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RESISTENCIA DOS MATERIAIS II - 1º AVAL.

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by

flavio silveira

on 2 September 2015

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Transcript of RESISTENCIA DOS MATERIAIS II - 1º AVAL.

σ max = M c
I
τ*t*dx = dM y dA
I

dF = dM y dA
I

τ = -V/tI *ʃydA => Tensão média onde:

ʃyda = Q - 1º momento de área em relação ao eixo neutro da área A ao eixo neutro da secção. = y’

Eixo neutro = Σ yA = y Q = y´*A
ΣA

τmed = V * Q
I * t

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Prof. Flávio Silveira

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Prof. Flávio Silveira

TORÇÃO DE SEÇÕES – pag. 125

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

1 -TENSÕES NORMAIS EM VIGAS - exemplo

1 -TENSÕES NORMAIS EM VIGAS

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Flávio Silveira

Prof. Flávio Silveira

OBJETIVOS:
Análise e projeto de vigas e pilares,

Estudar as relações entre:

Cargas aplicadas
e
Tensões e deformações internas em um corpo elástico

JUSTIFICATIVA:
Exprimem os fundamentos básicos para:
o projeto e
dimensionamento

De estruturas de construção e elementos de máquinas nos campos da Engenharia Civil e Mecânica.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

7-TENSÕES DE FLEXÃO EM VIGAS COMPOSTAS
Seção 6.6 – pag.224 – Hibbeler 7º edição

MÉTODO DA SEÇÃO TRANSFORMADA: HIBBELER


1 – transformar a secção com o equivalente ao material mais rígido.
n = Emenor / Emaior => fator de transformação

2 - definir o novo centroide

3 – definir novo momento de inercia.

4 – calcular as tensões.

σ = n σ’

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Prof. Flávio Silveira

7-TENSÕES DE FLEXÃO EM VIGAS COMPOSTAS
Seção 6.6 – pag.224 – Hibbeler 7º edição

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Prof. Flávio Silveira

tg (α) = Iz tg (ϴ)
Iy
7 - FLEXÃO ASSIMETRICA Pag 216 cap 6,5

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Prof. Flávio Silveira

ORIENTAÇÃO DO EIXO NEUTRO

COMO NO EIXO NEUTRO AS TENSÕES SÃO = 0  ENTÃO Mz y = My z
Iz Iy

y = My Iz z como Mz = M cos(ϴ) e My = M sen(ϴ)
Mz Iy

Temos: y = Msen(ϴ) * Iz Como y / z = Tg (α) -> inclinação da reta N-A
z Mcos(ϴ) * Iy

tg (α) = Iz tg (ϴ)
Iy

Onde (α) é o ângulo que o eixo neutro faz com eixo z (positivo medido +z -> +y)

Ângulo (ϴ ) de M é positivo quando medido do eixo +z na direção do eixo +y

Portanto (ϴ) < (α) < 90º

7 - FLEXÃO ASSIMETRICA Pag 216 cap 6,5

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Prof. Flávio Silveira

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

2 -TENSÕES DE CISALHAMENTO

Prof. Flávio Silveira

CONCLUSÕES

A TENSÃO DE CISALHAMENTO DIMINUI NAS EXTREMIDADES

A TENSÃO DE CISALHAMENTO É MÁXIMA NO EIXO NEUTRO

A TENSÃO DE CISALHAMENTO É PARABOLICA AO LONGO DE Y

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

REAÇÕES DE APOIO

Prof. Flávio Silveira

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

REAÇÕES DE APOIO

Prof. Flávio Silveira

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

AÇÕES DE CARREGAMENTO

Prof. Flávio Silveira

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

SECÇÃO

Prof. Flávio Silveira

Prof. Flávio Silveira

PRE-REQUISITO FUNDAMENTAL:

CALCULO DO MOMENTO DE INERCIA
Momento de inercia é uma grandeza que mede a resistência que uma determinada área oferece quando solicitada ao giro em torno de um determinado eixo.
Normalmente é representado pelas letras I e J.
Assim a resistência que a figura oferece ao giro em torno do eixo z ´e representada pela equação 1 e em torno do eixo y ´e representada pela equação 2.
Nestas equações dA ´e um elemento de área infinitesimal, z ´e a distância do elemento de área ao eixo y e y ´e a distância do elemento de area ao eixo z.


