Loading presentation...
Prezi is an interactive zooming presentation

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

Презентація на тему: Основні поняття теорії ймовірностей

No description
by

Yura .

on 8 June 2014

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of Презентація на тему: Основні поняття теорії ймовірностей

Дякую за увагу!
Математична наука, що вивчає закономірності масових подій, називається теорією ймовірностей.
Науку, що використовує теорію ймовірностей для обробки численних одиниць інформації як наслідків експерименту, називають математичною статистикою.
Презентація на тему:
Основні поняття теорії ймовірностей

Виконав студент ІІІ курсу
групи 31-ОІ
Гуменюк Ю. Ю.

Послідовність операцій, виконуваних з додержанням певного комплексу умов, називають експериментом (дослідом, спробою). Наслідок будь-якого експерименту називають подією.
Експеримент не обов’язково має виконувати людина. Він може здійс­нюватися незалежно від неї, скажімо комп’ютером. Людина в такому разі є спостерігачем, котрий фіксує наслідок експерименту — подію.
Класифікація подій.
Події поділяються на
вірогідні
,

неможливі
та
випадкові
.
Якщо в результаті експерименту, здійснюваного з додержанням певного комплексу умов, певна подія обов’язково настає, то вона називається вірогідною. Вірогідна подія позначається символом
Ώ
(«омега»).
Наведемо приклади вірогідних подій.
Приклад 1
1. У земних умовах вода, нагріта до температури 100 С, набуває стану кипіння.
2. Якщо в урні міститься 10 однакових кульок, пронумерованих від 1 до 10, то кулька, навмання взята із цієї урни, має номер, що міститься в межах від 1 до 10.
Подія називається неможливою, якщо в результаті експерименту, проведеного з додержанням певного комплексу умов, вона не настає ніколи. Неможлива подія позначається символом (порожня множина).
Приклад 2
1. В урні міститься 10 однакових кульок, пронумерованих від 1 до 10. Навмання береться одна кулька. Поява кульки з номером 12 буде подією неможливою.
2. Якщо на дослідній ділянці посіяти 100 зернин ячменю, то подія, котра полягає в тому, що на момент збирання врожаю на цій ділянці з’явиться колосок пшениці, є неможливою.
Подія називається випадковою, якщо за певного комплексу умов у результаті експерименту вона може настати або не настати залежно від дії численних дрібних факторів, урахувати які дослідник не в змозі.
Випадкові події позначають символами А, В, С, … або А1, А2, А3,…, Аk; В1, В2, …, Вn.
Отже, випадкові події пов’язані експериментами, наслідки яких є неоднозначними.
Прості та складені випадкові події.
Простір елементарних подій
Теорія ймовірностей як один із розділів математики досліджує певний вид математичних моделей — моделі випадкових подій, а не самі такі події.
Математичні моделі, як відомо, відбивають найістотніші властивості досліджуваних об’єктів, абстрагуючись від неістотних.
Для математичного опису випадкових подій — наслідків експерименту — застосовують такі точні поняття: прості (елементарні) та складені випадкові події, простір елементарних подій.
Подія, що може відбутися внаслідок проведення однієї і лише однієї спроби (експерименту), називається простою (елементарною) випадковою подією.
Елементарні події позначаються (і = 1, 2, 3,…) і в теорії ймовір­ностей, так само як, скажімо, точка в геометрії, не поділяються на простіші складові.
Приклад 1.
Монету підкидають один раз. Визначити елементарні події цього експерименту.
Розв’язання. Можливі такі елементарні випадкові події:




Приклад 2.
Монету підкидають тричі. Визначити елементарні події цього експерименту.
Розв’язання. Триразове підкидання монети — це одна спроба. Елементарними випадковими подіями будуть:









Отже, цьому експерименту відповідають вісім елементарних подій.
Приклад 3. Задано дві множини цілих чисел Із кожної множини навмання беруть по одному числу. Визначити елементарні події цього експерименту — появу пари чисел.





