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Gebrochenrationale Funktionen

Referat 13/2 - Mathe Leistungskurs
by

lipil lipil

on 6 February 2013

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Transcript of Gebrochenrationale Funktionen

Gebrochen-
rationale Funktionen von A bis Z Was sind gebrochenrationale Funktionen? vereinfacht: Funktionen mit einem Bruch
aus Polynomen genauer: Funktionen mit einem Bruch und einem Grad der Nennerfunktion von mindestens 1 Z(x) N(x) f(x) = Bsp.: f(x) = 0,2x + x + 3 x - 2 3 Wie sieht eine gebrochenrationale Funktion aus? 0,2x + x + 3 x - 2 3 f(x) = Analyse einer gebrochenrationalen Funktion 1. Definitionsbereich
2. Symmetrie
3. Asymptoten
- senkrechte
- waagerechte / schiefe
4. Nullstellen
5. Verhalten am Rand des
Definitionsbereichs
6. Extremstellen
7. Wendepunkte Definitionsbereich Nennerfunktion auf Nullstellen untersuchen f(x) = Z(x) N(x) Wenn Nenner gleich Null, dann ist die Funktion nicht lösbar! (duch Null dividieren) N(x) = 0 ID = IR { x } max 0 Bsp.: N(x) = x - 2 ID = ??? max Symmetrie zum Koordinatensystem Punktsymmetrie: y-Achsensymmetrie: f(x) = -f(-x) f(x) = f(-x) Asymptoten senkrechte Asymptoten: liegen bei den Definitionslücken
wenn es keine hebbaren Lücken sind waagerechte Asymptoten: Zählergrad < Nennergrad
a(x) = 0 schiefe Asymptoten: Zählergrad > Nennergrad Polynomdivision der ganzrationale Rest entspricht dem
Term der Asymptotenfunktion Verhalten des Graphen für
x = + - vereinfacht: die Geraden, an die sich der Graph im unendlichen annähert Verhalten am Rand des Definitionsbereichs Nullstellen f(x) = 0
wenn Z(x) = 0
und dieser x-Wert in der Definitionsmenge liegt Polstelle mit Vorzeichenwechsel ohne Vorzeichenvechsel Hebbare Lücke wenn Nennernullstelle = Zählernullstelle einfache Polstelle doppelte Polstelle idR. wenn Nennernullstellen
= Zählernullstellen Extremstellen f'(x) = 0
f''(x) > 0 Tiefpunkt
f''(x) < 0 Hochpunkt
f''(x) = 0 Sattelpunkt Wichtige Ableitungsregel: Quotientenregel f(x) = ; f'(x) = v(x)
u(x) v'(x) u(x) v(x) u'(x)
(u(x)) * * - 2 Wendepunkte f''(x) = 0 notwendige -/
f'''(x) = 0 hinreichende
Bedingung liegt idR. zwischen zwei Extrempunkten
Ausnahme: Sattelpunkt Sattelpunkt Wendepunkt Nützliche Methode während man die Aufgabe bearbeitet: Zeichnung
/ Skizze Auflistung der wichtigen Ergebnisse Übersicht hebbare Lücke PS ohne
VZW PS mit
VZW Abiturvorbereitung Gebrochenrationale Funktionen 1. Betrachtet wird die Funktionenschar f :x t x² - 2t 2x ; t IR a) Untersuchen Sie auf Symetrie, bestimmen Sie die Asymptoten und untersuchen Sie das Verhalten für x ID (!!Fallunterscheidung).
Zeichnen Sie die Asymptote in das Koordinatensystem von Aufgabe 1e). ID : N(x) = 0
2x = 0
x = 0
ID = IR \ {0} max max (-x)² - 2t 2(-x) x² - 2t 2x f(x) = -f(-x) = - x² - 2t 2x -> Punktsymetrisch Fallunterscheidung x² - 2t 2x = x² 2x für t = 0 Polynomdivision
Z(x) : N(x) =
a(x) = x 1
2 Hebbare Lücke für t = 0
bei x = 0 für t = 0 Z(x ) = 0
N(x ) = 0
x = x 0 0 0 0 Nennernullstelle ist einfache Nullstelle
einfache Polstelle
mit Vorzeichenwechsel von rechts:

f(x+h) = (x+h)² - 2t 2(x+h) nun sei x = 0 und h 0 Fallunterscheidung:
Polstelle mit VZW von + nach - für t > 0
Polstelle mit VZW von - nach + für t < 0 senkrechte Asymptote b) Untersuchen Sie f auf Nullstellen.
Für welche t gibt es Nullstellen? t Senkrechte Asymptoten Waagrechte / schiefe
Asymptote schiefe Asymptote Z(x) = 0
x = 2t 1/2 + - Fallunterscheidung:
Nullstellen nur für t > 0 c) Bestimmen Sie den Funktionsterm der 1. Ableitung.

