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Variabilidades continuas y su distribución de probailidad

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Estefania Arredondo

on 9 July 2016

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Transcript of Variabilidades continuas y su distribución de probailidad

PROBABILIDAD CLÁSICA, FRECUENCIAL Y SUBJETIVA
PROBABILIDAD DE FRECUENCIA RELATIVA
Si un experimento bien definido se repite n veces (n grande); sea nA < n el número de veces que el evento A ocurre en los n ensayos, entonces la frecuencia relativa de veces que ocurre el evento A “nA /n”, es la estimación de la probabilidad que ocurra el evento A, o sea:
P(A)= nA /n
1.-La frecuencia relativa de un evento, esta comprendido entre 0 y 1.
Por lo tanto 0 ≤ P(A) ≤ 1.
En efecto: Desde que 0 ≤ nA ≤ 1, 0/n ≤ nA /n ≤ 1, se tiene que 0 ≤ nA /n ≤ 1.
Luego, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
2.- nA /n = 0, si solo si, en las n repeticiones del experimento el evento A.

Distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua
Toda distribución de probabilidad es generada por una variable aleatoria x, la que puede ser de dos tipos:
Variable aleatoria discreta (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores:
Aleatoria, porque el valor tomado es totalmente al azar y
Discreta porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos.
Distribución uniforme
La distribución Uniforme es el modelo (absolutamente) continuo más simple. Corresponde al caso de una variable aleatoria que sólo puede tomar valores comprendidos entre dos extremos a y b, de manera que todos los intervalos de una misma longitud (dentro de (a, b)) tienen la misma probabilidad. También puede expresarse como el modelo probabilístico correspondiente a tomar un número al azar dentro de un intervalo (a, b).

De la anterior definición se desprende que la función de densidad debe tomar el mismo valor para todos los puntos dentro del intervalo (a, b) (y cero fuera del intervalo). Es decir,
Distribución Normal
Valor esperado y varianza de una distribución de probabilidad continua
Variables continuas y su distribución de probailidad
El concepto de probabilidad es muy antiguo y a lo largo de la historia se ha definido de distintas formas, aunque todas ellas mantienen en común las características básicas del concepto. En general cuando hablemos de probabilidad lo haremos siempre en referencia a la probabilidad de un suceso y la entenderemos como una medida cuantificada de la verosimilitud de ocurrencia de un suceso frente a los demás sucesos del experimento. Pero qué duda cabe que esta definición no es del todo buena, pues se utiliza el término verosimilitud para definir la probabilidad, cuando el mismo es un sinónimo de lo que se quiere definir. También podría hablarse del grado de incertidumbre en la ocurrencia de los resultados de un experimento. En cualquier caso la probabilidad de un suceso es una medida cuantificable que toma valores entre cero y uno a diferencia del concepto de posibilidad que es una medida cualitativa.
Probabilidad clásica o a priori (Regla de Laplace)
Si el experimento que estamos realizando da lugar a un espacio muestral E que es finito y cuyos resultados son mutuamente excluyentes y equiprobables o simétricos, entonces, la probabilidad del suceso A perteneciente a E se define como el cociente de los resultados favorables a A respecto del total de resultados posibles, este tipo de probabilidad es la que se emplea antes del evento, de ahí el nombre de a priori.
¿Qué es la probabilidad frecuencial?
Es el valor fijo al que tienen las frecuencias relativas de ocurrencia del evento. Proporcionando probabilidades aproximadas además de dar resultados después del experimento.
La probabilidad frecuencial es una medida obtenida de la experiencia de algún fenómeno o experimento aleatorio que permite estimar a futuro un comportamiento. Sin embargo, no es definitiva, por lo que es importante saber interpretar los resultados que se obtienen.
La probabilidad frecuencial de un evento A, que se denotará P(A), se obtiene dividiendo el número de veces que ocurre el evento entre el número total de veces que se realizó el experimento.

