Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

O Século XIX iventa a matemática "pura"

No description
by

Flávia Pereira

on 27 November 2013

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of O Século XIX iventa a matemática "pura"

O Século XIX inventa a matemática "pura"
Lejeune-Dirichlet foi um matemático crítico do século XIX. Sua visão sobre o que deveria constituir uma prova matemática rigorosa que influenciou seus contemporâneos e, em meados do século, ele já era visto como a expressão dos novos tempos e da nova concepção sobre o rigor, que transformaria definitivamente os padrões herdados dos franceses.
Dirichlet havia estudado em Paris no anos 1820 e logo se tornou fundamental para a disseminação da análise e da física matemática francesas na Alemanha.
A presença de Dirichlet, juntamente com Riemann e Dedekind, mudaria a matemática praticada na Universidade de Göttingen. Os três inspiravam-se em Gauss e propunham uma visão abstrata e conceitual dessa disciplina.
O ponto de vista conceitual de Dirichlet foi expresso em uma frase que se tornou famosa:
"É preciso colocar os pensamentos no lugar dos cálculos".
Gráfico da Função de Dirichlet



Era notório que o conceito de função precisava ser mais geral do que os usados anteriormente, então era necessário discutir a seguinte questão:
Se não se tratava mais de conceber a função a partir de sua expressão analítica. Porém, qual seria nova definição?
Definição de função publicada em alemão em 1837
Sejam
a
e
b
dois números fixos e
x
uma quantidade variável que recebe sucessivamente todos os valores entre
a
e
b.
Se
a
cada
x
corresponde um único
y
finito, de maneira que, quando
x
se move continuamente no intervalo entre
a
e
b
,
y= f(x)
também varia progressivamente, então
y
é dita uma função contínua de
x
nesse intervalo. Para isso, não é obrigatório, em absoluto, nem que
y
dependa de
x
de acordo com uma mesma e única lei, nem mesmo que seja representada por uma relação expressa por meio de operações matemáticas.
A definição de função de Dirichlet
Dirichlet percebeu que nem toda a função pode ser integrada, e no artigo "Sobre a convergência das séries trigonométricas que servem para representar uma função arbitrária entre limites de dados", publicado em 1829, dá um exemplo: figura pg.456
Ele mostrou que para resolver o problema das séries de Fourier seria preciso investigar, em primeiro lugar, quando uma função é integrável em certo intervalo.
Cauchy tinha tentado esclarecer o significado da integração, as condições que propôs foram aperfeiçoadas por Dirichlet (e mais tarde por Riemann).
Condições para que uma função possa ser representada em séries de Fourier em um intervalo de
(-l, l)
.
ser bem-definida, ou seja, cada um dos valores da ordenada ser determinado univocamente pelo valor da abscissa.
ter um número finito de descontinuidade no intervalo
(-l, l).

Riemann e Dedekind, ambos se dedicaram mais diretamente à compreensão das teorias matemáticas sem recurso a representações externas. Segundo eles, os novos objetos matemáticos deviam ser definidos por suas características internas e admitidos como princípios da teoria. Essa ausência de referência externa pode ser vista como a inauguração de uma nova fase da abstração, que transformará definitivamente a matemática em matemática "pura".
Estudo da convergência das séries de Fourier
Caracterização dos números reais e a noção de conjunto
Depois da estranha função sugerida por Dirichlet, proliferarão exemplos de funções "patológicas", sobretudo na segunda metade do século XIX que incitarão uma revisão de definição de função.

