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Untitled Prezi

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by

Lena Richter

on 27 October 2014

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Transcript of Untitled Prezi

Spiegelung an der Winkelhalbierenden
Betrachtung im Lehrplan
Gymnasium:
M9.2.1 Graphen quadratischer Funktionen und deren Nullstellen (18h)
M9.2.2 Quadratische Funktionen in Anwendungen (16h)

Realschule (Mathematik I, 5stündig)
M9.3 Quadratische Funktionen (17h)
M9.4 Quadratische Gleichungen und Ungleichungen (12h)
M9.4 Systeme mit quadr. Gleichungen (10h)

Realschule (Mathematik II/III, 4stündig)
M10.1 Quadratische Funktionen (15h)
M10.3 Quadratische Gleichungen (20h)

Betrachtung im Lehrplan
f(x) = a * x
Eine Funktion der Form f(x) = a * x , ,
heißt Potenzfunktion n-ten Grades.
Potenzfunktionen
Potenzfunktionen, Quadratische Funktionen
Fachliche Aspekte
Bestimmung des Fkt-terms eine quadr. Fkt
Quadratische Funktionen
f(x) = ax² + bx + c
Eine Funktion der Form f(x) = ax² + bx + c
heißt quadratische Funktion.

Für b=0, c=0 ist f(x) = ax² somit eine Potenzfunktion mit n=2.
Diskriminate D=b²-4ac
Nullstellen quadratischer Funktionen
Graphen von Potenzfunktionen
Normalparabel f(x)=x²
Den Graph einer quadratischen Funktion f(x) = ax² + bx + c nennt man
Parabel
.
achsensymmetrisch zu einer senkrechten Geraden durch den Scheitel

Den Graph einer quadr. Funktion der Form f(x) = x², d.h. a=1, b=0, c=0, nennt man
Normalparabel
.
achsensymmetrisch zur y-Achse
Scheitel liegt bei S(0|0)
Graph einer quadratischen Funktion
Variation der Parameter a, b, c
Durch Variation der Parameter a, b, c wird die Form und Lage der Normalparabel verändert.
Bedeutung von Parametern in quadr. Fkten
r
n
Gymnasium:
M10.5.1 Graphen ganzrationaler Funktionen (7h)
M10.5.2 Vertiefung der Funktionenlehre (19h)

Realschule (Mathematik I, 5stündig)
M10.1 Potenzen und Potenzfunktionen (14h)
M10.4 Abbildungen im Koordinatensystem (35h)
n
Der Scheitel ist der tiefste Punkt einer nach oben geöffneten Parabel,
bzw. der höchste Punkt einer nach unten geöffneten Parabel.
Parameter c
f(x) =x² + c
Der Graph ist eine um c in y-Richtung verschobene Normalparabel,
d.h. der Scheitel liegt bei S(0|c).
Parameter a
f(x) = ax²
c<0: Parabel hat 2 Nullstellen
c=0: Parabel hat nur den Scheitel als Nullstelle
c>0: Parabel hat keine Nullstellen
Der Graph ist eine Parabel mit Scheitel S(0|0).
Für a>0 ist die Parabel nach oben geöffnet.
Für a<0 ist die Parabel nach unten geöffnet.
Für |a|>1 ist die Parabel enger als die Normalparabel.
Für |a|<1 ist die Parabel weiter als die Normalparabel.
"Parameter" d
f(x) = (x +d)²
Der Graph ist eine um -d in x-Richtung verschobene Normalparabel,
d.h. der Scheitel liegt bei S(-d|0).
f(x) = a(x + d)² + e
Der Graph ist eine um e in y-Richtung und um -d in x-Richtung verschobene Normalparabel,
d.h. der Scheitel liegt bei S(-d|e).