P (A) =

Como el valor de la probabilidad es el de la frecuencia relativa, la probabilidad es un número entre 0 y 1, que puede expresarse en forma de fracción, número decimal y porcentaje.
PROBABILIDAD DE FRECUENCIA SUBJETIVA
El enfoque subjetivo de una probabilidad es adecuado en casos que hay solo una oportunidad de ocurrencia del evento y ocurrirá o no ocurrirá esa sola ves.
La probabilidad subjetiva se define así:
Dado un experimento determinado la probabilidad de un evento A, es el grado de creencia, asignado a la ocurrencia de este evento por un individuo en particular, basado en toda la evidencia a su disposición, con las siguientes exigencia:
Probabilidad subjetiva.
Hay determinados experimentos aleatorios que no son susceptibles de realizarse y sus resultados no son equiprobables. Imaginemos que se quiere determinar la probabilidad: de que la economía de España crezca en el próximo año un 3%; que las acciones de una empresa se revaloricen en un 10% en un mes; que una empresa presente suspensión de pagos; que un nuevo producto sea bien acogido en el mercado; que ocurra un accidente nuclear; etc.
En estas circunstancias, donde los experimentos solo se pueden realizar una vez o ninguna o que se puedan repetir pero en condiciones distintas, no son aplicables ninguna de las dos definiciones dadas anteriormente, por lo que no es posible asignar probabilidades mediante un procedimiento objetivo, debiendo recurrir a procedimientos de tipo subjetivo, a opiniones de expertos. En estos casos la probabilidad expresa un grado de creencia o confianza individual en relación con la ocurrencia o no de un determinado suceso. Se trata de un juicio personal sobre el resultado de un experimento aleatorio. Además debemos admitir la posibilidad de que distintos sujetos asignen probabilidades diferentes al mismo suceso. No obstante esta definición de probabilidad también satisface las tres propiedades vistas antes.
Ejemplos:
x→ Variable que nos define el número de burbujas por envase de vidrio que son generadas en un proceso dado.
x→0, 1, 2, 3, 4, 5, etc, etc. burbujas por envase
x→Variable que nos define el número de productos defectuosos en un lote de 25
productos.
x→0, 1, 2, 3,....,25 productos defectuosos en el lote
x→Variable que nos define el número de alumnos aprobados en la materia de
probabilidad en un grupo de 40 alumnos.
x→0, 1, 2, 3, 4, 5,....,40 alumnos aprobados en probabilidad
Con los ejemplos anteriores nos damos cuenta claramente que los valores de la variable x siempre serán enteros, nunca fraccionarios.
Variable aleatoria continua (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, porque los valores que toma son totalmente al azar y continua porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos.
Ejemplos:
x→Variable que nos define el diámetro de un engrane en pulgadas
x→5.0”, 4.99, 4.98, 5.0, 5.01, 5.0, 4.96
x→Variable que nos define la longitud de un cable o circuito utilizado en un arnés de auto
x→20.5 cm, 20.1, 20.0, 19.8, 20,6, 20.0, 20.0
x→Variable que nos define la concentración en gramos de plata de algunas muestras de mineral
x→14.8gramos, 12.0, 10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21. 0, 20.8
Como se observa en los ejemplos anteriores, una variable continua puede tomar cualquier valor, entero o fraccionario, una forma de distinguir cuando se trata de una variable continua es que esta variable nos permite medirla o evaluarla, mientras que una variable discreta no es medible, es una variable de tipo atributo, cuando se inspecciona un producto este puede ser defectuoso o no, blanco o negro, cumple con las especificaciones o no cumple, etc, etc. Las variables descritas anteriormente nos generan una distribución de probabilidad, las que pueden ser.
1)Distribución de probabilidad discreta.
2) Distribución de probabilidad continua
Valor esperado
El valor esperado es un concepto fundamental en el estudio de las distribuciones de probabilidad. Desde hace muchos años este concepto ha sido Aplicado ampliamente en el negocio de seguros y en los últimos veinte años ha Sido aplicado por otros profesionales que casi siempre toman decisiones en condiciones de incertidumbre.
Para obtener el valor esperado de una variable aleatoria discreta, multiplicamos cada valor que ésta puede asumir por la probabilidad de ocurrencia de ese valor y luego sumamos los productos. Es un promedio ponderado de los resultados que se esperan en el futuro.

Sea X una Variable Aleatoria que toma valores en un conjunto discreto (en un conjunto finito de números en uno infinito como: los naturales, los enteros o los racionales), por ejemplo si la variable aleatoria X toma los siguientes valores:

X = 0, 1, 2, 3, … decimos que es discreta

La probabilidad de que X tome cada uno de sus valores viene dada por la función de probabilidad:

P(X = i ), para i = 0, 1, 2, 3, ... ;

Sea P(X = i ) = pi para i = 0, 1, 2, 3, ... Se tiene que p1 + p2 + p3 +...+ pn +... = 1

Se define el Valor Esperado de una Variable Aleatoria con distribución discreta como:

µ = E(X) = ∑xf (x)

Y para una variable aleatoria con distribución continua como

−∞µ = E(X) = ∫ xf (x)dx∞
Varianza
Se podría usar un argumento parecido para justificar las fórmulas para la varianza de la población 2 σ y la desviación estándar de la población σ . Estas medidas numéricas describen la dispersión o variabilidad de la variable aleatoria mediante el “promedio” o “valor esperado” de las desviaciones cuadráticas de los valores de x a partir de su media µ .

