Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

Método da Secante

Este método nos dará as raízes reais de um polinômio de grau n.
by

Luiz Ferreira

on 13 December 2012

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of Método da Secante

Método da Secante O Método Algoritmo &
Bibliografia Algoritmo Bibliografia Trabalho de Cálculo Numérico Análise do Gráfico Exemplo História Ptolomeu Sobre os métodos A origem dos metodos numéricos para a resolução de equações não lineares é bastante antiga.
Os matemáticos gregos tinham ja notado a importância do conhecimento da relação entre a corda de uma circunferência e o arco que ela define. Hiparcos de Niceia, no seculo II a.C., foi provavelmente o primeiro a introduzir a função corda cor (2) = 2Rsin ; onde R e o
raio da circunferência e o ângulo subentendido. No entanto, o primeiro matematico a tabelar esta
função foi Ptolomeu (100-178), no seu Almagest,
onde tambem calculou formulas para cor(t1+ t2)
e cor( (1/2)t). O que e interessante notar e que
Ptolomeu para calcular cor(1º) usou um
procedimento iterativo onde obtinha
sucessivas aproximações, partindo de
varios valores iniciais. O conceito de equaçãao algebrica tinha sido
introduzido no sec. IX pelo matematico arabe
Mohammed ibn Musa al-Khowarismi
(780-850) na obra
Ilm al-Jabr wa'i Muquabalah. O nome de
al-Kowarismi deu origem a palavra
portuguesa algarismo e deve-se ao fato de
ter sido a obra deste matemático que deu a
conhecer ao ocidente a numeração
hindu-arabe. A desvantagem que o metodo de Newton apresenta ao calcular a derivada de uma função pode ser contornada pelo metodo da secante. Este metodo consiste
em substituir f '(xk) por (f(xk)-f(xk-1))/(xk xk-1).
Obtemos assim a formula de recorrência No gráfico, r é a raiz de f(x). Resolver a equação 1,6x2 = 9,43x -10,362, com erro inferior a 0,001 3º passo: escolher dois pontos para a secante.
Para a menor raiz (r1), usaremos os pontos de abscissas x0 = 0 e x1 = 1. x1 pode ser escolhido após r1. Não pode ser escolhido após r2 (outra raiz). http://vsouzajunior.coolpage.biz/doc/cn_algoritmos.pdf
Acesso em 12/12/2012

Método da Secante Para Resolução de equações do tipo f(x)=0

Solução numérica de equações e sistemas não lineares Luiz Ferreira
Robson



Profª. Dra. Dalva Maria de Oliveira Villarreal A Álgebra Iteração Vieta desenvolveu, em 1595, um esquema iterativo para calcular um zero de um
polinomio de grau 45, problema que tinha sido proposto a todos os matematicos do mundo
por Adrianus Romanus. Vieta não so calculou de uma
forma
brilhante um zero como
tambem
apresentou os 23
zeros positivos do
referido polinomio! O Cara o grande matematico inglês Isaac Newton
(1643-1727) publicou, em 1669 no seu
celebre trabalho Principia Mathematica
(Livro 1, Prop.31,Scholium), uma versão
melhorada do procedimento exposto por
Vieta e melhorado por Oughtred para
calcular a solução de x3 2x 5 = 0. Devido aos seus excelentes trabalhos, neste e noutros campos, Newton e considerado como um dos
grandes precursores da analise numerica. A filosofia dos métodos iterativos consiste em, partindo de uma aproximação inicial (x0) para uma solução (x*) do problema, gerar uma sucessão de valores que seja convergente. Vantagens Em termos geometricos este método resulta do método de Newton pela substituição da reta tangente a curva y = f(x) em (xk; f(xk)) pela secante que passa pelos pontos
(xk; f(xk)) e (xk1; f(xk1)). Essa recta e dada pela expressão 1º passo: Escrever a equação na forma f(x) = 0.
f(x) = 1,6x2 – 9,43x + 10,362. 2º passo: Construir o gráfico. Isto é importante pois, se a equação apresentar mais de uma raiz, não pode existir mais de uma raiz entre os pontos a serem escolhidos para a secante. Tomemos os pontos de abscissas x = x0 e x = x1 e tracemos a secante S1 As ordenadas desses pontos
são f(x0) e f(x1). A equação da secante que passa
pelos pontos (x0, f(x0)) e (x1, f(x1)) é: A secante intercepta o eixo dos y no ponto de
abscissa x = x2.
x2 pode ser considerada a
primeira aproximação da raiz. Tomando os pontos de abscissas x1 e x2, traça-se a secante S2. Obtém-se então a abscissa x3, que é a segunda aproximação da raiz. Continua o processo até obter a aproximação
Desejada. Em cada aproximação calcula-se
f(xi) para conhecer o erro. 4º passo: Determinar as ordenadas f(x0) e f(x1) relativas aos pontos escolhidos. x0 = 0 -> f(x0) = f(0) = 1,6.02 – 9,43.0 + 10,362 = 10,362.
x1 = 1 -> f(x1) = f(1) = 1,6.12 – 9,43.1 + 10,362 = 2,532. 5º passo: Calcular x2 (interseção da secante com o eixo dos “x”). 6º passo: Calcular f(x2) para
avaliar o erro.

