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쌍곡면 기하학

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by

수민 이

on 26 October 2014

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Transcript of 쌍곡면 기하학

쌍곡면 기하학
쌍곡기하학 이해하기
쌍곡기하학을 이해하기 위해서는

먼저 비유클리드

기하학이 뭔지 알아야 한다.
쌍곡기하학을 이용한 테셀레이션
정의
쌍곡기하학이란 원을 쌍곡선의 형태로 나누었을때

를 말하며, 곡선이 세개 이상일 경우 도형이 성립

된다. 삼각형이 쌍곡선으로 이루어 졌다고 가정했

을경우, 세 삼각형의 위치는 평면에서는 두 초점간

의 거리의 각 중점에서 좌표가 형성되며 쌍곡선의

기울기에 따라 삼각형의 각이 결정된다.
세삼각형

의 각은 180도 이하
이다. 구의 형태에서도 동일하

게 형성된다.

깊게 이해하기
이 공간은 양쪽 끝 쪽으로 갈수록 점점 작아져서 그 간격이 0에 가까워지고, 가운데로 갈수록 점점 커져 그 간격이 무한대로 커지는 공간으로, 안으로 휘어진 공간이다. 쉽게 말하면 나팔 두 개를 서로 맞대어 붙여 놓은 것과 비슷한 모양이다. 이 공간에서 직선 l과 l위에 있지 않은 점 P가 주어졌을 때 점 P를 지나면서 l과 평행한 직선은 몇 개일까?

평행선은 만나지 않는 선이므로 직선 l과 만나지 않는 직선을 그려보면 여러 개가 존재한다. 점 P를 지나면서 직선 l과 평행한 직선은 m과 n이 있다. 그리고 m과 n 사이에 있는 모든 직선도 직선 l과 만나지 않으므로 평행하게 되고, 결국 평행선은 무수히 많이 존재한다. 또한 이 공간에서 두 평행선 사이의 거리는 양쪽 끝 방향으로 가면 0에 점점 가까워지고(하지만 만나지는 않는다) 가운데 방향으로 가면 그 거리가 무한히 된다.
테셀레이션
한 가지 이상의 도형을 이용해 틈이나 포개짐 없이 평면이나 공간을 완전하게 덮는 것을 말한다.

** 프렉탈과 함께 합쳐져서 예술작품이 탄생하기도 한다.
(안으로 갈수록 무한히 작아지는 그림이 그 예이다.)
비유클리드기하학
유클리드기하학(포물기하학(parabolic geometry))의 평

행선의 공리(제5공리)는 이를 부정하나, 그 밖의 공리와는

모순되지 않는 기하학이다. 유클리드기하학의 공리계에서

평행선의 공리를 [직선 밖의 한 점을 지나 그 직선과 만나

지 않는 직선은 적어도 둘이 존재한다]로 치환하여 얻는 공

리계가 쌍곡기하학이다. 또 [두 직선은 반드시 만난다]를

치환하여 얻는 공리계가 타원기하학이다. 쌍곡기하학과

타원기하학을 합쳐 비유클리드기하학이라 부르지만 유클

리드기하학이 아닌 기하학은 오늘날 이 두 종류 외에도 많

이 있으므로 이 명칭은 적당한 것이 아니다. 현대적 견해로

는 비유클리드기하학을 리만기하학의 특수한 예 또는 고전

적인 모델로 간주한다.

보충 설명
공간을 곡률에 따라서 곡률이 0인 공간, 양수인 공간, 음수인 공간으로 구분함으로써 유클리드 기하학과 함께 비유클리드 기하학의 대상이 된 공간이 설명될 수 있었다. 이것으로 비유클리드 기하학은 더 이상 기괴한 것이 아니라 논리적으로 합당한 또 하나의 기하학으로 인정받았다.

쌍곡 기하학은 비유클리드 기하학의 시초라고 할 수 있다. 이 쌍곡 기하학은 가우스, 로바쳅스키, 보여이가 만든 기하학이다. 쌍곡 기하학은 바로 곡률이 음수로 일정한 공간에서 성립하는 기하학으로, 위구(또는 의구)와 같은 공간에서 성립한다.


비유클리드 기학의 시초인 쌍곡 기하학
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