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Montecarlo en R

Simulación de Montecarlo usada para aproximar áreas y volumenes
by

Alcides Ramos

on 12 July 2015

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Transcript of Montecarlo en R

INTRODUCCIÓN
Representación esquemática del funcionamiento de un modelo de un determinado sistema real.




En ese sentido, los métodos de Montecarlo son métodos de simulación que usan números (pseudo) aleatorios para investigar el comportamiento de sistemas físicos y matemáticos y para otros tipos de cálculo.

Debido a que los algoritmos deben repetir los cálculos un gran número de veces, estos métodos requieren el uso de computadores y de diversas técnicas de simulación.
Área bajo la curva
SIMULACIÓN DE MONTECARLO EN R
Generación de Números y Variables (Pseudo) Aleatorios
Números Pseudo aleatorios, los cuales son generados mediante una fórmula; se tendrán cuenta los siguientes métodos:
En un ejemplo se tiene:
En general:
i) Queremos calcular:

ii) Tomamos n muestras xi, con distribución uniforme, en el intervalo [a, b].
iii) Estimador de Montecarlo: , entonces:
Integración de Montecarlo
IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO
Paso 1:
Crear un modelo paramétrico, y=f(x1, x2, x3, ..., xn).
Paso 2:
Generar datos aleatorios, ri =r1, r2, r3, ..., rn, uniformemente distribuidos en [0, 1].
Paso 3:
Usar ri para producir xi = x1, x2, x3, ..., xn, distribuida de acuerdo a la función de probabilidad (pdf) de la variable aleatoria en la que estamos interesados.
Paso 4:
Evaluar el modelo y almacenar los resultados como y.
Paso 5:
Repita los pasos 2 y 3 para i = 1 hasta n .
Paso 6:
Analizar los resultados con histogramas, estadísticas de resumen, los intervalos de confianza, etc.
La simulación es, por una parte, una manera económica y útil de experimentación.

La simulación tiene por objeto, duplicar características y comportamientos propios de un sistema real mediante la utilización de modelos matemáticos para así tomar la mejor decisión.

Simulación de Montecarlo
Conocer y entender la técnica cuantitativa y estadística del método de
Montecarlo
mediante la simulación de modelos matemáticos, para el análisis del comportamiento de un sistema basado en componentes aleatorios.

Ilustrar el uso de la
simulación de Montecarlo
para modelar comportamientos de aproximaciones, hallando el área bajo la curva (integración numérica).

Implementar Scrips y hacer uso de la función
montecarlo() en R
para el análisis de problemas de simulación.
OBJETIVOS
Se calcula el área bajo la curva con S del Método de Montecarlo
¿Cuantas simulaciones son necesarias para estimar S con 2 cifras significativas correctas?
Esto equivale a que el número de aciertos N’ con un 95% de confianza:
aproximado mediante una Normal:
Procedimiento de cálculo
Generadores Congruenciales
Generadores de Distribuciones de Probabilidad
Distribución Uniforme
Podremos considerar en el cuadrado de área 1 un número N de puntos aleatorios (x, y), y un número NE que aparecen dentro de la superficie a determinar.
Área bajo una Superficie
CONCLUSIONES
Montecarlo es un método directo y flexible; que permiten obtener aproximaciones cuando el modelo matemático es demasiado complicado.
Permite estudiar la interacción entre las diferentes variables.
Se encuentra el método, como una alternativa de aproximación efectiva.
La calidad de la aproximación tanto para el cálculo del área como del volumen depende de la cantidad de puntos aleatorios generados como de las simulaciones realizadas, al aumentar estas dos variables los resultados generados tendrán una mejor aproximación.
Aplicaciones en R
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO
ESCUELA DE POSTGRADO
DOCTORADO EN ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA
ESTADÍSTICA COMPUTACIONAL APLICADO A LA INVESTIGACIÓN
"Simulación de Montecarlo en R"
Grupo de trabajo:

• MORILLOS VALDERRAMA, Octavio
• VARGAS VALVERDE, Confesor Milán
• HUACASI VASQUEZ, Luis Hugo
• RAMOS CALCINA, Alcides
• TICONA CONDORI, Madeleine
• HUMPIRI FLORES, Milton Edward
PUNO, PERU
2015
SIMULACIÓN DE MONTECARLO
Antecedentes históricos
El método fue llamado así por el principado de Mónaco por ser “`la capital del juego de azar”, al tomar una ruleta como un generador simple de números aleatorios.

En el año 1949, Ulam y Neumann idearon una solución que esencialmente consistía en que una ruleta resolviera el problema propuesto.
¿Qué es la Simulación de Montecarlo?
El término Montecarlo se aplica a un conjunto de métodos matemáticos que se empezaron a usar en los 1940s para el desarrollo de armas nucleares.

Consisten en resolver un problema mediante la invención de juegos de azar cuyo comportamiento simula algún fenómeno real gobernado por una distribución de probabilidad o sirve para realizar un cálculo.
Fundamentos de la simulación de Montecarlo
Es un método iterativo de la evaluación de un modelo determinista utilizando números aleatorios como entradas.

Se utiliza a menudo cuando el modelo es complejo, no lineal, o implica algo más que un par de parámetros inciertos.

Una simulación por lo general puede implicar a más de 10,000 evaluaciones de la model.
Para crear un modelo exitoso mediante el método de Montecarlo debemos seguir la siguiente cadena:
El método
Pasos para realizar el método
Métodos no congruenciales
Métodos congruenciales
 Algoritmo de cuadrados medios
 Algoritmo de productos medios
 Algoritmo de multiplicador constante
 Multiplicativo
 Mixto
Hacia 1949, Lehmer introduce un método de generación de números pesudo-aleatorios, quién plantea Xi+1 = f(Xi).

La función aplicada es la siguiente:
- x0, es el valor inicial o semilla.
- a, multiplicador, siendo 0 < a < m.
- c, incremento, siendo 0 < c < m.
- m, módulo.
Al considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar una función matemática que asigne una probabilidad a cada realización x de la variable aleatoria X. Entre los métodos tenemos:
o Transformada inversa

o Rechazo

o Composición

o Convolución
Obtenida a partir del método de transformada inversa.
Donde:
a : límite inferior.
b : límite superior.
Ui : número aleatorio con distribución U[a,b].
Ri : número pseudo-aleatorio con U[0 , 1].
Distribución Normal
Obtenida a partir del método de convolución.
O bien mediante el método directo
:
Un uso común del método de Montecarlo es llevar a cabo la integración numérica en una función que puede ser difícil de integrar analíticamente.

Si x es una variable aleatoria con densidad f y g : R → R es una función, entonces el valor esperado de la v. a. g(x) es:
Así, por ejemplo, si se quiere calcular:

se establecerá un modelo estocástico de probabilidad.



Luego,
A = R.p donde R = M(b - a) área del rectangulo
Se generaran puntos (xi, yi) si:

Dentro de la curva, es un éxito "
E"
Fuera de la curva es un fracaso "
F"


El estimador de la probabilidad p será:

NE/N
,
con N= NE+NF.

El área será aproximadamente:
• Resultados probabilísticos.

• Resultados gráficos.

• Análisis de sensibilidad.

• Análisis de escenario.

• Correlación de variables de entrada.
Ventajas del Método
Del ejemplo aplicativo, calcular:

Gráfica de la función f(x).







Siempre podremos considerar que el área se encuentra inscrita en un cuadrado de área 1.
Si generamos 10 números aleatorios para x e y, se tiene la siguiente tabla:









con M igual al máximo f(x) generado, entonces M = 0.8261, Por tanto el área estimada sería:
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