Diese Form
f(x)=a(x+d)²+e
nennt man auch
Scheitel(punkt)form
einer quadr. Funktion.
(Die Form
f(x)=x²+bx+c
nennt man
Normalform
.)
Jede quadratische Funktion lässt sich in Scheitelform bringen.
Quadratische Ergänzung
Quadratische Ergänzung
"Scheitelformel"
Beispiel mit Zahlen
allg. Scheitel für quadr. Funktion f(x)=ax²+bx+c
Somit liegt der Scheitel bei (3|2)
"Scheitelformel"
a(x + )² - +c
Der "Parameter" d entspricht also .
Der "Parameter" e entspricht c-

Führt eine Extremwertaufgabe auf eine quadratische Funktion, so liefert der Scheitelpunkt den gesuchten Extremwert.
Die Lösungen der quadratischen Gleichung x ,(x ) sind die Nullstellen der quadr. Funktion.
Jede quadr. Funktion lässt sich in
Nullstellenform y=a(x-x )(x-x )
schreiben.
Für eine
quadratische Gleichung ax²+bx+c=0
(a=0) gilt:
Ist D<0, so gibt es keine Lösung.
Ist D=0, so gibt es genau eine Lösung x= .
Ist D>0, so gibt es die beiden Lösungen .
Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung
Nullstellen quadratischer Funktionen
S und a gegeben
S(3|1), a=-2
S und P gegeben
S(2|-3), P(1|-1)
2 Nullstellen und a gegeben
x =5, x =-2, a=3
2 Nullstellen und P gegeben
x =1, x =3, P(4|3)
3 Punkte gegeben
A(-2|0),B(-1|3),C(1|15)
1
2
1
2
1
Wir setzen die gegebenen Größen in die Nullstellenform y= a(x-x )(x-x ) ein.

y=3x²-9x-30
2
Wir setzen die gegebenen Größen in die Scheitelform y=a(x+d)²+e ein und bestimmen damit a.

y=2x²-8x+5
Wir setzen die gegebenen Größen in die Scheitelform y=a(x+d)²+e ein.

y=-2x²+12x-17
Wir setzen die Koordinaten der Punkte in die allgemeine Form y=ax²+bx+c ein und lösen das zugehörige Gleichungssystem.

y=x²+6x+8
Wir setzen die gegebenen Größen in die Nullstellenform y= a(x-x )(x-x )ein und bestimmen damit a.

y=x²-4x+3
1
2
1
2
1
2
Flächeninhalt eines Quadrats bei vorgeg.Seitenlänge x
f(x) = x²






Seitenlänge eines Quadrats bei vorgeg.Flächeninhalt a
f(x) =


Wurzelfunktion als Umkehrfunktion
Für negative Werte ist die Wurzelfunktion nicht definiert.
Umkehrfunktion
Graph an Winkelhalbierenden gespiegelt
Kehrwert des Exponenten
=
Umkehrfunktionen: n-te Wurzeln
Für
gerade, positive Exponenten
n,
Achsensymmetrisch zur y-Achse
alle Graphen gehen durch (0|0), (1|1), (-1|-1)
je größer n, desto näher ist der Graph an der y-Achse
Den Graph nennt man Parabel
Für
ungerade, positive Exponenten
n, n ganze Zahl
Punktsymmetrisch zum Ursprung
alle Graphen gehen durch (0|0), (1|1), (-1|-1)
je größer n, desto näher ist der Graph an der y-Achse
Den Graph nennt man Parabel
Für
gerade, negative Exponenten
n, n ganze Zahl
Achsensymmetrisch zur y-Achse
je größer n, desto näher ist der Graph an der y-Achse
Den Graph nennt man Hyperbel
Für
ungerade, negative Exponenten
n, n ganze Zahl
Punktsymmetrisch zum Ursprung
je größer n, desto näher ist der Graph an der y-Achse
Den Graph nennt man Hyperbel
Gliederung
Satz von Vieta
zum Lösen von quadratischen Gleichungen
zum Lösen von quadr. Gleichungen
-
Weitere Eigenschaften der Parabel
Vortrag am 21.10.2014
Referentin: Lena Richter

Analysis in der Schule
Dozent: Volker Ulm

Parabel als Ortslinie:
Die Parabel ist die Menge aller Punkte P, die von einem vorgeg. festen Punkt F und von einer vorgeg. Leitgeraden g den gleichen Abstand haben.