f(x2) = f(1,323372) = 1,3133722 –
9,43. 1,313372 + 10,362 =
0,684705 Como x2 é uma suposta raiz, f(x2) deveria se igual a 0 (zero).
Portanto, o erro é maior que 0,001.
Devemos continuar o processo, calculando, xi, i = 3, 4, 5 e f(xi). x3 = 1,323372 – 0,684705(1,323372 – 1)/(0,684705 – 2,532) = 1,44323 f(x3) = 1,6.1,443232 – 9,43.1,44323 + 10,362 = 0,085. O erro ainda é maior que 0,001. Calculando x4. x4 = 1,44323 – 0,085.(1,44323 – 1,323372)/(0,085 – 0,68475) = 1,460219 f(x4) = 1,6.1,4602192 – 9,43. 1,460219 + 10,362 = 0,037. Erro ainda maior que 0,001. Calculando x5 x5 = 1,460219 – 0,037.(1,460219 – 1,44323)/(0,037 – 0,085) = 1,460996 f(x5) = 1,6.1,4609962 – 9,43.1,460996 + 10,362 = 0,00022. Como o erro é menor que 0,001 x5 = 1,460996 é a aproximação aceitável. Como o erro deve ser menor que 0,001, a resposta deve ser dada com três casas decimais. Resposta: 1,460. Algoritmo: Método da secante
declare
a, b, {limites inferior e superior do intervalo}
c, {aproxima¸c˜ao para a raiz}
ep, {precis˜ao requerida}
n, {contador de iterações}
leia f(x) leia a, b, ep
se (f(a) × f(b))>= 0 entao
escreva “Valores de a e b inválidos”
interrompa o algoritmo
fim se
n ->1 repita
c <- b − (f(b).(b − a)/f(b) − f(a))
se |f(c)| < ep ou n > 90 entao
interrompa
fim se
a <- b
b <- c
n <- n + 1
fim repita se n > 90 entao
escreva “Convergencia não obtida”
senao
escreva c, f(c)
fim se K.E. Atkinson (1989), An Introduction to Numerical Analysis, 2th ed., John Wiley, New
York.
R.L. Burden e J.D. Faires (1988), Numerical Analysis, 4th ed., PWS-Kent, Boston.
S.D. Conte e C. de Boor (1980), Elementary Numerical Analysis, 3th ed., McGraw-Hill, New
York.
H. Goldstine (1977), A History of Numerical Analysis from 16th Through the 19th Century,
Springer-Verlag, New York.
C. Houzel (1988), Equations algebriques, Mathematiques en Mediterranee, Edisud/Musees
de Marseille, pp. 58-67.
J.A. Ferreira e M.F. Patrcio (1999), Analise Numerica, Textos de Apoio, DMUC, Coimbra.
R. Kress (1998), Numerical Analysis, Springer-Verlag, New York.
H. Pina (1995), Metodos Numericos, McGraw-Hill, Alfragide.
J.R. Rice (1983), Numerical Methods, Software, and Analysis, McGraw-Hill, Tokyo.
M. Rosa (1992), Topicos de Analise Numerica, Textos de Apoio, DMUC, Coimbra.
J.M. Sanz-Serna (1998), Diez Lecciones de Calculo Numerico, Universidad de Valladolid,
Valladolid.
J. Stoer e R. Bulirsch (1980), Introduction to Numerical Analysis, Springer-Verlag, Berlin.
M.R. Valenca (1988), Metodos Numericos, INIC, Braga. 12/12/2012 Calculando X2: Obrigado
Full transcript