Zwischenergebnis: f '(x) =

Unter welchen Winkel schneiden die Funktionsgraphen zu f die x-Achse. x² + 2t 2x² Ableitung mithilfe der Quotientenregel bilden. Herleitung:
Schnittwinkel der Tangenten mit der x-Achse x-Achse Tangente ß f'(x) 1 tan ß = f'(x)
1 tan ß = 1
ß = 45° für beide Nullstellen
(Symetrie beachten) d) Bestimmen Sie Lage und Art der Extrempunkte.
Für welche t kann es nur Extrempunkte geben? x² + 2t 2x² = 0 x = -2t + - 1/2 Fallunterscheidung:
- keine Extrempunkte für t > 0
- keine Extremstellen für t = 0 (da x = 0 eine Definitionslücke)
- Extrempunkte für t < 0 bei x = -2t + - 1/2 f'(x) = 0 f''(x) = 0 Für gibt es eine Tiefstelle bei x = -2t + 1 TP ( | ) -2t + -2t -2t Hochpunkt entsprechend der Punktsymetrie e) Notieren Sie in einer Tabelle für t=-2;2; die Koordinaten der Extrempunkte und Nullstellen. Skizzieren Sie mit Hilfe dieser Tabelle die Graphen zu f ;f in ein Koordinatensystem. TP ( | ) -2t + -2t -2t f) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Funktion g auf deren Graphen alle Tiefpunkte liegen und zeichnen sie deren Graphen in das Koordinatensystem von Aufgabe e). Vorgehensweise:
- x-Wert des Tiefpunkts nach t auflösen
diesen Wert für t im y-Wert des Tiefpunkts für t einsetzen Allgemeiner Tiefpunkt: Wegegraphen der Tiefpunkte:
g(x) = x g) Bestimmen Sie mögliche Schnittpunkte von
Graphen der Schar. f (x) = f (x) ; t = t t t 1 2 1 2 x² - 2t 2x x² - 2t 2x = 1 2 t = t 1 2 keine gemeinsamen Schnittpunkte der Schar h) Für welches t liegt ein Sonderfall der f vor? Machen Sie Aussagen über den Definitionsbereich, Pole und Lücken. Zeichnen Sie den dazu gehörigen Graphen. t Sonderfall bei t = 0

Definitionsbereich ID = IR \ {0}

keine Pole, sondern hebbare Lücke bei (0|0) i) Die Funktionsgraphen zu f und die x-Achse schließen [im] I.Quadranten im Intervall [ 2t ;c] c > 2t ein Flächenstück A (c) [ein]. Bestimmen Sie die Maßzahl von A (c). t t t Integral bilden: x² - 2t 2x x²
2x 2t
2x = - = x - t 1
2 1
x t x² - 2t 2x x² - 2t 2x 1
2 1
x x² - 4t ln|x|
4 = * Fläche des Intervals:

A (c) = [F (x)] t t 2t c F (x) = dx = x dx - t dx j) Diese Flächen rotieren um die x-Achse. Bestimmen Sie die Maßzahl der Volumen. V = II (f(x))² dx R * 2 Binomische Formel! k) Für x > 2t schließen die Funktionsgraphen und die Asymptote Flächen ein, die ins Unendliche ragen. Bestimmen Sie die Maßzahl dieser Flächeninhalte, fals der Grenzwert existiert. gilt nur für t > 0 A(x) = a (x) dx - f(x) dx lim A(x) = b 2t 2t b b Kein Grenzwert! l) Bestimmen Sie die allgemeinen Koordinaten der Punkte S, der Graphen von f , welche die kleinste Entfernung vom Koordinatenursprung haben. Bestimmen Sie für t=2 und t=-2 die Maßzahl der kleinsten Entfernung vom Ursprung. t Optimierungsaufgabe 1. Hauptbedingung:
Strecke OS soll minimal werden 2. Nebenbedingungen:
- S liegt auf f (x)
- OS = c
- c² = a² + b²
- a = x
- b = f (x) für t > 0
und b = -f (x) für t < 0 3. Umformen wobei gilt: c ~ c²
wenn also c² minimal ist, dann ist auch c minimal! 4. Extremwertanalyse x = + - 1/2 4 t²
3 + - 4 t²
3 Allgemeiner Koordinatenpunkt: S = ( | ) 4 t²
3 + - t²
3 - 2t t = 2;-2 einsetzen Noch Fragen? Danke für die Aufmerksamkeit
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