Jz = ʃ y² dA.....................(2.19)

Jy = ʃ z² dA.................... (2.20)







RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

EXEMPLO 6.18 pag. 219

Achar a tensão nos pondtos B , C , D, E PARA UM MOMETNO DE 12KN*m

MOMENTO APLICADO ARBITRARIAMENTE

7 - FLEXÃO ASSIMETRICA Pag 216 cap 6,5

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Prof. Flávio Silveira

1 – determine a seção para calculo
2 – determine as reações relativas ao centroide.
3 - determinar as tensões devido a cada carga
4 - faça a superposição das cargas para obter os resultados.

EXEMPLO 8,4

6 – ESTADO DE TENSÃO CAUSADO POR CARGAS COMBINADAS

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Prof. Flávio Silveira

1 – determine a seção para calculo
2 – determine as reações relativas ao centroide.
3 - determinar as tensões devido a cada carga
4 - faça a superposição das cargas para obter os resultados.

FORÇAS EXTERNAS - CARGAS COMBINADAS

MOMENTO AXIAL....................Tensão de torsão
CARGAS AXIAIS........................Tensão Normal
CARGAS TRANSVERSAIS...........Tensão Cortante, Tensão Normal e cisalhamento

METODO DA SUPERPOSIÇÃO – somatória das tensões resultantes provocado pelas cargas

6 – ESTADO DE TENSÃO CAUSADO POR CARGAS COMBINADAS Pag 304 cap 8,2

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Prof. Flávio Silveira

Momento Polar de Inercia de um eixo
J = π * c4
2

Momento Polar de Inercia de um tubo

J = π * (c4 - ci4)
2

EXEMPLO 5.3 pag 131

TORÇÃO DE SEÇÕES – pag. 125

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

dx
Separando uma porção do elemento

Quando aparecem tensões de cisalhamento em vigas ?

Qual a diferença entre TRANSVERSAL X LONGITUDINAL

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
O QUE PRECISAMOS SABER PARA DIMENSIONAMENTO DOS CORPOS ?
Prof. Flávio Silveira
QUAL A INFLUENCIA DO MATERIAL ?


QUAL A INFLUENCIA DA SECÇÃO ?


COMO AS FORÇAS AGEM NAS VIGAS E PILARES ?

COMO OS CORPOS REAGEM ?

Prof. Flávio Silveira

PRE-REQUISITO FUNDAMENTAL:
CALCULO DE CENTROIDE:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Determinar para figura ao lado:

Ix =
Iy =
Ixy =

Produto de Inercia = Ixy = ʃ xy dA (=0 para eixos em simetria)
A
Como no momento de inercia, o produto de inercia para área compostas é:

Ixy = Ix’y’ + A dx dy

7 - FLEXÃO ASSIMETRICA Pag 216 cap 6,5

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Prof. Flávio Silveira

ANEXO A– PAG.568 Propriedades geométricas de uma área
A.4 – Momento de Inercia para um área em torno de eixos inclinados.
Momentos principais de inercia - Determinação da orientação dos eixos x’ e y’ onde
os momentos de inercia da área Ix e Iy são máximos e mínimos.

7 - FLEXÃO ASSIMETRICA Pag 216 cap 6,5

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Prof. Flávio Silveira

INDEPENDENTE DA DIREÇÃO DO MOMENTO APLICADO, AS EQUAÇÕES 6.14 6.15 E 6,16 SEMPRE SERÃO SATISFEITAS.
(a,b) Eixos de inercia (c,d) eixos y e z deslocados

Todos os eixos passam pelo centroide da secção.
7 - FLEXÃO ASSIMETRICA Pag 216 cap 6,5
1 – determine a seção para calculo
2 – determine as reações relativas ao centroide.
3 - determinar as tensões devido a cada carga
4 - faça a superposição das cargas para obter os resultados.

