Clasificación de errores según Radatz, debido a:
datos mal utilizados;
interpretación incorrecta del lenguaje;
inferencias no válidas lógicamente;
teoremas o definiciones deformados;
falta de verificación de la solución;
errores técnicos.
Clasificación de errores según Movshovitz- Hadar, Zaslavksy e Inbar:
Soccas (1997) considera para los errores en álgebra, tres posibles orígenes :
en un obstáculo, relacionado con la tendencia a pensar que las expresiones algebraicas son incompletas;
en la ausencia de sentido cuyo origen proviene de la aritmética, de los procedimientos y debido a las características propias del lenguaje algebraico;
en actitudes emocionales y afectivas ligadas a las creencias sobre la disciplina que tienen los estudiantes.
Errores propios de los sistemas de ecuaciones
No realizan correctamente el pasaje del registro verbal al algebraico de un probema. (Pérez Donoso, 1998)
No efectúan la representación y resolución gráfica de un sistema de ecuaciones. (Ramírez, 1997)
Algunos libros de textos y algunos profesores apuntan al desarrollo algorítmico. (Guzmán, 1990)
Resuelven pero no verifican la solución. (Panizza, 1995)
Estrategias de superación de errores:
Soccas (1997) indica: “los remedios para superar el error tienen que ver con el trabajo diario en las clases de matemática y con la interacción entre el profesor y el alumno".
Algunas estrategias de prevención de errores son:
asegurarse que los objetos matemáticos del sistema antiguo de signos no presenten dificultades;
no precipitar el aprendizaje del nuevo objeto;
evitar una innecesaria complejidad de los signos matemáticos y
asegurarse de que los diferentes sentidos de un objeto matemático están claramente diferenciados.
“Centrar el objetivo de las matemáticas en los automatismos, además de proporcionar una imagen distorsionada del quehacer matemático, provoca rechazos en los alumnos. De lo que se trata, es de abordar la técnica de resolución de sistemas de ecuaciones sobre la base de un contexto que permita “ver” lo que ocurre en él.” (Grupo Arzarquiel, 1993).
Análisis de errores explicitados en el plan de clases y en la resolución de los estudiantes.
Teniendo en cuenta que el plan de clases se basaba en la resolución de problemas, se eligieron para analizar sólo cuatro de ellos: Congreso, Perímetro, Amigas y fotos y del Abuelo.
Para ello se utilizaron las clasificaciones de errores explicitadas anteriormente.
Problema del Congreso
A un congreso asistieron 700 personas. La cantidad de mujeres supera en 10 al doble de la cantidad de hombres. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres asistieron al Congreso?
Si x = cantidad de mujeres e y = cantidad de hombres que asistieron al congreso
x + y = 700
x = 2. y + 10
La solución del problema son que asistieron al Congreso 470 mujeres y 230 hombres.
Problema del Perímetro
El perímetro de un rectángulo es 16 cm. Si el lado mayor disminuye en 2 cm y el lado menor aumenta un centímetro, el nuevo perímetro es 14 cm. ¿Cuál es la medida de los lados?
Se trata de un sistema compatible indeterminado cuya solución son los puntos sobre la recta: y = 8 – x, siendo los valores de x pertenecientes a (0; 8).
Planteo correcto:
2. x + 2. y = 16
2. (x – 2) + 2. (y + 1) = 14
Se explicitan tres procedimientos erróneos en el plan de clases.
Planteos incorrectos
1° procedimiento: Escribe incorrectamente ambas ecuaciones:
x + y = 16
x - 2 + y + 1 = 14
2° procedimiento: Escribe correctamente la ecuación correspondiente al perímetro de la primera figura pero no el de la segunda figura:
2. x + 2. y = 16
x - 2 + y + 1 = 14
3° procedimiento: Escribe correctamente la ecuación correspondiente al perímetro de la primera figura, pero escribe incorrectamente la segunda ecuación al no tener en cuenta que el lado mayor disminuyó en 2 cm y el lado menor aumentó 1 cm:
2. x + 2. y = 16
2. x - 2 + 2. y + 1 = 14