Exemplo: Curva de Koch

Com os avanços do estudos de Cantor sobre a continuidade das funções, ele percebeu que para estudar a distribuição dos pontos era necessário descrever os números reais de modo mais detalhado de tal forma que esses números fossem dados pelos pontos da reta. Tal argumento já fazia-se presente na reflexão sobre os números reais interpretados por Dedekind.
Estudo da continuidade por Dedekind
A fim de caracterizar a continuidade, Dedekind julgava necessário investigar suas origens aritméticas. Foi o estudo aritmético da continuidade que levou a proposição dos chamdados "cortes de Dedekind".
Os estudos de Cantor e Dedekind sobre os números reais darão origem a uma vasta gama de novas perguntas, por exemplo: há mais números racionais ou irracionais? Como enumerar esses números?
O procedimento de "enumeração" dos elementos de um conjunto é feito por meio da associação de cada um desses elementos a uma número natural; e a associação é definida como uma função de um conjunto no outro, uma correspondência biunívoca entre seus elementos.
Funções biunívocas
Cantor provou que é impossível encontrar tal correspondência, estabelecendo uma diferença fundamental entre o número de elementos (cardinalidade) do conjunto de números reais e o número de elementos do conjunto dos números naturais.
Para Dedekind, os números naturais formam um conjunto de “coisas” ou “objetos de pensamento”. Ele enunciou as relações básicas envolvendo conjuntos que tratam das noções que conhecemos hoje de subconjunto, união e interseção.
A abordagem dos conjuntos e a definição atual de função
Na última metade do século XIX, Cantor teria introduzido o infinito na matemática, um dos ingredientes principais para o florescimentos espetacular da matemática moderna. A repulsa do infinito teria reinado entre os matemáticos desde os gregos, impedindo os avanços dessa ciência, até que Cantor venceu e logrou fazer com que o infinito fosse, finalmente, aceito.
A concepção excessiva nos trabalhos de Cantor deu a impressão de que a ideia de conjunto se originou, principalmente, das demandas de rigor para a análise.
A teoria dos conjuntos deve ser investigada não somente como a teria que se desenvolveu, mas como o ponto de vista dos conjuntos ganhou espaço na matemática a partir dos anos 1850, ou seja, como uma abordagem conjuntista já era praticada, constituindo um terreno fértil para a proposição de uma teoria dos conjuntos.
A abordagem dos conjuntos e a definição atual de função
A imagem de que a matemática é um saber axiomatizado baseado nas noções de conjunto e estrutura foi popularizada por Nicolas Bourbaki, a partir de 1939, com o inicio da publicação de seus Elementos de matemática: as estruturas fundamentais da análise.
Uma das suas principais contribuições foi organizar as subdisciplinas da matemática, selecionando seus conceitos básicos, suas ferramentas e seus problemas. Nesse quadro, a definição de função usada por Dedekind e Cantor será considerada insuficiente e, em seu lugar Bourbaki proporá:

Definições de função
Definição bourbakista de função:
Sejam E e F dois conjuntos que podem ser distintos ou não. Uma relação entre um elemento variável x de E e um elemento variável y de F é dita uma relação funcional se, para todo x pertencente a E, existe um único y pertencente a F que possui a relação dada com x. Damos o nome função à operação que associa, desse modo, a todo elemento x pertencente a E, o elemento y pertencente a F que possui a relação dada com x; y será dito o valor da função no elemento x.
Definição de função dada por Dirichlet:
Sejam
a
e
b
dois números fixos e
x
uma quantidade variável que recebe sucessivamente todos os valores entre
a
e
b.
Se
a
cada
x
corresponde um único
y
finito, de maneira que, quando
x
se move continuamente no intervalo entre
a
e
b
,
y= f(x)
também varia progressivamente, então
y
é dita uma função contínua de
x
nesse intervalo. Para isso, não é obrigatório, em absoluto, nem que
y
dependa de
x
de acordo com uma mesma e única lei, nem mesmo que seja representada por uma relação expressa por meio de operações matemáticas.
Considerações Finais
A variável passa a ser entendida, ao invés de ser uma quantidade indeterminada, que varia, um elemento de um conjunto numérico.
A definição formal de função, que aprendemos na escola, segue o padrão bourbakista.
Em 1948 J. Dieudonné publicou o manifesto em que defendia a edificação da matemática sobre estruturas de tipos diferentes, propondo uma “arquitetura”, ou seja, construir uma teoria unificada que, como um edifício, se assentasse solidamente sobre suas fundações.
Quando a matemática passou a se enxergar como matemática “pura” que a distinção entre teoria e prática se tornou importante na escrita de sua história.
Com o movimento da matemática moderna teve grande repercussão no Brasil, defendia-se que essa disciplina deveria ser ensinada de acordo com a definição bourbakista que seria adaptada às nossas estruturas cognitivas.
Para refletir...
Na sua opinião, uma definição pronta como por exemplo: a definição de função dada por Bourbaki, mascara a natureza de como esse conceito foi concebido e entendido ao longo da história?

Como poderíamos ajudar os nossos alunos a entenderem esse conceito?
Full transcript