EXEMPLO 8,5

6 – ESTADO DE TENSÃO CAUSADO POR CARGAS COMBINADAS

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Prof. Flávio Silveira

1 – determine as cargas internas
2 – Determine a tensão Normal média
3 – Determine a Força Normal Interna
4 – Determine a força de Cisalhamento
5 – Determine o Momento Interno
6 – Determine o Momento de Troção
7 – Faça a superposição das tensões.

QUAL A TENSÃO NOS PONTOS B e C

ESTADO DE TENSÃO CAUSADO POR CARGAS COMBINADAS pag. 304

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Prof. Flávio Silveira

Convenção de Sinais
Direções Positivas
carga distribuída para baixo
Cortante interna provoca rotação horaria
Momento interno comprime fibras superiores

Validade das equações será dentro da faixa de
descontinuidade das cargas:
X1 ---------- A-B
X2 ---------- B-C
X3 ---------- C-D

Procedimento de calculo:
Reações de Apoio
Função de Cisalhamento
Função de Momento fletor
Diagrama força cortante
Diagrama Momento fletor.

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

EQUAÇÕES DO MOMENTO FLETOR E FORÇA CORTANTE Hibbeler, 7ºEd., Pg.181

Prof. Flávio Silveira

No ponto A temos influencia de Mz e My σ = - Mz y + My z
Iz Iy

MOMENTO APLICADO ARBITRARIAMENTE

7 - FLEXÃO ASSIMETRICA Pag 216 cap 6,5

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Prof. Flávio Silveira

Determinação do eixo neutro.

1 – determine a seção para calculo
2 – determine as reações relativas ao centroide.
3 - determinar as tensões devido a cada carga
4 - faça a superposição das cargas para obter os resultados.

EXEMPLO 8,6

6 – ESTADO DE TENSÃO CAUSADO POR CARGAS COMBINADAS

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Prof. Flávio Silveira

Determinar o espaçamento máximo entre
Os pregos em B e em C sendo que cada prego
Suporte 30N de cisalhamento.
EXEMPLO 7.5 pag. 279

q = V Q
I

FIGURAS COMPOSTAS LIGADAS POR ELEMENTOS DE FIXAÇÃO – COLA, PREGO ETC.

FLUXO DE CISALHAMENTO EM ESTRUTURAS COMPOSTAS POR VÁRIOS ELEMENTOS – pag. 276 [ q ]

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

7 - FLEXÃO ASSIMETRICA Pag 216 cap 6,5

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Prof. Flávio Silveira

Como: σ = σ max
- y c

A formula da flexão impunha que o momento internos resultante M agisse ao logo do eixo neutro Fig. 6.31 seções T e U tem pelo menos 1 eixo de simetria.

Figura (a) = seção assimétrica. Resultantes = 0

7 - FLEXÃO ASSIMETRICA Pag 216 cap 6,5

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Prof. Flávio Silveira

Como σ = - My
I

7.2

q = V Q
I

Sabendo que:
q = dF / dx

Dividindo por dx

FIGURAS COMPOSTAS LIGADAS POR ELEMENTOS DE FIXAÇÃO – COLA, PREGO ETC.

FLUXO DE CISALHAMENTO EM ESTRUTURAS COMPOSTAS POR VÁRIOS ELEMENTOS – pag. 276 [ q ]

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Eixo neutro

y

y’

ÁREA
2 -TENSÕES DE CISALHAMENTO TRANSVERSAL 7 Pag.262
Somatória das forças em x = 0

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

dx

dM = -V * dx
-V = dM / dx

Prof. Flávio Silveira

-V

DA LEI DE HOOKE TEMOS σ = E * ε => ε = σ/ E
Conhecemos o ρ ?

σ = -y Portanto: σ = -yE ou 1 = σ
E ρ ρ ρ E(-y)

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

1 -TENSÕES NORMAIS EM VIGAS

Prof. Flávio Silveira

Não – Então teremos que resolver com o equilíbrio de forças no interior do elemento

Prof. Flávio Silveira

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

AVALIAÇÕES:

COM CONSULTA SOMENTE AO LIVRO

Qualquer outro material deve ser eliminado inclusive o celular

SISTEMATICA DE CORREÇÃO

Serão consideradas respostas erradas:

Respostas com erro de dimensão.

Respostas sem calculos.