Sea x variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad f(x) y media µ .

La varianza de x es: La varianza de x es: σ2 = E[( - X µ) ] =∑(x - µ)2 f (x)

Sea x variable aleatoria continua con distribución de probabilidad f(x) y media µ .

La varianza de x es : σ2 = E[( X -µ)2 ] = ∫ (x- µ)2 f x dx
La función de distribución se obtiene integrando la función de densidad y viene dada por:
Propiedades del modelo Uniforme

Su esperanza vale (b + a)/2

Su varianza es (b − a)2/12

La distribución normal fue estudiada por Gauss. Se trata de una variable aleatoria continua (la variable puede tomar cualquier valor real). La función de densidad tiene forma de campana.

Dos parámetros determinan una distribución normal: la media y la desviación típica. Cuanto mayor sea la desviación típica mayor es la dispersión de la variable.

La distribución normal es simétrica respecto de la media.

La media está representada por un triángulo y se puede interpretar como un punto de equilibrio. Al arrastrarlo se modifica también la media. El mismo efecto tiene el mover el punto correspondiente en la cúspide de la curva.

Arrastrando el otro punto sobre la curva (que es uno de los dos puntos de inflexión de la curva) se modifica la desviación típica.

Podemos ver la función de distribución acumulada y cómo cambia al modificar la media (simple traslación) y la desviación típica (reflejando la mayor o menor dispersión de la variable).
Distribución exponencial
A pesar de que la distribución Normal puede utilizarse para resolver muchos problemas en ingeniería y ciencias, existen aún numerosas situaciones que requieren diferentes tipos de funciones de densidad, tales como la exponencial y la gamma y algunas otras como la weibull, etc., etc., de momento solo trataremos sobre el uso de la exponencial.

Resulta que la exponencial es un caso especial de la distribución gamma, ambas tienen un gran número de aplicaciones. Las distribuciones exponencial y gamma juegan un papel importante tanto en teoría de colas como en problemas de confiabilidad. El tiempo entre las llegadas en las instalaciones de servicio y el tiempo de falla de los componentes y sistemas eléctricos, frecuentemente involucran la distribución exponencial. La relación entre la gamma y la exponencial permite que la distribución gamma se utilice en tipos similares de problemas.
La variable aleatoria x tiene una distribución exponencial, con parámetro b, si su función de densidad es:
Otras disposiciones empirica y geometrica
Los percentiles empíricos se calculan a partir de la función de distribución empírica definida por los Valores de la serie con la que se trabaja ordenada desde el valor menor al mayor, y asignando a cada alor ordenado su probabilidad calculada según la expresión: Prob (C£xi) = i/(N +1). Donde”i” representa el número de orden que ocupa el valor “x” en la serie de datos ordenada en orden creciente y “N” el números total de datos. La probabilidad correspondiente al 20, 40, 50, 60 ó 80 por ciento se obtienen por interpolación lineal, considerando las probabilidades asignadas a cada dato ordenado.
Ejercicio 4.2. Se pide calcular los valores de los percentiles 20 y 40 mediante la función de distribución Empírica, de la siguiente serie de valores:
102.2 96.3 377.7 119.9
221.1 32 153.8 199
261.9 58.7 160 209.8
270 60.4 171.9 142
138.3 83.5 172.1 148.5
13.5 289.4 183.6 269.4
18.1 299.9 197.9
118 110.5 300.7
Geométrica
Esta distribución es un caso especial de la Binomial, ya que se desea que ocurra un éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza del experimento, para obtener la fórmula de esta distribución, haremos uso de un ejemplo.
Ejemplo:
Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la probabilidad de que aparezca águila es de 2/3, mientras que la probabilidad de que aparezca sello es de 1/3, Determine la probabilidad de que en el último lanzamiento aparezca una águila.
Solución:
Si nosotros trazamos un diagrama de árbol que nos represente los 8 lanzamientos de la moneda, observaremos que la única rama de ese árbol que nos interesa es aquella en donde aparecen 7 sellos seguidos y por último una águila; como se muestra a continuación:
S S S S S S S A
Luego, la fórmula a utilizar cuando se desee calcular probabilidades con esta distribución sería;

Donde:
p(x) = probabilidad de que ocurra un éxito en el ensayo x por primera y única vez
p = probabilidad de éxito
q = probabilidad de fracaso
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