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MODELOS MATEMATICOS

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Jorge Mayo Hdez

on 16 May 2013

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Modelos Lineales 5 1 2 3 4 CLASIFICACIÓN
DE LOS MM 0 + - = 9 8 7 1 2 3 4 5 6 c 2.3. Modelos matemáticos basados en la naturaleza de las ecuaciones MODELOS Parámetros Distribuidos
vs
Parámetros Concentrados Tiempo Continuo
vs
Tiempo Discreto MODELOS MATEMATICOS: MM Son expresiones matemáticas que describen las relaciones existentes entre las magnitudes caracterizantes del sistema. Instituto Tecnológico Superior de Acayucan Estáticos vs Dinámicos Ingeniería Bioquímica Jorge Luis Mayo Hernández
Maria del Socorro Osorio Herrera Ingeniería de Procesos Dr. Cid Ramón González González 801-B 2.3.2. Modelos lineales y no lineales. Un modelo de un sistema es básicamente una herramienta que permite responder interrogantes sobre este último sin tener que recurrir a la experimentación sobre el mismo. Un modelo es una representación siempre simplificada de la realidad o de un prototipo conceptual. Los MM pueden ser:
Sistemas de ecuaciones
Inecuaciones
Expresiones lógico-matemáticas Todas estas formas vinculan variables matemáticas representativas de las señales en el sistema, obtenidas a partir de las relaciones entre las correspondientes magnitudes físicas Representación de una información a través de (un conjunto de) valores de una magnitud física. SEÑAL : Un MM se dice de tiempo continuo cuando las variables y las relaciones entre ellas están definidas para todo instante de tiempo (en el intervalo de validez o definición del modelo). Si existe un vinculo instantáneo entre las variables, el modelo se dice estático (ecuaciones con expresiones algebraicas, trascendentes, o funciones en general). Las magnitudes que caracterizan a los fenómenos físicos toman valores en el tiempo y en el espacio. Se tiene un modelo a parámetros concentrados cuando se reemplaza la dependencia espacial de las variables por su promedio en la región del espacio donde están definidas. Los modelos dinámicos son, típicamente ecuaciones en derivadas parciales. En cambio para los MM de tiempo discreto las relaciones entre las variables y entre ellas están definidas sólo en determinados instantes discretos de tiempo (MM de Sistemas Muestreados; MM de tiempo continuo discretizados a los efectos de su resolución numérica). El espacio desaparece como variable absoluta del modelo y los parámetros pasan a ser variables extensivas del modelo, se concentran en la región en cuestión. Los modelos dinámicos son, típicamente, ecuaciones diferenciales ordinarias. Si el vínculo entre las variables requiere no sólo su valor presente sino también sus valores pasados, el modelo se dice dinámico (ecuaciones diferenciales / en diferencias con el tiempo como variable absoluta ) Si un modelo matemático conserva la dependencia espacio-tiempo en la representación matemática de dichas magnitudes, el modelo se dice de parámetros distribuídos, Los MM No Paramétricos no pueden caracterizarse completamente con un número
finito de parámetros (Ejs.: La curva de la respuesta a un escalón de un sistema dinámico; la
curva de respuesta en frecuencia de un amplificador). Los MM Paramétricos se caracterizan completamente con un número finito de parámetros (Ejs.: una función transferencia; una ecuación diferencial). Paramétricos vs No Paramétricos
En los MM Lineales vale el principio de superposición o causas superpuestas

(p.ej., distintas entradas y/o condiciones iniciales originan la superposición de los correspondientes efectos.) Lineales vs No Lineales En los MM No Lineales el principio de superposición no vale.
Un MM es estacionario si responde al principio de desplazamiento temporal, i. e., toda acción sobre el sistema produce el mismo efecto (la misma respuesta del sistema) independientemente del momento en que comienza a ejercerse, si en ese momento el sistema se encuentra en las mismas condiciones. Estacionarios vs Inestacionarios UTILIZACIÓN: Los MM pueden ser utilizados para estudiar propiedades y/o predecir el comportamiento del sistema ante diferentes situaciones.