Respostas com erro de virgula.

Respostas sem identificação.


Acarretará em perda de pontos na prova:
Desorganização dos calculos e respostas

Resolução de calculos sem a sequencia de operações que levou a resposta.


Como σ = -y σ max
c

lembrando que y²dA = I

teremos:

7 - FLEXÃO ASSIMETRICA Pag 216 cap 6,5

b/h = 0,5 τ max = 1,03 τmed


b/h = 2,0 τ max = 1,40 τmed

LIMITAÇÕES DO USO DA FORMULA DE CISALHAMENTO LONGITUDINAL

1 = M σ = -M
ρ EI E(-y) EI
2º Momento de área = Momento de inercia

M = - ʃ (yE/ρ) y dA
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Prof. Flávio Silveira
1 -TENSÕES NORMAIS EM VIGAS

M = ʃ (σ) y dA = 0
EXEMPLO 6.22 pag.228

7-TENSÕES DE FLEXÃO EM VIGAS COMPOSTAS

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Prof. Flávio Silveira

Tensão do aço = 168 Mpa Tensão da madeira = 21 Mpa

E aço = 200 Gpa E mad = 12 Gpa

Iz = 7,93 x 106 mm4

A = 5.493,75 mm²

QUAL O MOMENTO MÁXIMO RESISTENTE:
SEM A MADEIRA E
COM A MADEIRA

EXEMPLO 6.21 pag.227

7-TENSÕES DE FLEXÃO EM VIGAS COMPOSTAS

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Prof. Flávio Silveira

Mesma deformação mas tensões diferentes devido ao E diferente.

Se E1 for mais rígido que E2 – ele suportará a maior parte da carga

σ = E1 * ε

FATOR DE TRANSFORMAÇÃO: n = E1 / E2

Corte m n

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Quando aparecem tensões normais em vigas ?
1 -TENSÕES NORMAIS EM VIGAS
Reações internas.

Prof. Flávio Silveira

du

-y

FLEXÃO
TRAÇÃO
COMPRASSÃO

Dividindo por dx temos

dx

ρ

Tg (dϴ) = dx / ρ 1 = dϴ
ρ dx
du = -y dϴ => ε = -y
dx dx ρ
QUANDO APARECEM TENSÕES NORMAIS EM VIGAS ?

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

1 -TENSÕES NORMAIS EM VIGAS

Prof. Flávio Silveira

Tg (dϴ) = du/-y du=-y dϴ
x
PROBLEMAS – pag. 272 – 276 7.1 a 7.30

EXEMPLOS – pag. 269 - 272

dF = dM y dA
dx dxI

E = Módulo de Elastidade
Tensões Resistentes
dos Materiais:
T.escoamento
T.ruptura
T.cisalhamento
I - momento de inercia
W - momento resistente
r - raio de giração
c - centroide
A - área
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Prof. Flávio Silveira
PRÉ-REQUISITO FUNDAMENTAL
ANALISE DIMENSIONAL

Pa = N/m² (dimensão padrão)
Kpa = KN/m² = 10³ N/m²
Mpa = MN/m² = 10 N/m² = N/mm²

Conselho: fazer os calculos com a menor
dimensão que o problema informa.

6
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Prof. Flávio Silveira
PRÉ-REQUISITO FUNDAMENTAL
CAP 1 Hibbeler
Tensão.....1.1 a 1.7
CAP 2 Hibbeler
Deformação.....2.1 a 2.2
CAP 3 Hibbeler
Propriedade....3.4
CAP 6 Hibbeler
Flexão....6.1 e 6.2
Determinação do:
Momento e Cortante máximo da secção
Equação do Momento e Cortante da secção
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Prof. Flávio Silveira
ANEXO A Propriedades Geometricas
Trabalho de Disciplina.

Analise e aplicação do conteúdo
da disciplina em trabalhos praticos
de situações reais para identificação
de cargas e dimensionamento de
elementos da estrutura.

Programa de estudo:

1-Formulação da hipótese de cargas atuantes

2-Formulação da hipótese dos apoios

3-Determinação das Equações de Momento e Força Cortante ou Momento Máximo e Cortante Máximo.