Brennpunkteigenschaft:
Bei einem Parabolspiegel
gehen alle achsenparallelen
Strahlen nach ihrer Reflexion
durch den Brennpunkt F.
Empfehlung: http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Parabeln/index.htm?10

g(x) = f(x+d)+c
g entsteht aus f durch
Verschieben um -d in x-Richtung
Verschieben um c in y-Richtung

g(x) = a*f(x)
g entsteht aus f durch



g(x) = f(a*x)
g entsteht aus f durch



Exkurs: Polynome und ganzrationale Funktionen
Für |a|>1: Streckung des Graphen in y-Richtung
Für |a|<1: Stauchung des Graphen in y-Richtung
Für a<0 ist der Graph an der x-Achse gespiegelt
Für |a|>1: Stauchung des Graphen in x-Richtung
Für |a|<1: Streckung des Graphen in x-Richtung
Für a<0 ist der Graph an der y-Achse gespiegelt
Beispiel Gleichung 3.Grades
Gleichungen 3.Grades
Polynomdivision durch (x-x ) mit x durch Einsetzen ermittelt
Lösen der entstandenen quadr. Gleichung mit Mitternachtsformel etc.
Lösungsmenge angeben


Gleichungen 4.Grades
mit geraden Exponenten
Substitution x²=t
Lösen der entstandenen quadr. Gleichung mit Mitternachtsformel etc.
Resubstitution
Lösungsmenge angeben
Algebr. Gleichungen 3./4.Grades lösen
1
1
Beispiel Gleichung 4.Grades
Überblick
Betrachtung im Lehrplan
Graphen und deren geometr.Eigenschaften
Bedeutung von Parametern

Algebr.Gleichungen



Umkehrfunktionen
Potenzfunktionen









Gleichungen
3. und 4.Grades lösen



n-te Wurzeln
quadr.Funktionen






Bestimmung von
Funktionstermen

quadr.Gleichungen lösen
Quadr.Ergänzung
Mitternachtsformel
Satz von Vieta

Quadratwurzeln

QUELLENANGABEN

n
http://www.isb.bayern.de/images/logo-bild-marke.png
http://www.schulminator.com/sites/default/files/wiki/potenzfunktion-eigenschaften-gerader-ungerader-exponent.png
http://wikis.zum.de/dmuw/images/thumb/5/52/Quadratische-funktion-lernpfad1.png/350px-Quadratische-funktion-lernpfad1.png
http://www.ina-de-brabandt.de/analysis/qf/g/parabel-sp-p-a2.png
http://www.schulminator.com/mathematik/quadratische-funktion
https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)
http://www.free-education-resources.com/www.mathematik.net//Pot-fkt/Pw4s10.htm
http://www.poenitz-net.de/Mathematik/4.Funktionen/4.4.S.Potenzfunktionen.pdf
http://www.onlinemathe.de/mathe/inhalt/Potenzfunktionen
http://esrp.website.org/schule/mathematik/relationen-funktionen/potenzfunktionen/umkehrfunktionen-zu-potenzfunktionen/
https://de.wikipedia.org/wiki/Parabel_(Mathematik)
http://archive.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/parabelortslinie/parabelortslinie2.html
http://www.mathepedia.de/Hermitesches_Polynome.aspx

Abbildungen


http://btmdx1.mat.uni-bayreuth.de/smart/showmodule.php?verz=sinus/j03/quadratischefunktionen/quadratischefunktionen.txt&ueber=Quadratische Funktionen, quadratischeGleichungen&schultyp=sinus
https://www.isb.bayern.de/download/10045/m9.pdf
http://www.isb.bayern.de/download/9030/m10.pdf
http://www.isb-gym8-lehrplan.de/contentserv/3.1.neu/g8.de/index.php?StoryID=26254
http://www.isb-gym8-lehrplan.de/contentserv/3.1.neu/g8.de/index.php?StoryID=26221


Büchter, A., Henn, H.‐W.: Elementare Analysis, Von der Anschauung zur Theorie, Spektrum
Verlag, Heidelberg 2010

Zugriff 03.10.15
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