Existen dos grandes grupos de técnicas para tal fin: Análisis Teórico de los MM : Métodos matemáticos de análisis cualitativo (estabilidad, etc.) y cuantitativo (resolución de ecuaciones, etc.) ¨Análisis Experimental de los MM: Estudio de propiedades cuantitativas y cualitativas del MM mediante experimentos en equipos de cómputo programables Simulación o Matemática Experimental
programables MUCHAS GRACIAS!!!! Llamamos modelos lineales a aquellas situaciones que despues de ser analizadas matemáticamente, se representan por medio de una función lineal. En algunos casos nuestro modelo coincide precisamente con una recta; en otros casos, a pesar de que las variables que nos interesan no pertenecen todas a la misma linea, es posible encontrar una funcion lineal que mejor se aproxime a nuestro problema, ayudándonos a obtener informacion valiosa. Nuestro modelo lineal se puede determinar de manera gráfica o bien, por medio de una ecuación. Existe ocaciones en que a una de nuestras variables le pedimos que cumpla varias condiciones a la vez, entonces surge un conjunto de ecuaciones representa la solución de nuestro problemas Ejemplo del modelo lineal
y no lineal
Modelos no lineales Los sistemas de control generalmente se representan matemáticamente por medio de ecuaciones lineales, pero la verdad es que en la vida real la mayor parte de los sistemas son no lineales. La linealidad se puede perder en un sistema de control, por ejemplo por saturación , cuando el nivel de la señal de entrada o salida es muy elevado. Es importante que un sistema sea lineal porque solamente a los sistemas lineales se les pueden aplicar los principios de: a)El principio de la superposición el principio de la superpocision establece que cuando tengamos un sistema de control con varias señales de entrada actuando simultáneamente , podemos calcular la salida , trabajando con una entrada a la vez y sumando las salidas parciales obtenidas con cada entrada para calcular la salida total. b) El principio de la Proporcionalidad El principio de proporcionalidad establece que en cualquier sistema de control lineal la señal de salida es proporcional a la señal de entrada .lo anterior significa que si la salida aumenta la salida debe aumentar en la misma proporción Una ecuación no lineal es una ecuación de la forma: F (u) =0 Entre las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales hay varias diferencias importantes. Ya es conocido que las ecuaciones lineales no homogéneas de orden dos o superior tienen la propiedad de que una combinación lineal de soluciones también es una solución. Hay grandes clases de ecuaciones diferenciales y sistemas que tienen solución en algún intervalo. Sin embargo si una ecuación es no lineal, entonces generalmente no hay manera de hallar su solución Por esta razón es necesario buscar métodos para describir la naturaleza de una ecuación no lineal. Un modelo es una representación cualitativa y/o cuantitativa de un sistema, en el cual se muestran las relaciones predominantes entre sus elementos. Un modelo debe de incluir: los objetivos y procesos físicos , los símbolos y sus relaciones constituyen el modelo. VARIABLES. Son objetos o símbolos en el modelo, que representan a entidades o atributos del sistema que cambian en el tiempo durante el estudio. PARÁMETROS. En el modelo son objetos o símbolos que representan a entidades o atribuciones del sistema que permanecen constantes durante el estudio. Un modelo contiene los siguientes elementos: RELACIONES FUNCIONALES. Son los procesos físicos o las relaciones entre los símbolos de un modelo, que representan a las actividades y a las relaciones entre los elementos de un sistema. Describen la forma en que cambian las variables y como las afectan los parámetros. Los modelos matemáticos de sistemas estáticos (que no varían con el tiempo) consisten de ecuaciones algebraicas, mientras que las representaciones matemáticas de sistemas dinámicos y leyes físicas se integran mediante ecuaciones diferenciales. La precisión de los modelos matemáticos deben tomarse en cuenta los siguientes factores: La exactitud de los datos iniciales. Tomar en cuenta la discontinuidad de los datos y la magnitud de error de los mismos. Tipo de fenómeno a estudiar. Dependiendo del fenómeno y su importancia dependerá su precisión. Exactitud de las ecuaciones que rigen el fenómeno. Las ecuaciones mediante las que se ha formulado el modelo, pueden determinar un límite a la exactitud con que se podrá describir el fenómeno Forma de aproximar las ecuaciones. Partiendo de un sistema de ecuaciones con los consiguientes errores de truncamiento, la exactitud puede verse afectada. Evolución del modelado. Durante el proceso de cálculo, al cambiar el modelo en el espacio y en el tiempo, puede ocurrir que los errores que se producen se vayan transmitiendo o acumulando, con lo cual la precisión obtenida del modelo puede verse limitada. La secuencia del desarrollo de un modelo matemático consta de seis etapas: 1. descripción del fenómeno, planteándose las variables que intervienen y las hipótesis del comportamiento. 2. se plantean las ecuaciones que describen matemáticamente el fenómeno , las condiciones de frontera y la variabilidad de solución. 3. seleccionar el método de solución del modelo matemático, es decir la elección del algoritmo de cálculo. 4. la programación del algoritmo de cálculo para una computadora. 5. La calibración, verificación y validación del modelo 6. la explotación del modelo, utilización del mismo con base en datos de campo, de experimentos en laboratorios o de supuestos para obtener Existen muchas formas para la clasificación de modelos matemáticos. Para nuestros fines resulta más satisfactorio agrupar primeramente los modelos en parejas opuestas. Si la salida y, de un subsistema está completamente determinada por la entrada x, los parámetros del subsistema y las condiciones inicial y límite, pueden, en un sentido general, representar simbólicamente al subsistema por

y = Hx El operador H representa cualquier forma de conversión de x en y. Supóngase ahora que al subsistema se le aplican simultáneamente dos entradas separadas, de forma que

y = H(x1 + x2) = H(x1) + H(x2) = y1 + y2

 Por tanto, el operador H es, por definición, un operador lineal.  Modelos matemáticos basados en la naturaleza de las ecuaciones Un modelo es un esquema teórico, generalmente expresado en forma matemática, que representa una realidad compleja, y que se utiliza para facilitar su comprensión y estudiar su comportamiento. En consecuencia, el modelo de un evento se presenta en forma de ecuaciones matemáticas que relacionan a las variables que concurren en él. Linealidad quiere decir que todos los coeficientes solo son funciones de x y que todas sus derivadas están elevadas a la primera potencia. Entonces, cuando n = 1, la ecuación es lineal y de primer orden. Una ecuación no es lineal cuando no cubre los requerimientos de una ecuación lineal.
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