4-Identificação do Material

5-Identificação das Propriedades Geometricas

6-Calculo da Tensões Internas.

7-Verificação e Controle.
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Conclusão:

As equações 6.14 a 6.16 sempre serão satisfeitas se os eixos passagem no centroide.
Independete da direção do Momento aplicado
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'
2 -TENSÕES DE CISALHAMENTO TRANSVERSAL 7 Pag.262
2 -TENSÕES DE CISALHAMENTO TRANSVERSAL 7 Pag.262
Mmax = V=0
M = 0 = Vmax

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2 -TENSÕES DE CISALHAMENTO TRANSVERSAL 7 Pag.262
2 -TENSÕES DE CISALHAMENTO TRANSVERSAL 7 Pag.262
2 -TENSÕES DE CISALHAMENTO TRANSVERSAL 7 Pag.262
2 -TENSÕES DE CISALHAMENTO TRANSVERSAL 7 Pag.262
Graduações
Eng. Mecânico Unifacs
Tec. Mec. Projetos Fatec

Pós
Analise Sistemas Mackenzie
Marketing Unifacs

www.fseng.com.br
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Prof. Flávio Silveira
Vigas solicitadas 'a flexão

Vigas/pilares solicitadas a Tração/Compressão
Alongamento da fibra
M = - E/ρ (ʃ y² dA) Portanto M = -E I / ρ
σ = My
I

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Prof. Flávio Silveira
1 -TENSÕES NORMAIS EM VIGAS

σ = My
I

MOMENTO DE INERCIA
e
MOMENTO RESISTENTE
I = W * c
mm4 = mm3 * mm
σ = My σ = M
Wc W

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Prof. Flávio Silveira
1 -TENSÕES NORMAIS EM VIGAS

PROJETO DE VIGAS
Vigas são elementos estruturais projetados para suportar cargas aplicadas perpendicularmente a seus eixos longitudinais.
DEVIDO AS CARGAS APLICADAS, SURGEM INTERNAMENTE:

Tensões de cisalhamento

Momento fletor = Tensões normais
Para projetar uma viga com base na resistencia, exigi-se que as tensões de flexão e de cisalhamento verdadeiras não ultrapassem aquelas admissiveis para o material.
PROJETO DE VIGAS
Um projeto para flexão requer a determinação do MODULO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO (S ou J) da viga, que é a relação entre I e c, isto é:

J ou S = I/c [cm³/mm³]

Pela forumula T = Mc / I Temos:

S req = Mmax
Tadm

PROJETO DE VIGAS
Peso proprio da viga -> Num primeiro momento será desprezado.

Todavia, se o momento adicional provocado pelo peso proprio tiver que ser incluido no projeto, o S escolhido terá que ser ligeriamente maior que o Sreq.

Tadm = Te/n
Seções simetricas = Usa-se para calculo o maior momento

Seções assimetricas = tensões diferentes abaixo e acima da LN.
Calcular as tensões ao maior momento positivo e negativo.

PROJETO DE VIGAS
Uma vez selecionada a viga, (J/S) devemos usar a formula da tensão de cisalhamento:

Tc = V*Q
I t
Para comparar com a Tc adm do material

Casos criticos em vigas curtas com altas cargas concentradas.

PROJETO DE VIGAS
Vigas fabricadas AISC:
http://www.metalica.com.br/perfis-de-aco
Metodos de fabricação de perfis metalicos
Laminados a quente ou a frio
Dobrados
Fabricados
Americam Institute of Steel Construction
PROJETO DE VIGAS
Exemplo 11.1 - pag. 404

Exemplo 11.2 - pag. 405

Problema 11.2 - pag. 407

Problema 11.4 - pag. 407

7 - FLEXÃO ASSIMETRICA Pag 216 cap 6,5

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Prof. Flávio Silveira

Exemplo 6.18
A seção transversal retangular mostrada na figura 6.35a está sujeita a um momento fletor M = 12 KN*m.
Determine a tensão normal desenvolvida em cada canto da seção e especifique a orientação do eixo neutro.
7 - FLEXÃO ASSIMETRICA Pag 216 cap 6,5

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Prof. Flávio Silveira

Exemplo 6.19
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