Випадкова подія називається складеною, якщо її можна розкласти на прості (елементарні) події. Складені випадкові події позначаються латинськими великими літерами: A, B, C, D, … .
Приклад 4. Задано множину чисел = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Навмання із цієї множини беруть одне число. Побудувати такі випадкові події: 1) з’явиться число, кратне 2; 2) число кратне 3; 3) число, кратне 5. Ці випадкові події будуть складеними. Позначимо їх відповідно А, В, С. Тоді А = {2, 4, 6, 8, 10, 12}; В = {3, 6, 9, 12}; С = {5, 10,}.
Елементарні випадкові події які належать відповідно складеним випадковим подіям А, В, С, тобто є елементами цих множин, називають елементарними подіями, які сприяють появі кожної із зазначених подій унаслідок проведення експерименту (  сприяють появі події А, — події В,  — події С).
Кожному експерименту (спробі) з випадковими результатами (наслідками) відповідає певна множина елементарних подій , кожна з яких може відбутися (настати) внаслідок його проведення: Множину називають простором елементарних подій.
Приклад 5. Гральний кубик, кожна грань якого позначена певною цифрою від 1 до 6, підкидають один раз. При цьому на грані випадає одна із зазначених цифр. Побудувати простір елементарних подій для цього експерименту (множину Ώ) і такі випадкові події: 1) А — випаде число, кратне 2;
2) В — випаде число, кратне 3.
Розв’язання. Оскільки кубик має шість граней, то в результаті експерименту може випасти одна із цифр від 1 до 6.
Отже, Ώ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; 1) А = {2, 4, 6}; 2) В = {3, 6}.
Приклад 6. Монету підкидають чотири рази. Побудувати простір елементарних подій для цього експерименту і такі випадкові події:
1) А — герб випаде двічі; 2) В — герб випаде не менш як тричі.
Розв’язання. Шуканий простір елементарних подій:
Ώ = {гггг, гггц, ггцг, гцгг, ццгг, ггцц, гццг, гцгц, цгцг, ццгг, цггц, гццц, цгцц, ццгц, цццг, цццц};
1) А = {ггцц, ццгг, гцгц, цгцг, гццг, цггц};
2) В = {гггг, гггц, ггцг, гцгг, цггг).
Простір елементарних подій може бути як дискретним, так і неперервним. Якщо множина є зчисленною (зліченною), тобто всі її елементи можна перелічити або принаймні пронумерувати (кожній елементарній події поставити у відповідність один і тільки один елемент нескінченної послідовності натуральних чисел 1, 2, 3, …), то простір елементарних подій називають дискретним. Він може бути обмеженим і необмеженим.
У противному разі (тобто коли кожній елементарній події не мож­на поставити у взаємно однозначну відповідність певне натуральне число) простір елементарних подій називають неперервним.
У розглянутих раніше прикладах простори елементарних подій були дискретними.
Приклади неперервних (недискретних) просторів елементарних подій дістанемо, розглянувши:
1) розміри однотипних деталей (діаметр, довжина), що їх виготов­ляє робітник або верстат-автомат;
2) покази приладів, що вимірюють масу, силу струму, напругу, опір і т. ін.
Отже, поняття елементарної події, простору елементарних подій є основними в теорії ймовірностей, як точка та пряма в аксіоматично побудованій евклідовій геометрії. Сама природа елементарних подій у теорії ймовірностей при цьому неістотна.
Простір елементарних подій є математичною моделлю певного ідеалізованого експерименту в тому розумінні, що будь-який можливий його наслідок описується однією і лише однією елементарною подією — наслідком експерименту.
Мовою теорії множин випадкова подія А означується як довільна непорожня підмножина множини
Операції над подіями

Додавання
. Сумою двох подій А і В називається така подія С = АВ (С = А + В), яка внаслідок експерименту настає з настанням принаймні однієї з подій А або В. Подію АВ схематично зображено на рис. 1 заштрихованою областю.






Операція АВ називається об’єднанням цих подій.

Множення
. Добутком двох подій А і В називається така подія С = АВ (С = АВ), яка внаслідок експерименту настає з одночасним настанням подій А і В.
Операція АВ називається перерізом цих подій (рис. 2).

Віднімання
. Різницею двох подій А і В називається така подія
С = А \ В (С = А – В), яка внаслідок експерименту настає з настанням події А і одночасним ненастанням події В (рис. 3).

Приклад. Задано множину цілих чисел Ώ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}. Навмання з неї беруть одне число.
Побудувати випадкові події: 1) А — узяте число кратне 2;
2) В — кратне 3.
Визначити АВ; А∩В; А \ В.
Розв’язання. 1) А = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}; 2) В = {3, 6, 9, 12, 15}.
Звідси дістаємо:
АВ = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} {3, 6, 9, 12, 15} = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15};
А∩В = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} ∩ {3, 6, 9, 12, 15} = {6, 12};
А \ В = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} \ {3, 6, 9, 12, 15} = {2, 4, 8, 10, 14}.
Якщо А∩В , то випадкові події А і В називають сумісними.
Якщо А∩В =  то такі випадкові події А і В називають несумісними.
Повна група подій. Протилежні події. Якщо то такі випадкові події утворюють повну групу, а саме: внаслідок експерименту якась із подій Аі обов’язково настане.
Класичне означення ймовірності
Імовірністю випадкової події А називається невід’ємне число Р(А), що дорівнює відношенню числа елементарних подій m які сприяють появі А, до кількості всіх елементарних подій n простору Ω:

Для неможливої події
Для вірогідної події
Отже, для довільної випадкової події

Приклад. У ящику міститься 15 однотипних деталей, із яких 6 бракованих, а решта — стандартні. Навмання з ящика береться одна деталь. Яка ймовірність того, що вона буде стандартною?
Розв’язання. Число всіх рівноможливих елементарних подій для цього експерименту:
n = 15.
Нехай А — подія, що полягає в появі стандартної деталі. Число елементарних подій, що сприяють появі випадкової події А, дорівнює дев’яти
(m = 9). Згідно з (1) маємо:

Приклад
. В електричну мережу увімкнено чотири електролампочки. При проходженні електричного струму в мережі кожна електролампочка із певною ймовірністю може перегоріти або не перегоріти. Побудувати простір елементарних подій (множину
Ώ
) — числа електролампочок, які не перегорять, і такі випадкові події:
А — із чотирьох електролампочок перегорять не більш як дві;
В — не менш як три. Обчислити Р (А), Р (В), Р (АВ).
Розв’язання. Нехай Аi (і =1,4) відповідно першу, другу, третю та четверту електролампочку, що не перегорять, а — що перегорять. Тоді простір елементарних подій буде:



Випадкові події:







Елементи комбінаторики в теорії ймовірностей: переставлення,
розміщення та комбінації
При розв’язуванні задач з теорії ймовірностей побудувати простір елементарних подій (множину Ώ) можна не завжди.
Для більшості прикладних задач така побудова пов’язана з виконанням великого обсягу робіт, а нерідко й взагалі неможлива. Щоб обчислити ймовірність тієї чи іншої випадкової події для певного класу задач із дискретним і обмеженим простором елементарних подій, необхідно вміти обчислити кількість n усіх елементарних подій (елементів множини Ώ) і число m елементарних подій, які сприяють появі випадкової події.
Існує клас задач, в яких для обчислення n і m використовуються елементи комбінаторики: переставлення, розміщення та комбінації. У комбінаториці оперують множинами однотипних елементів.
Загалом множини бувають упорядковані та невпорядковані.
Множину називають упорядкованою, якщо при її побудові істотним є порядок розміщення елементів.
У противному разі множину називають невпорядкованою.
Переставлення. Переставленням із n елементів називають такі впорядковані множини з n елементів, які різняться між собою порядком їх розміщення.
Кількість таких упорядкованих множин обчислюється за формулою

де n набуває лише цілих невід’ємних значень.
Оскільки , то при n = 1 маємо
1! = 0!
Отже, 0! = 1.
Приклад . На кожній із шести однакових карток записано одну з літер
Я, І, Р, Е, О, Т.
Яка ймовірність того, що картки, навмання розкладені в рядок, утворять слово
Т Е О Р І Я ?
Розв’язання. Кількість усіх елементарних подій (елементів множини Ω)

Кількість елементарних подій, що сприяють появі слова ТЕОРІЯ,
m = 1. Позначивши розглядувану подію через В, дістанемо:

Розміщення. Розміщенням із n елементів по m називаються такі впорядковані множини, кожна із яких містить m елементів і які відрізняються між собою порядком розташування цих елементів або хоча б одним елементом.
Кількість таких множин обчислюється за формулою

Наприклад,
Приклад.
Маємо дев’ять однакових за розміром карток, на кожній з яких записано одну з цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Навмання беруть чотири картки і розкладають в один рядок. Яка ймовірність того, що при цьому дістанемо
1 9 7 3 ?
Розв’язання.
Кількість елементарних подій множини Ω буде .

Кількість елементарних подій, що сприяють появі 1, 9, 7, 3, дорівнює одиниці (m = 1). Позначимо цю випадкову подію через В. Тоді
.
Комбінації. Комбінаціями з n елементів по називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом.
Кількість таких множин

Приклад . У цеху працює 10 верстатів-автоматів, кожний із яких може з певною ймовірністю перебувати в роботоздат­ному стані або в стані поломки. Яка ймовірність того, що під час роботи верстатів-автоматів із ладу вийдуть три з них?
Розв’язання. Оскільки кожний верстат-автомат може перебувати у двох несумісних станах — роботоздатному або нероботоздатному, то кількість усіх елементарних подій множини Ω буде n = 2.
Позначимо через А випадкову подію — із ладу вийде три верстати з десяти. Тоді кількість елементарних подій, що сприяють появі А, буде