Según la clasificación de Radatz se encuadrarían en errores debido dificultades de lenguaje y a un aprendizaje deficiente de hechos, destrezas y conceptos previos.
Mientras que en la clasificación enunciada por Movshovitz- Hadar, Zaslavksy e Inbar se tratarían de errores debido a datos mal utilizados y a una interpretación incorrecta del lenguaje.
Este error podría encuadrarse según el criterio establecido por Radatz, en dificultades de lenguaje y en asociaciones incorrectas y a rigidez del pensamiento y según la clasificación dada por Movshovitz-Hazdar, Zaslavksy e Inbar se debería a una interpretación incorrecta del lenguaje y a datos mal utilizados.
Clasificación del error del estudiante:
Resolución con errores.
Se podría encuadrar según la clasificación de Radatz como un error debido a dificultades procedentes de un aprendizaje deficiente de hechos, destrezas y conceptos previos.
En la clasificación de Movshovitz-Hadar, Saslavsky e Inbar correspondería a errores técnicos al manipular símbolos algebraicos.
Problema de Amigas y fotos
Un grupo de amigas quiere repartir una determinada cantidad de fotos. Si se llevan 3 cada una, sobran cinco y si toman cuatro, falta una foto. ¿Cuántas amigas son? ¿Cuántas fotos tiene la colección? Verificar la solución del problema.
El plan de clases explicita dos planteos correctos:
I. 3.x + 5 = y II. 3. x = y – 5
4. x – 1 = y 4. x = y + 1
siendo x = cantidad de amigas
y = número de fotos
La solución del problema son 6 amigas
y 23 fotos.
Interpreta incorrectamente las condiciones del problema:
3. x = y + 5
4. x = y – 1
Según Radatz, se encuadraría en errores debido a dificultades del lenguaje, mientras que, según la clasificación de Movshovitz- Hadar, Zaslavksy e Inbar se trataría de una interpretación incorrecta del lenguaje ya que expresa en las ecuaciones planteadas una relación diferente a la enunciada por el problema.
Planteo incorrecto del plan de clases
Resolución errónea
Según la clasificación dada por Radatz se encuadraría en errores debido a dificultades del lenguaje y a un aprendizaje deficiente de hechos y destrezas relacionados con el manejo algebraico de ecuaciones de primer grado y, según la clasificación dada por Movshovitz-Hadar, Zaslavksy e Inbar correspondería a una interpretación incorrecta del lenguaje y a una falta de verificación de la solución.
El estudiante determina el valor de y (número de amigas) pero no el valor de x, sin especificar una respuesta sobre la solución del sistema, se trata de ¿un descuido? ¿de falta de tiempo? ¿acaso esconde detrás un aprendizaje pobre, sin significado de lo que aporta un sistema de ecuaciones como información?
Resolución de estudiante
Se observa que probó una solución particular y cuando detecta la contradicción vuelve a la solución hallada para x al costado izquierdo
de la hoja, remediando el error.
Resolución y remediación del error
Resuelve y dibuja un recuadro al ver que el número de amigas que se repartían las fotos era -5, una respuesta absurda y corrige en el lado izquierdo de la hoja arribando a la solución correcta.
Esta es una de las maneras de remediación adecuada del error propuesta por Soccas, ya que el estudiante entiende que es capaz de construir y afianzar el contenido a partir de las herramientas que tiene a su disposición: un buen manejo algebraico, el planteo correcto del sistema de ecuaciones, verificación de la solución, utilización del contexto del problema para comprobar que hay un error en la solución.
Problema del Abuelo
El otro día un abuelo de 70 años de edad quiso repartir entre sus nietos cierta cantidad de dinero. Si nos daba $ 300 a cada uno le sobraba $ 600 si nos daba $ 500 le faltaba $ 1000. ¿Cuántos nietos son? ¿Qué cantidad quería repartir?
En este problema hay un dato irrelevante: la edad del abuelo. La solución del problema indica que los nietos son ocho y la cantidad de dinero que tenía el abuelo es
$ 3000.
Si asignan con x = número de nietos e y = cantidad de dinero, el planteo sería:
y = 300. x + 600
y = 500. x – 1000
Conclusiones:

