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Forma generalizada de la ecuación de los tres momentos

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Jean Pierre Cordero Loor

on 4 August 2015

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Transcript of Forma generalizada de la ecuación de los tres momentos

VIGAS CONTINUAS Y MARCOS

Como la viga “real” es continua sobre los soportes, la viga conjugada tiene articulaciones en L,C y R. Mediante el principio de la superposición, los diagramas M/EI para las cargas aplicadas y para cada uno de los momentos internos se muestran, para mayor claridad, separados en las. En particular, /EI y /EI representan el área total bajo sus respectivos diagramas M/EI, , localizan sus centroides. Como la pendiente de la viga real es continua sobre el soporte central, se requiere que las fuerzas cortantes para la viga conjugada. Sumando momentos respecto al punto para los segmentos izquierdos, tenemos:


La ecuación de los tres momentos fue desarrollada por el ingeniero francés Clapeyron en 1957. Esta ecuación relaciona los momentos internos de una viga continua en tres puntos de soporte con las cargas que actúan entre los soportes.
Se representa parte de una viga sometida a una carga cualquiera y soportada de forma arbitraria. Cortando la viga en tres puntos cualesquiera 1,2 y 3 y sustituyendo el efecto de las cargas y fuerzas a la derecha o a la izquierda de cada sección de corte por la fuerza cortante y momento flexionante.
Las reacciones del primer estado (cargas reales sobre el claro, que se considera apoyado) se calculan por las ecuaciones de equilibrio estático, y lo mismo para las del segundo, que forman un par de reacciones iguales y opuestas R’ que equilibran el par M1 y M2.
Una forma general de la ecuación de los tres momentos puede obtenerse al considerar un segmento de una viga continua , que pasa sobre los soportes izquierdo, central y derecho ,L,C y R. Las cargas entre los soportes son arbitrarias y a los momentos internos desconocidos en los soportes se les llamara ,


Además, la parte izquierda de la viga tiene propiedades geométricas ; la parte derecha tiene propiedades . Se supone que los soportes no sufren asentamientos. Queremos determinar los momentos internos en L,C y R, que actúan e las direcciones definidas como positivas sobre la viga . La derivación se basara en el método de la viga conjugada.

FORMA GENERALIZADA DE LA ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS
DIAGRAMAS DE CARGAS
DIAGRAMAS DE CARGAS
Las fuerzas cortantes en los extremos de cada tramo serán, para el extremo izquierdo, igual a la suma de las reacciones de los dos estados, y para el extremo derecho igual numéricamente, pero de signo contrario.
se representan los diagramas de cuerpos libres correspondientes a los tramos o segmentos de viga entre las secciones 1 y 2 y entre la 2 y 3.
En estas condiciones, el diagrama de momentos flexionantes en cada tramo de la viga se resuelve por partes en el diagrama que producen las carga existentes sobre el tramo.
La siguiente ecuación expresa una relación general entre los momentos flexionantes en tres puntos cualesquiera de la viga, razón por la cual se la llaman ecuación de los tres momentos, cuando los puntos 1,2 y 3 están al mismo nivel en la viga deformada, las alturas h1 y h3 de la figura se anulan, y lo mismo ocurre en el segundo miembro de la ecuación.
ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS
suponiendo que el tramo estuviera simplemente apoyado en sus extremos, más el diagrama trapezoidal producido por los pares aplicados en los extremos de la misma viga.
TÉRMINOS QUE INTERVIENEN EN LA ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS
La utilidad de la ecuación de los tres momentos depende de la facilidad con que se puedan calcular los términos dichos términos se refieren al área de momentos flexionantes que resultan de aplicar las cargas en el tramo sobre una viga apoyada en sus extremos de la misma longitud.
ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS 1
ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS 2
ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS 4
ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS 5
ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS 3
REACCIONES EN LAS VIGAS CONTINUAS, DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE.
La razón principal para calcular las reacciones en una viga continua en la de trazar diagramas de fuerza cortante; existen dos métodos para determinar estas reacciones.
En el primero se aplica la definición de momentos flexionantes.
En el segundo, la reacción se divide en partes a partir de las cuales se traza fácilmente el diagrama de cortante.
el teorema relaciona los momentos flexionantes en tres apoyos sucesivos entre sí y con las cargas que actúan en la viga. En el caso de una viga con únicamente tres apoyos, el teorema permite el cálculo directo del momento en el apoyo intermedio. Las condiciones conocidas en los extremos proporcionan datos para calcular los momentos en ellos. Luego se puede usar el principio de estática para determinar las reacciones. En el caso de vigas con más de tres apoyos, el teorema se aplica en sucesión a juegos de tres apoyos adyacentes (dos claros), para obtener un juego de ecuaciones que se pueden resolver simultáneamente para los momentos desconocidos.
Los diagramas de fuerza cortante comienzan y terminan en cero en los extremos de la viga. Las fuerzas cortantes internas que actúan con dirección hacia abajo se consideran positivas. Las que lo hacen hacia arriba se consideran negativas Una carga concentrada o reacción dirigida hacia abajo provoca un incremento repentino igual al valor de la fuerza cortante. En cualquier segmento de una viga donde no hay cargas aplicadas, el valor de la fuerza cortante se mantiene constante, lo que da por resultado una línea horizontal recta en el diagrama de fuerza cortante. Una carga concentrada en una viga provoca un cambio repentino de la fuerza cortante que actúa en la misma en una cantidad igual a la magnitud de la carga y en la dirección de ésta.
PRIMER METODO
SEGUNDO METODO
Este método se basas en aislar cada claro y determinar sus reacciones en los extremos. En cada apoyo intermedio se sumaran las dos reacciones que corresponden al claro de cada lado Como los momentos M2 y M3 son negativos, actúan como se indica , en la que se los considera con su valor absoluto. Numéricamente M3, es mayor que M2, por lo que el par total que actúa en la viga (c) tiene el mismo sentido del reloj y debe ser equilibrado por otro igual pero con sentido opuesto, producido por las reacciones R’.
DEFLEXIONES POR LA ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS
La ecuación de los tres momentos expresa una relación entre los momentos flexionantes en cualesquiera tres puntos de una viga cualquiera. Los tres puntos determinan dos tramos en la viga y los términos de la ecuación se refieren al área de momentos flexionantes que producen las cargas aplicadas a estos tramos si se suponen apoyados en sus apoyos.
Las alturas h1 y h3 son las alturas de los puntos 1 y 3 respecto a la horizontal que pasa por dos, y se consideran positivas si están por encima y negativas si están por debajo de esa horizontal. El método general consiste en elegir los puntos 1,2 y 3 de manera que uno o las dos del as alturas h1 y h3 sean iguales a la ordenada o deflexión buscada, previamente se han de conocer los valores de los momentos en los tres puntos.
EJEMPLO
APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS

Momentos de inercia y longitudes de claros izquierdo y derecha sobre la viga; se supone que actúan e el sentido positivo, como se muestra cargas concentradas y cargas uniformes distribuidas izquierda y derecha sobre la viga; se supone que actúan en el sentido positivo, como se muestra. fracción de la longitud del claro donde actúa la carga concentrada, desde el soporte izquierdo o derecho.
Como caso espacial, si el momento de inercia es constante para el claro entero, esto es.

Las sumatorias se han agregado a los términos del miembro derecho de la ecuación para que los diagramas M/EI para cada tipo de carga aplicada puedan tratarse por separado. En la practica, los tipos mas comunes de cargas so las concentradas y las distribuidas, como se muestra .si las aéreas y distancias centroidales para sus diagramas M/EI se calculan y sustituyen en la ecuación anterior, tenemos.
Sumamos ahora momentos respecto al punto R' para el segmento derecho, y obtenemos.
La aplicación de las ecuaciones es bastante directa, aunque debe tenerse cuidado de respetar la convección de signo positivo para los terminos de momento y carga. Además, debe usarse un conjunto de unidades que sea consistente. Los siguientes ejemplos ilustran complicar esas ecuaciones.
Al igualar simplificar, se obtiene
DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS EN VIGAS CONTINUAS
El método de distribución de momentos estriba en su sencillez teórica y de aplicación. cualquier persona podra comprender rápidamente los principios básicos y entender con claridad en que consiste el procedimiento
1. Las estructuras tienen miembros de sección transversal constante en toda su longitud, es decir los miembros son prismáticos.
2. Los nudos en que dos o mas miembros se conectan no se trasladan.
3. Los nudos en que dos o mas miembros se conectan pueden girar, pero los extremos de todos los miembros conectados a un nudos giran la misma cantidad que el nudo. En un nudo no hay rotación de los extremos de los miembros entre si o con respecto al nudo.
4. La deformación axial de los miembros se desprecia
DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS EN MARCOS REGULARES
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS FÍSICAS Y QUÍMICAS

CARRERA: Ingeniería Civil

MATERIA: Resistencia de Materiales II

TEMAS:
 Forma generalizada y términos que intervienen en la ecuación de los tres momentos
 Aplicación de la ecuación de los tres momentos
 Reacciones en vigas continuas, diagramas de corte y momento.
 Deflexiones por la ecuación de los tres momentos
 Distribución de Momentos en vigas continuas
 Distribución de Momentos en marcos regulares

AUTOR
Jean Pierre Cordero Loor

DOCENTE
Ing. Juan Carlos Guerra

Periodo
Mayo – septiembre
2015

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