Отже,

10
Аксіоми теорії ймовірностей та їх наслідки
Загалом функції дійсних змінних бувають визначеними не на всій множині дійсних чисел, а лише на певній її підмножині, яку називають областю визначення функції.
Імовірність також не завжди можна визначити для будь-яких підмножин множини Ω (простору елементарних подій). Тому доводиться обмежуватися певним класом підмножин, до якого висуваються вимоги замкненості відносно операцій додавання, множення та віднімання.
Нехай задано довільний простір елементарних подій — множину Ω і — деяка система випадкових подій.
Система подій називається алгеброю подій, якщо:
Із тверджень 1 і 2 дістаємо, що Ø = Ώ \ Ώ, а отже, Ø  Наймен­шою системою, яка буде алгеброю подій, є = (Ø, Ώ). Якщо Ώ — обмежена множина, то система також буде обмеженою. Якщо множина містить n елементів, то кількість усіх підмножин буде 2 .
Якщо Ω є неперервною множиною, то система утворюється квадровними підмножинами множини Ω, які також утворюють алгебру подій.
Числова функція Р, що визначена на системі подій , називається ймовірностю, якщо:

n
Для розв’язування задач з нескінченними послідовностями подій, наведені аксіоми необхідно доповнити аксіомою неперервності.
5. Для будь-якої спадної послідовності
подій із , такої, що Ø, випливає рівність


Трійка (  Ω, Р), де є алгеброю подій і Р задовольняє аксіоми 1—5, називається простором імовірностей.
Приклад . Задано множину цілих чисел Ω = {1, 2, …, 30}. Навмання з цієї множини беруть одне число. Яка ймовірність того, що воно виявиться кратним 5 або 7?
Розв’язання. Простір Ω містить n = 30 елементарних подій.
Позначимо через А подію, що полягає в появі числа, кратного 5, а через В у появі числа, кратного 7. Тоді дістанемо:





Приклад. В урні містяться 30 однакових кульок, які пронумеровані від 1 до 30. Навмання із урни беруть одну кульку. Яка ймовірність того, що номер кульки виявиться кратним 3 або 5?
Розв’язання. Кількість усіх елементарних подій множини Ω n = 30.
Позначимо через А = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} (m1 = 10) —
появу кульки з номером, кратним 3, а через В = {5, 10, 15, 20, 25, 30}
(m = 6) — появу кульки із номером, кратним 5.
є подіями сумісними.
Згідно з (10) дістанемо
.
Геометрична ймовірність
Класичне означення ймовірності придатне лише для експериментів з обмеженим числом рівномірних елементарних подій, тобто коли множина Ώ (простір елементарних подій) обмежена.
Якщо множина Ώ є неперервною і квадровною, то для обчислення ймовірності А (А   Ώ) використовується геометрична ймовірність


Якщо множина Ώ вимірюється в лінійних одиницях, то Р (А) дорівнюватиме відношенню довжини, якщо Ώ вимірюється у квадратних одиницях, то Р (А) дорівнюватиме відношенню площ, і т. ін.
2
Приклад . По трубопроводу між пунктами А і В перекачують нафту. Яка ймовірність того, що пошкодження через певний час роботи трубопроводу станеться на ділянці довжиною 100 м.
Статистична ймовірність
На практиці обчислити ймовірності випадкових подій можна лише для обмеженого класу задач як для дискретних, так і для неперервних просторів елементарних подій (множини Ώ). Для більшості задач, особливо економічних, обчислити ймовірності практично неможливо. У цьому разі використовується статистична ймовірність.
Насамперед уводиться поняття відносної частоти випадкової події W (A).
Відносною частотою випадкової події А W(A) називається відношення кількості експериментів m, при яких подія А спостерігалася, до загальної кількості n проведених експериментів:

Як і для ймовірності випадкової події, для відносної частоти виконується нерівність

Теорія ймовірностей вивчає лише такі випадкові події, в яких спостерігається стабільність відносних частот, а саме: у разі проведення k серій експериментів існує така константа Р(А), навколо якої групуватимуться відносні частоти досліджуваної випадкової події А, тобто Wі (А). І це групування буде тим ближчим до цієї константи, чим більшим буде число n експериментів.
На рис. 6 показано, як Wі (А) змінюється зі збільшенням n експериментів.








Імовірність випадкової події визначається так: упевнившись, що існує стабільність відносних частот випадкової події W (А), задаємось малим додатним числом Є проводимо серії експериментів, збільшуючи їх число n. Якщо на якомусь кроці серії експериментів виконуватиметься нерівність , IW - W I < є то за ймовірність випадкової події береться одне з чисел W або W – 1. Ця ймовірність називається статистичною.
і
і
і
і
і-1
Full transcript