1° procedimiento: Introduce la edad del abuelo en una de las ecuaciones del sistema, sin tener en cuenta que ambas ecuaciones se refieren al dinero del abuelo y no a la edad.
2° procedimiento: Asocia que los $ 600 que sobran se suman a la cantidad de dinero, lo mismo ocurre con los $ 1000 que faltan si reparten $ 500 por nieto. El planteo es el siguiente:
300. x = y + 600
500. x = y – 1000

Según Radatz se encuadraría en errores debido a dificultades del lenguaje y según la clasificación dada por Movshovitz- Hadar, Zaslavksy e Inbar se trataría de datos mal utilizados .
El segundo procedimiento se podría encuadrar, según Radatz, en un error debido a dificultades de lenguaje, mientras que según clasificación de Movshovitz –Hadar, Zaslavksy e Inbar se trataría de datos mal utilizados y a la interpretación incorrecta del lenguaje.
Resolución y remediación

Cuando el profesor de matemática anticipa, tanto los posibles errores como el tratamiento que le dará a los mismos en su clase, fomenta de manera directa la participación activa de los estudiantes en su superación.
Tanto la verificación de la solución, la contrastación de la pertinencia de la misma en el contexto del problema como la discusión dentro del grupo, permitieron a los estudiantes cierto control sobre los errores.
No se deberían precipitar las actividades sin antes dar el tiempo necesario de apropiación del problema que se va a resolver.
Teniendo en cuenta el concepto de buenas prácticas una buena estrategia docente sería incentivar en los estudiantes el desarrollo de estrategias y la escritura de conclusiones

Bibliografía:

Socas, M. (1997)
“Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de las matemáticas en la Educación Secundaria”. En Rico, L (edt.) La Educación Matemática en la Enseñanza Secundaria. Barcelona; Horsori.
Rico, L. (1999)
“Errores en el aprendizaje de las Matemáticas”, curso del departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada; España.
GRUPO ARZARQUIEL, (1993)
, “Ideas y actividades para enseñar álgebra”. Cuaderno N° 33. Editorial Síntesis.
“Aspectos inherentes al Estudio de Funciones”, Apuntes de cátedra: Didáctica Especial y Residencia. CRUB; Universidad Nacional del Comahue.
“Aspectos didácticos relativos a la Enseñanza del Álgebra Escolar”, Partes I, II y III, Apuntes de cátedra: Didáctica Especial y Residencia. CRUB; Universidad Nacional del Comahue.
Planas y Alsina (2009)
, “Introducción. Buenas prácticas en la enseñanza de las matemáticas”. Graó.
Caicedo (2009
), Trabajo de investigación: “Incidencia del Geogebra en la resolución de problemas sistemas lineales de 2x2”, Universidad Autónoma de Barcelona, Departamento de Didáctica de la Matemática y de las Ciencias Experimentales.
Resolución errónea y corrección
Resolución de estudiante
Resolución incompleta
Planteos erróneos del plan de clases:
Interpreta la expresión “supera en 10 al doble de la cantidad de hombres” como que ese número lo deben agregar a la cantidad de mujeres para que sea igual al doble de hombres que asistieron al congreso.
La segunda ecuación resulta:
x + 10 = 2.y arribando a que asistieron 236,67 hombres y 463,33 mujeres al Congreso.
Planteo incorrecto
Según Radatz se trataría de errores debido a dificultades del lenguaje y a errores debido a
asociaciones incorrectas o a rigidez del pensamiento y según Movshovitz- Hadar, Zaslavksy e Inbar a una interpretación
incorrecta del lenguaje.

Cuadro de sintesís
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