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RESOLUCIÓN DE ECUACIONES POR METODO DE IGUALACIÓN Y METODO DE GRAFICAR

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by

Darlin Yazan

on 22 July 2014

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Transcript of RESOLUCIÓN DE ECUACIONES POR METODO DE IGUALACIÓN Y METODO DE GRAFICAR

Nombres:

Darlin Yazán
Jefferson Taticuan

Curso:

6° “D”

Año lectivo:

2013-2014




TRABAJO PARA EXÁMEN SUPLETORIO


El método de igualación consiste en una pequeña variante del antes visto de sustitución.
Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las siguientes:

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES POR METODO DE IGUALACIÓN

EJEMPLO:
1. Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

3. Resolvemos la ecuación:



2. Igualamos ambas expresiones:

5. Solución:

4. Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que
tenemos despejada la x:


Evidentemente, todas las aclaraciones hechas en la sección anterior sobre la elección de la incógnita que queremos despejar, así como sobre la discusión del sistema en orden a saber si tiene solución o no y cuántas (en caso de tenerlas), son igualmente válidas en este método.


A continuación, vamos a resolver otros ejercicios mediante el método de igualación:

1. Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x + y = 1
x - y = 3

En este método de resolución, nuestro objetivo es despejar, en ambas ecuaciones, la misma variable. Así que en principio, fijemos la variable a despejar. ¿Por ejemplo "x"?. Ok, si despejamos de ambas ecuaciones la variable "x", tendremos que:

x = 1 - y
x = 3 + y

De este modo, si "x" es igual a esas dos expresiones, ambas expresiones deberán ser iguales entre sí. Esto es,

1- y = 3 + y

con lo que, si despejamos la variable "y", tendremos que 

1 - 3 = y + y

por tanto

- 2 = 2· y

y de aquí que 

y = - 1.

Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema inicial, por ejemplo, en la primera, tenemos que x=2.

EJEMPLOS:

2. Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana.
¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos ”x” al número de euros de Ana y ”y” al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600.
Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

y = 2x
x + y = 600

Vamos a resolver el sistema por el método de igualación y ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, despejada, vamos a despejar la misma incógnita en la otra ecuación, con lo que tendremos:

y=2x
                 2x = 600 – x
2x + x = 600
3x = 600
x = 600/3
x = 200

y = 600 – x

Ahora sustituimos x = 200 en una de las ecuaciones en las que estaba despejada la y, con lo que tendremos:

y = 2x
y = 400

Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros.

El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, en representar en unos
ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y,
si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de
un sistema por el método gráfico. Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas
sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto,son paralelas
o soncoincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto,las coordenadas
de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos
valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto,
el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto
en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté
en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que
éste será incompatible, o sea sin solución.
Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas,
lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas),
luego éste será compatible indeterminado.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES POR METODO GRÁFICO

*

Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.

*

Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.

*

Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
En este último paso hay tres posibilidades:

A) Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos
valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.

B) Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son
las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden
ambas. Sistema compatible indeterminado.

C) Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.


El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:

Entre Adriana y Carlos tienen 600 lempiras, pero Carlos tiene el doble de lempiras que Adriana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos "x" al número de lempiras de Adriana y "y" al de Carlos. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: 
Si los dos tienen 600 lempiras, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Carlos tiene el doble de lempiras que Adriana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema: 
x + y = 600 
2x - y = 0 

Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones y tendremos: 

y = -x + 600 
y = 2x 

Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores: 
EJEMPLOS:

Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas
apropiadas en los ejes "X" y "Y", podemos ya representar gráficamente

Se nos plantea el siguiente sistema de ecuaciones (recordemos que cuando decimos SISTEMA estamos diciendo que las incógnitas tienen el mismo valor en una ecuación que en la otra)

Despejamos una incógnita en cada ecuación (puede ser la misma), las
incógnitas las transformamos en VARIABLES, a la que despejamos la llamamos DEPENDIENTE y a la que no despejamos la llamamos INDEPENDIENTE.
Le asignamos valores a la variable independiente y, de acuerdo a los valores asignados, la variable dependiente tomará un valor determinado.
Vamos a asignarle 2 valores porque se trata de funciones lineales y, con 2 valores, podemos graficarlas.
Hacemos una tabla para cada ecuación.

Luego, representamos los valores obtenidos en un par de eje cartesianos.
En el eje horizontal (eje de las abscisas) represento los valores de X y en el eje vertical (eje de las ordenadas) represento los valores de Y
Desde el punto de intersección de las dos representaciones graficas de las funciones trazamos rectas perpendiculares a cada uno de los ejes.


X = 2
Y = 3
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